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1、数学建模（Mathematical Modeling),概率统计模型,线性回归模型,概率统计模型,经济轧钢模型,重点:概率统计模型的建立和求解,难点:概率统计模型的基本原理及数值计算,决策模型,建模举例,排队论模型,报纸零售商最优购报问题,决策问题是人们在政治、经济、技术和日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理的始终。本节将首先简要说明决策的概念和分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型及其应用。,4.1 决策模型,4.1.1 决策的概念和类型,所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个最优的或满意的方案付诸实施。,1.决策者2.决策的备选方案或策略A1，A2
2、，Am3.决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对 同一个决策问题，不同的决策准则将导致不同 的方案选择。4.事件或自然状态N1，N2，Nn5.结果，即某事件(状态)发生带来的收益或损失值,决策问题通常包含以下要素：,决策的分类：,1.确定型决策自然状态只有一种，即n=1；2.风险型决策n1且各种自然状态出现的概率Pj（j=1，2，n）可通过某种途径获得；3.不确定型决策各种自然状态下发生的概率既不知道，也无法预先估计。,4.1.2 风险型决策问题,由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概
3、率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题的一种决策方法。,1最大可能准则,例如4.4.1投资决策问题若采用最大可能准则可得因此方案A1最优。,应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较接近，此决策方法不宜采用。,如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自 然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。,2期望值准则,例如，对例4.1.1按期望值准则进行决策，则需要计算各行动方案的期望收益值，事实上 显
4、然，E(A1)最大，所以采取行动方案A1最佳，即选择甲地举办展销会效益最大。,有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资，这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。,决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准则进行决策的一种方法。,3.决策树法,1.画一个方框作为出发点，称为决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每一条代表一个行动方案，这样的直(折)线，称为方案分枝。分枝数表示可能的行动方案数。,步骤如下:,2.在各方案分枝的末端画一个圆圈，称为状态节点或方案节点。从状态节点引出若干条直线或折
5、线，此分枝称为概率分枝。每条线表示一种自然状态，在线旁边标出相应状态发生的概率。,3.在各概率分枝的末端画一个三角，称为末稍节点。把各方案在各种状态下的益损值标记在末稍节点右边,4.在决策树上由右向左计算各状态点出的数学期望值，并将结果标在状态节点上。遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且双线“”划去淘汰掉的方案分枝，选出收益期望值最大(或损失值最小)的方案作为最优方案，将最优方案的期望值标在决策点的上方。,下面采用决策树法求解展销会选址问题,例4.4.1只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有些实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为多级决策问题，可利用同样的思路进
6、行决策。,1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付18 000元。,2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据实际出现的天气状况再作对策：,a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。,b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20 000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24 000元；30%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18 000元;有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12 000元。,c）若遇大风暴，则仍然有两个方案可
