《数学思想与方法(1)课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学思想与方法(1)课件.ppt（47页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、数学思想与方法,年级专业：03秋 小学教育本任课教师：陈明晖,教学安排,1教材:数学思想方法2共五次课（单周周日13:00-18:00）1）第一、二章 数学史2）第三至五章 数学发展趋势及抽象与概括3）第六、七章 猜想与反驳；演绎与化归4）第八至十章 算法、建模及其他方法5）第十一至十三章 数学思想方法教学及案例,教学安排,网上答疑（一小时，4月24日）小组活动（4月17日）E-mail：,课程综述,数学思想与方法:是研究数学思想方法及其教学的一门课程。小学教育专业必修课。本课程的目标：1）了解数学思想的发展脉络2）灵活掌握各种数学方法3）体会这门课程对小学数学教育的意义,课程综述,本课程的内
2、容：介绍数学思想发展的概貌、重要的数学方法，最后将数学思想与方法落实到教学过程中。本课程的意义：1）培养数学素养和数学能力2）指导小学数学教学实践3）有意识地指导自己的教育行为,学习数学的意义,数学：是研究数量关系与空间形式的一门学科。1）数学无处不在2）数学是自然科学和人文科学的基础3）数学有利于提高个人能力,学习数学史的意义,数学史：研究数学发展历史的学科。主要研究数学分支的原始创新、重要概念和思想的产生、发展和完善的历史过程，以及主要代表人物的思想方法和治学做人。“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状”（庞加莱）,第一章 数学思想方法的两个源头,1希腊的几何原本：古希腊数学
3、概况；几何原本的形成、基本内容、特点和意义。2中国的九章算术：中国古代数学概况；九章算术的形成、基本内容、特点和意义。,古希腊数学现代理论数学的摇篮,古希腊概况毕达哥拉斯学派欧几里得与几何原本阿基米德,古希腊概况,古希腊概况,希腊的数学内容包括算术（含代数）、几何学和三角形。“算术、“几何”、“三角学”名称均来自希腊 希腊人善于通过精细的思考和严密的推理去认识世界 解决了“为什么要这样做”的问题，“经验数学”“理论数学,毕达哥拉斯学派（1）,毕达哥拉斯(Phthagoras，公元前580?一501年？)毕达哥拉斯学派,毕达哥拉斯学派（2）,毕达哥拉斯发现了勾股定理（毕达哥拉斯定理）：1）它的证
4、明是论证数学的发端；2）它是历史上第一个把数与形（代数与几何）联系起来的定理；3）它导致了无理数的发现，由此引发了第一次数学危机；4）它是欧氏（欧几里得）几何的基础定理。,毕达哥拉斯学派（3）,“万物皆数”毕派的信念第一次数学危机不可公度量：1）几何量不能完全由整数及其比表示，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位2）直觉和经验不一定靠得住，推理证明才可靠。从此,希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立起几何学体系。,毕达哥拉斯学派（4）,毕达哥拉斯学派将抽象的数与形结合起来，使数学逐渐成为一门独立的学科。他们在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，是欧几里得公理化体系的先驱。,欧几里得与
5、几何原本（1）,欧几里得(Euclid，约公元前330275)伟大的数学家、教育家。欧几里得使几何脱离哲学而独立成为真正的演绎科学。,欧几里得与几何原本（2）,几何原本（Elements）是世界数学史上最伟大的著作之一。总结前人工作，并作了许多修订和补充 重视数学命题的逻辑证明，力求把数学知识建立在必然性的理论基础上，追求严密的公理化体系,欧几里得与几何原本（3）,公理化体系：23个定义，5个公设、5个公理 465个定理 几何原本仅次于圣经，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广的书。（斯威克）,欧几里得与几何原本（4）,几何原本的主要贡献在于：1）成功地将零散的数学理论编辑为一个从基本假定到最
6、复杂结论的整体结构；2）对命题作了公理化演绎。从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系；3）为人们提供了使知识条理化和严密化的强有力的手段，成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。,欧几里得与几何原本（5）,几何原本的不足：1）定义并不严格2）公理并不总是自明的：如第五公设,欧几里得与几何原本（6）,第五公设的等价公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行 高斯、罗巴切夫斯基、波约 创立非欧几何这场几何学的革命冲破了欧氏几何传统的束缚，从此几何学呈现出更加精彩纷呈的局面,欧几里得与几何原本（7）,欧几里得有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃
7、至哲学、自然科学的影响一直延续到19世纪。欧几里得结束了开创初等几何学和使几何学成为逻辑体系的时代。,阿基米德（1）,阿基米德（Archimedes，公元前287212）把科学的理论研究和实际应用相结合,阿基米德（2）,第一个提出了圆周长、圆面积和扇形面积的准确公式 得出圆周率的近似值314（阿基米德值）微积分的鼻祖：利用穷竭法和微分三角形,古希腊数学的伟大成就,1）使数学成为一门抽象性科学 2）建立了演绎证明 3）创立几何学、三角学，奠定数论基础4）萌芽了一些高等数学 5）发现定理及证明,中国古代数学 中华民族的智慧精粹,1中国古代数学概况2九章算术3几何原本与九章算术比较,1中国古代数学概
8、况,注重实际应用 从解决实际问题中发明了各种算法 数学精英：刘徽、祖冲之、杨辉 等,2九章算术（1）,流传至今的最早著作 采取问题集的形式：提出问题 具体算法 一类问题的普遍方法 九章算术共收录246个问题，包括算术、代数和几何的许多算法,2九章算术（2）,第一章“方田”：面积和分数计算；第二章“粟米”：比例问题；第三章“衰分”：比例分配；第四章“少广”：开方问题；第五章“商功”：几何体体积的计算；第六章“均输”：处理输送和征税问题；第七章“盈不足”：商业中的盈亏和比例；第八章“方程”：多元一次方程组的解法；第九章“勾股”：勾股定理的应用。,2九章算术（3）,1）成为中国古代学习数学的重要教科
9、书。2）普及数学知识，培养数学人才3）许多人通过研究它深邃的思想方法而取得成就4）今日再研究它，希望能对现代的数学思想有所启发,3几何原本与九章算术,相同之处：集数学成就之大成者，成书历史久远，影响巨大，成为后世的教科书。不同之处：几何原本是西方数学最早形成的演绎体系，采用“定义公理、公设定理”的公理化方法，注重逻辑的严密性，开创了推理证明的先河。九章算术：是中国由个别到一般的归纳体系，采用“问题答案算法”的体例，追求实用、讲究算法，但不注重逻辑结构。,总 结,几何原本的演绎体系、公理化方法和九章算术的归纳体系、算法化方法深刻影响着数学的发展，成为数学思想方法的两大源泉。,第二章 数学思想方法
10、的几次突破,1.从算术到代数：算术的局限性与代数产生的必然性。2.从常量数学到变量数学：常量数学的局限性，变量数学的产生及其意义。,从算术到代数(1),算术：最初含义是“数和数数”，主要研究正整数、零、正分数的性质和四则运算。代数：最初主要研究代数式的运算和解方程。特点是用字母符号表示数。基本思想：题意 方程 求出未知数。,从算术到代数(2),代数学历史悠久：古巴比伦、中国、古希腊、阿拉伯初等代数：方程（组）、求根（包括近似根）、根的各种性质，只限于实数和复数等数系。阿贝尔(Abel，18021829)证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的求根公式。,从算术到代数(3),伽罗瓦（Galois
11、，18111832）引入“群”的概念，用群论彻底解决了代数方程可解性的问题伽罗瓦理论，使代数学进入抽象代数阶段。抽象代数：代数方程、各种抽象对象（如向量、矩阵等）的运算关系，转向代数结构（群、环、域、摸、格等）的研究,从常量数学到变量数学（1）,客观世界的一切事物始终都在运动和变化着 用数学来描述运动现象求面积、体积、速度、曲线的切线等问题 数学算法 解析几何 变量引进数学 微积分,从常量数学到变量数学（2）,解析几何思想的萌芽 解析几何：用代数方法研究几何问题，第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来。笛卡儿：引入运动点的坐标概念，引入变量和函数的概念，在平面曲线与二元方程
12、之间建立起了联系。,从常量数学到变量数学（3）,笛卡儿（Descartes，15961650）费马（Fermat，16011665）,从常量数学到变量数学（4）,牛顿：1）符号“”表示x的无穷小增量“瞬”2）发明“正流数法”（即微分法）3）建立“反流数法”（即积分法）4）运动学背景：以速度形式引进了“流数”（微商）的概念 5）建立微积分基本定理：微分与积分是互逆关系,从常量数学到变量数学（5）,牛顿（Newton，16421727）莱布尼兹（Leibniz，16461716）,从常量数学到变量数学（6）,莱布尼兹：1）对几何问题（尤其是微分三角形）的研究2）用拉丁文Summa（求和）的第一个字
13、母S的拉长表示积分，用dy、dx表示微分3）“意味着和，d意味着差”用和与差的关系说明与d的互逆关系,从常量数学到变量数学（7）,变量数学产生的意义：1）精确描述事物的运动和变化规律2）微积分的创立“人类精神的最高胜利”(恩格斯)3）第二次数学危机使数学更加严密,3确定数学到随机数学,确定数学的局限性：现实生活中充满不确定性的问题概率的产生：赌博问题概率的发展过程随机数学产生的意义,参考书目：,1）李文林，数学史概论，高等教育出版社，2002。2）M.克莱因，古今数学思想，上海科学技术出版社，2002。3）吴文俊，世界著名数学家传记，科学出版社，1995。4）张顺燕，数学的源与流，高等教育出版社，2000。,结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End,感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings,演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日,