7、供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费50 000元;二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能减少误工期 2天，支付延期损失费及应急费用54 000元；有20%可能减小误工期3天，支付延期损失费及应急费用46 000元；有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应急费用38 000元。试进行决策，选择最佳行动方案。,解（1）据题意画出决策树,（2）计算第一级节点E,F的损失费用期望值将19 800和50 800标在相应的机会点上，然后在第一级决策点C,D外分别进行方案比较：首先考察C点，其应急措施支付额外费用的期望值较少，故它为最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝
8、，再在C上方标明最佳方案期望损失费用19 800元；再考虑D外的情况，应急措施比抽空施工支付的额外费用的期望值少，故划去应急措施分标，在D上方标上50 000元。（3）计算第二级节点B的损失费用期望值将其标在B的上方，在第二级决策点A处进行比较，发现正常进度方案为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将14 900标在A点上方。,4.1.3 不确定型决策,1.乐观准则,乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值所对应的行动方案作为决策，也称为好中求好法。,2悲观准则,悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，
9、因此就在最坏的情况下找一个较好的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值中选最大值 所对应的行动方案作为决策，也称为小中取大法。,3等可能准则（Laplace准则）,等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的可能性相同，即。然后按风险决策的方法进行决策。,a,A,表4.1.2,解 乐观法：因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为 所以最大效益的最大值为 其最大值50对应的行动方案为A1，因此用乐观法的决策结果是执行策略A1。,解 悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为 所以最大效益的最大值为 其最大值10对应的行动方案A3为。因此用悲观法
10、决策的结果是应执行策略A3。,解 等可能法：取 计算出各行动方案的期望值为 显然 都达到最大值，这时究竟选那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，可选A1，否则选A2。,问题,报纸零售商售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价),售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,4.2 报纸零售商最优购报问题,建模,设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 p(r),
11、r=0,1,2,准备,求 n 使 G(n)最大,已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,求解,将r视为连续变量,结果解释,取n使,a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱,当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。,结论,实例：如a=1，b=0.6,c=0.3，需求量r服从正态分布N（100,102），则不难计算查表得到n=102时长期平均收益最大。,例4.2.1,理学院,解 该商店每单位盈利为70-5020;每单位损失为50-4010，即a=70，b=50，c=40,故,今记，而，查泊松分布表得,而F（6）的数值更接近于0.667，所以订货量应
12、为6个单位。,轧制钢材两道工序,粗轧(热轧)形成钢材的雏形,精轧(冷轧)得到钢材规定的长度,粗轧,钢材长度正态分布,均值可以调整,方差由设备精度确定,粗轧钢材长度大于规定,切掉多余 部分,粗轧钢材长度小于规定,整根报废,问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小,背景,4.3 经济轧钢模型,分析,设已知精轧后钢材的规定长度为 l，粗轧后钢材长度的均方差为,切掉多余部分的概率,整根报废的概率,记粗轧时可以调整的均值为，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作 xN(,2),存在最佳的 使总的浪费最小,P,建模,选择合适的目标函数,每次轧制钢材的平均浪费量,每次轧制获得成品钢的平均长度,其中 表示
13、的 概率，,每次轧制（包括粗轧、精轧）的平均浪费量与每次轧制获得成品钢的平均长度之比最小为标准。,目标函数,优化模型：求 使J1最小（已知l,）,求解,由于l是常数，故等价的目标函数为,记,其中,求 z 使J(z)最小（已知）,目标函数,求解,计算实例：,=l/=25,即将钢材的均值调整到5.438m时浪费最少,设要轧制长为l=5.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素组成的方差精度=0.2m，问需要将钢材长度的均值调整到多少才使浪费最少？,首先做出及的图形,习题：,习题：,在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，一般来说，可分为两大类，一类是确定性的关系，这种关系通常用函数来表示。另一类是
14、非确定性关系，变量之间的这种非确定性关系通常称为相关关系。回归分析就是数理统计中研究相关关系的一种数学方法，它就是通过大量的试验或观测，发现变量之间关系的统计规律。它在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛应用。回归分析一般分为线性回归分析与非线性回归分析。本节着重介绍线性回归分析，它是两类回归分析中较为简单的一类，也是应用得较多的一类。,4.4 线性回归模型,4.4.1数学模型,例4.4.1（水泥凝固时放出热量问题）,表4.4.1,为了研究方便，我们考虑一个变量受其它变量影响时，仍把这变量称为因变量，记为Y，其它变量称为自变量，记为X，这时相关关系可记作 Y=f（x）+其中f（x）为当X=x
15、时，因变量Y的均值，即 f（x）=E（Y|X=x）称f（x）为Y对X的回归函数，为Y与f（x）的偏差，它是一个随机变量，并假定E（）=0。,回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即 Y=f（x1，x2，xm）+其中f（x1，x2，xm）=E（Y|X1=x1，X2=x2，Xm=xm）为m元回归函数，统称为多元回归函数。,例如，在水泥凝固时放出热量问题中，可建立线性回归模型其中E（）=0，D（）=2，b0，b1，b2，b3，b4和2是未知参数，为了估计这些参数，将表4.4.1的值代入模型,其中，x1，x2，xm是自变量，b0为常数，b1，b2，bm为回归系数，b0，b1，b2，bm皆为未知，统
16、称b0，b1，b2，bm为回归参数，一旦回归参数确定，则多元线性回归模型就完全确定，一般假定随机误差N（0,2）,得线性模型,一般地，多元线性回归模型可表示为,为了得到回归参数的估计值，就要对变量进行观测，假设对变量的n（nm）次独立观测数据为（yi，xi1，xi2，xim）,i=1n,则这些观测数据应满足上式，即有,则多元线性回归的数学模型式可以写成矩阵形式,若记,为了获得参数的估计，我们采用最小二乘法，即选择，使,达到最小。将Q（）对求导数并令其为零，得,1回归系数的最小二乘估计,4.4.2 模型参数估计,此方程称为正规方程，其中 X 为n（m+1）阶矩阵，一般假定rank（X）=m+1，
17、由线性代数理论可知，L=XTX为满秩矩阵，它的秩rank（L）=m+1，则正规方程有唯一解，记作,即,我们可以证明上式中的 为参数向量的最小二乘法估计量。,记，则,在实际工作中，常称为经验线性回归方程。,2最小二乘法估计量的性质,首先假定,（1）是的线性无偏估计量,（2）的协方差矩阵为,（3）是的最小方差线性无偏估计,其中,4.4.3多元线性回归模型的检验与预测,从上面的参数估计过程可以看出，对于一批观察数据,不论它们是否具有线性关系，总可以利用最小二乘法建立起多元线性回归方程,但是Y与x1，x2，xm 是否确实存在相关关系呢？回归方程的效果如何呢？这就要进行“整个回归效果是否显著”的检验。,
18、当 时，没有关系，回归模型没有意义，于是我们要检验 是否成立。,若H0成立，则x1，x2，xm对y没有影响；反之，若H0不成立，则x1，x2，xm对y有影响，此时y与x1，x2，xm的线性关系显著，也称为整个回归效果显著。,但要注意，即使整个回归效果是显著的，y也可能只与某几个xi关系密切（相应的bi显著不为零），而与另几个xi关系不密切（相应的bi为零）。这就是说，多元线性回归除了首先要检验“整个回归是否显著”外，还要逐个检验每一个bi是否为零，以便分辨出哪些xi对y并无显著影响，最后，还要对各个bi作出区间估计。,1回归方程的显著性检验,（1）回归显著性检验（F检验）,若H0为真,（回归平
19、方和）,（残差平方和）,（复相关系数）,（2）单个回归系数为零的检验（t检验）,若H0i为真,为 中第i个对角线元素。,2回归系数的置信区间,对bi的区间估计,由于 因而bi的 置信区间为 其中,3预测,a）点预测,求出回归方程,对于给定自变量的值，用来预测,称 为 的点预测。,b）区间预测,y0的95%预测区间近似为 其中,1多项式回归分析模型,4.4.4多元线性回归分析模型的推广,多项式回归模型的一般形式为：,令,则模型就变成为多元线性回归模型：,多项式回归还有许多推广的形式：上述模型的共同特点是未知参数都是以线性形式出现，所以都可以采用恒等变换化为多元线性回归模型。,广义线性回归模型的一
20、般形式为：其中：是一个不含未知数参数的一元函数，且有反函数：的不含未知参数的多元函数。,2广义线性回归模型,广义线性回归模型的回归系数的确定：,达到最小。,此时也就是令,即广义线性回归模型化为多元线性回归模型。,则,用最小二乘法求出 的估计 使得,理学院,4.4.5建立线性回归模型的步骤,2.估计参数,1.建立理论模型,3.进行检验,c)复相关系数,d）回归系数显著性检验（t检验）,e)总体回归方程的显著性检验（F检验）,4进行预测,理学院,4.4.6Matlab和Mathematica求解,1）求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b,bint,r,rint,stats=regres
21、s(Y,X,alpha),1Matlab命令,回归系数的区间估计,理学院,2）画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）,其中b，X，Y分别为：,理学院,2Mathematica命令,在Mathematica中键入命令StatisticsLinearRegression.m按Shift+Enter键，即可调入线性回归软件包。,输入：,理学院,水泥凝固时放出热量问题在Matlab编辑器中输入以下程序：,3实际问题的求解,x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15
22、 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=ones(13,1)x1 x2 x3 x4;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05);,理学院,disp(回归系数估计值)bdisp(回归系数估计值的置信区间)bintdisp(残差平方和)r*rdisp(相关系数的平方)stats(1)disp(F统计量)stats(2)dis
23、p(与统计量F对应的概率p)stas(3)执行后输出,回归系数估计值 b=62.4054 1.5511 0.5102 0.1019-0.1441回归系数估计值的置信区间bint=-99.1786 223.9893-0.1663 3.2685-1.1589 2.1792-1.6385 1.8423-1.7791 1.4910残差平方和ans=47.8636相关系数的平方 ans=0.9824 F统计量 ans=111.4792,理学院,从计算结果可知，回归方程,查表得：易见统计量,进一步可得 所以回归效果是高度显著的。,理学院,表4.4.2,理学院,解（1）由表4.4.2给出的数据画出散点图：x
24、=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;plot(x,y,*),图4.4.1散点图,由图4.4.1可以看出，数据点大致落在一条直线附近，这说明变量与之间的关系大致可以看做是直线关系。,理学院,（2）输入数据进行回归分析及检验：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1)x;Y=88 85 88
25、 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,0.05);b,bint,stats,输出结果：b=-16.0730 0.7194bint=-33.7071 1.5612 0.6047 0.8340stats=0.9282 180.9531 0.0000 1.7437,即；的置信区间为-33.7071，1.5612，的置信区间为0.6047，0.8340；,理学院,可知回归方程 成立。,（3）残差分析，作残差图：rcoplot(r,rint)从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点
26、均较近，且残差区间均包含零点，说明回归方程能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点。,理学院,（4）预测及作图 z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,*,x,z,r)得各数据点及回归方程的图形如图4.4.3。可以看出，只有第二个数据点离回归直线距离较远。,图4.4.3,理学院,当身高为167cm x=167;z=b(1)+b(2)*xz=104.0588可以预测腿长为104.0588cm,理学院,4.4.7“最优”回归的选择,所谓“最优”回归方程有两方面的含义：一方面回归方程中要将有显著作用的自变量毫无遗漏的包含进来；另一方面希望自变量的个数尽可能的少。一般选择“最优”回归有如下
27、几种不同的方法。,（2）“只出不进”法,（3）“只进不出”法,（4）“有进有出”法逐步回归法,（1）全部比较法,理学院,日常生活中经常遇到排队等候服务的现象，顾客到达的时间和服务员进行服务的时间是随机的。例如超级市场一般都是有顾客挑选商品，然后携带着采购的商品在收款台前排队结算。我们经常看到开始排队的人数不多只需要一两个收款台工作，但随着顾客的增多，排队等待的时间就会延长，为了使排队的人数（等待时间）基本保持在某一水平，市场就会增开收款台。否则等待的时间过长就会影响顾客的数量，从而影响市场的收益，当然增开收款台也是要增加成本的。,我们知道，排队的长度（或等待时间）不仅与顾客的人数有关，也与收款
28、台的数目及收款的速度有关。那么，它们之间究竟呈怎样的关系呢？收款台的数目设置多少最好呢？,4.5 排队论模型,理学院,4.5.1排队论的基本概念,排队论也称随机服务系统理论，在排队论中，判断系统运行优劣的基本数量指标通常有：,（1）排队系统的队长排队系统中的顾客数，它的期望值记为L，相应的排队系统中等待服务的顾客数，其期望值记为Lq,（2）等待时间指一顾客在排队系统中等待服务的时间，其期望值记为Wq，逗留时间是指一个顾客在排队系统中停留的时间，即从进入服务系统到服务完毕的整个时间。其期望值记为W,理学院,（3）忙期从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲止这段时间长度，即服务机构连续工作的
29、时间长度。,另外还有，服务设备利用率，顾客损失率等一些指标。排队论中的排队系统有下列三部分组成：,a）输入过程，即顾客来到服务台的概率分布。,b）排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。,c）服务机构，其主要特征为服务台的数目，服务时间的分布。,理学院,4.5.2单通道等待制排队问题,对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程服从泊松分布，服务时间服从指数分布，单服务台的情形。,1模型假设,（1）顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客 流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能性。,（2）排队方式为单一队列的等待制，先到先服务。队长没有限制。,（3）顾客流满足参数为 的
30、泊松分布，其中 是单位时间到达顾客的平均数。,理学院,（4）各顾客的服务时间服从参数为 的指数分布，其中 表示单位时间内能服务完的顾客的平均数。,（5）顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。,满足以上条件的模型在排队论中记为 模型，其中s为服务员的数量。s=1就为单服务台的情形。,理学院,2模型的分析与建立,时刻t时排队系统中有n个顾客的概率,在 时间间隔内：,有一个顾客到达的概率为,有一个顾客离开的概率为,多于一个顾客达到或离开的概率为，可忽略。,理学院,在 时间间隔内有n个顾客的状态可由下列四个互不相容的事件组成：,（1）t时刻有n个顾客，在 内没有顾客到 来，也没有顾客离开，则概率为
31、,（2）t时刻有n个顾客，在 内有一个顾客到来，同时也有一个顾客离开，则概率为,理学院,（3）t时刻有n-1个顾客，在 内有一个顾客到来，没有顾客离开，则概率为,（4）t时刻有n+1个顾客，在 内没有顾客到来，有一个顾客离开，则概率为,理学院,因此，在 时刻系统中有n个顾客得概率为 满足：,令,理学院,考虑特殊情形：,当n=0时，即在时刻时系统内没有顾客的状态，同理，它由以下三个互不相容的事件组成：,（1）t时刻没有顾客，在 内没有顾客来，则概率为,（2）t时刻没有顾客，在 内有一个顾客到达，接受完服务后又离开，则概率为,（3）t时刻有一个顾客，在 内该顾客离开，没有顾客来，则概率为,理学院,
32、令,得到系统状态应服从的模型：,理学院,3模型求解,当 时，队长有稳定的分布，即pn(t)与t无关，此时上述方程和初始条件可化为,由此可解差分方程得,理学院,由概率性质 知，将上式代入 时可得,令，这时 就表示相同时间区间内顾客到达的平均数与能被服务的平均数之比，它是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称 为服务强度。,理学院,下面我们就可以计算出系统的一些重要运行指标,（1）系统中平均顾客数（队长）L：,（2）排队等待服务的顾客平均数Lq:,（3）系统中顾客平均排队等待的时间Wq:,（4）顾客在系统中平均逗留时间W:,理学院,4.5.3关于增加服务员问题,首先讨论两个服务员且他们的服务
33、效率相同的情形:,服务强度为:,平均队长:,若顾客只排成一队，最前面的顾客到空闲的服务员处接受服务,即 模型。整个服务过程的平均服务率为,平均逗留时间:,理学院,最后给出 模型:,平均队长:,服务强度为:,其中p0为所有服务员空闲的概率,平均逗留时间:,理学院,理学院,解 由题意 从而排队系统的稳态概率为,该科室平均有病人数为：,该科室内排队候诊病人的平均数为：,理学院,看一次病平均所需时间为：,排队等待看病的平均时间为：,诊所的医生空闲的概率，即诊所中没有病人的概率为：,理学院,设科室应设置m个座位，m应满足：,所以该科室至少应设20个座位。,P（医务室病人数）,如果满足99%以上的病人有座
34、，此科室至少应设多少个座位？,理学院,如果该单位每天24小时上班，病人看病1小时因耽误工作单位要损失30元，这样工作单位平均每天损失多少元？,每天平均有病人数 人病人看病所花去的总时间为 小时因看病平均每天损失 元,理学院,如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊6个病人，单位每天可减少损失多少？可减少多少个座位？,这样单位每天的损失费为 元,单位每天平均可减少损失 元,理学院,4.6 建模举例,4.6.1机票预售问题,在激烈的市场竞争中，航空公司为争取理多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机标的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当然
35、也可以订标时只订座，登机时才付款，这两种办法对于下面的计论是等价的。,理学院,设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以补救，也会导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉以后班机的乘客，公司无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司的经济利益，必然存在一个恰当的订票数量和限额。,理学院,理学院,4.6.2模型的假设及符号说明,1.模型的假设,假
36、设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。,假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。,假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。,理学院,2.符号说明,n：飞机的座位数，即飞机的容量；g：机票的价格；f：飞行的费用；b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费；m：售出的机票数；k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它是 一个随机变量；pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前来登机的概率；p：每位乘客迟到的概率；Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j人的概率，即社会声誉指标；S：公司的利润；ES：公司的平均利润。,理学院,4.6.3问题的分析及数学模型,1 问
37、题的分析,赔偿费：b=0.1g，飞行费用：f=0.6ng，每位乘客迟到的概率：p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k服从二项分布B（m，p），此时，,理学院,当m-kn时，说明m-k个乘客全部登机，此时利润 S=（m-k）g f当m-kn 时，说明有n个乘客登机，有m-k-n个乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润 S=ng f-(m k-n)b,根据以上的分析，利润S可表示为：,理学院,迟到的乘客数k=0,1,2,m-n-1时，说明有m-k-n个乘客被挤掉了；迟到的乘客数k=m-n，m-n+1，m时，说明已来的m-k个乘客全部登机了。于是平均利润,
38、理学院,因为,所以,理学院,由于kB（m，p），可知，随机变量k的数学期望E（k）=mp，此时，,2 数学模型,通过以上对问题的分析，可以在一定的社会声誉指标Pj（m）范围内，寻求合适的m，根据f=0.6ng的关系，使得目标函数ES/f达到最大，即,理学院,下面考虑社会声誉指标。由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即当被挤掉的乘客数为j 时，等价的说法是恰有m-n-j个迟到的乘客。公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤掉的概率不要太大，可用至少挤掉j人的概率作为声誉指标，相应地k的取值范围为k=0,1,2,m-n-j，社会声誉指标,理学院,4.6.4模型求解,为了对模型进行求解，可以分别给
39、定m，比如m=305,306,350，计算ES/f，同时，给定j，比如取j=5，计算社会声誉指标Pj（m），从中选取使ES/f最大，且社会声誉指标Pj（m）小于等于某个（比如取=0.05）的最佳订票数m。,下面给出Matlab计算程序。%4.6机票预售问题%m表示售出的票数；%ESf表示平均利润与飞行费用的比值；%p表示声誉指标；,理学院,for m=305:325sm=0;p=0;for k=0:m-305pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k)*0.03k*0.97(m-k);p=p+pp;sm=sm+(m-k-300)*pp;endESf=(1/180)*0.97*m-1.
40、1*sm-1;mESfp end,执行后可输出以下结果：m ESf P 305 0.6436 9.2338e-005306 0.6490 9.3723e-004307 0.6542 0.0048308 0.6592 0.0167309 0.6637 0.0442310 0.6673 0.0952311 0.6697 0.1742312 0.6708 0.2796313 0.6708 0.4028314 0.6698 0.5314315 0.6684 0.6525316 0.6667 0.7566317 0.6651 0.8388318 0.6637 0.8890319 0.6625 0.9399320 0.6615 0.9661321 0.6607 0.9818322 0.6600 0.9907323 0.6594 0.9954324 0.6588 0.9979325 0.6582 0.9990,理学院,4.6.5问题的进一步讨论,对于问题中的第二个问题，可将乘客分为两类，一类如商人可采用较高的票价，另一类乘客，比如上下班的雇员或游客，可设m张预订票中有张折扣票，折扣票价为g（1），但若不按时前来登机，责任自负，然后做出合理的简化假设，可建立类似的模型，计算并分析结果，注意这里多了两个参数和。,本章小结,
