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1、1绪论,数学物理方程是数学建模的最好例证，从中我们可以学习如何将一个实际问题通过适当的简化和假设，用适当的数学结构来表示，即如何建立一个实际问题的数学模型，然后求解该模型，模型的解能否解释实际问题的现象。也就是说求得的解是否能够描述实际问题，这要通过物理实验来验证。这一过程就是科学研究所需要的或者说必经的过程。我们从所学的三类方程中可以看到数学的抽象性而决定的数学模型应用的广泛性，经典方程的经典解法具有的一般性和普适性。,1绪论,一、本课程的研究对象,当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定金属内部各点的温度如何随时间变化！Fourier对这种热流动问题颇有兴趣.1807年想巴黎科学院提
2、交了用数学研究热传导的论文。,Fourier用实验的方法验证了任何函数都可以展开成三角级数的形式。但他没有给出证明和函数可以展开成级数应该具备的条件。1829年德国数学家狄里赫雷给出了严格的证明.,19世纪对数学物理方程有重要贡献的另外是法国两位数学家Poisson和Laplace和英国数学家格林以及德国数学家黎曼.,这三类方程及其求解构成数学物理方程的主要内容,18世纪著名数学家、物理学家达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783）,数学物理方程中的著名数学家物理学家,位势方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827）,傅立叶（法1768-1830）-热传导方程的研究先驱,柯西（法1
3、789-1857）,黎曼（德1826-1866）,二、关于偏微分方程的基本概念,1.1.方程的阶,1.2 线性微分方程,1.3半 线性微分方程、拟线性方程,本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式,一阶线性偏微分方程的一般表达形式,二阶线性偏微分方程的一般表达形式,1.4非齐次、齐次偏微分方程,在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作非齐次项。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作齐次方程。,1.5偏微分方程的古典解,m阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至m阶连续偏导数的函数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。,F非齐次项,1.6偏微分方程的定解条件与定解问题,偏微
4、分方程的解有无穷多个而每个解都表示一特定的运动过程，为了找出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定的解。这个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的各种影响因素，因此也称作定解；这些已知条件称作定解条件。,偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。,偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一定要适当。,三、数学物理方程的研究方法,在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考察，取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和推理的方法得出数学结论。这叫做
5、分析过程，而从数学上严格论证结论的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程是不可缺的。但对探讨新结论来说，分析过程尤为重要！,在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么困难。,正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路，这是本课程中应该注意的。,四、数学物理方程的基本内容和要求,本课程不可能对各种的数学
6、物理问题进行普遍的介绍，只能就前面我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍！,目的：使大家初步了解怎样把物理学、力学、和科学技术中的一些实际问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分方程定解问题的一些基本方法；获得从物理上解释某些数学结果的初步训练。这也是目前数学建模所需要的能力。,数学物理方程是一门同实际联系比较紧密的数学学科，因而也是一门综合性比较强的学科；它以解决实际问题为唯一目标，广泛应用物理学、力学、数学的各个分支知识；高等数学、复变函数、积分变换等。,1.9数学物理方程课程所需要的基础,五、数学物理方程参考书,1 数学物理方程与特殊函数 南京工学院数学教研组 高等教育出版社
7、1982年,2数学物理方程 欧维义 吉林科技出版社 1985年,2方程及定解问题的物理推导,2.1、弦振动方程,2.1.1、物理模型,弦的强迫横振动方程,弦的自由横振动方程,2.2、薄膜平衡方程,2.2.1、物理模型,2.2、薄膜平衡方程（推导过程）,2.2.1、物理模型,2.3、热传导方程,2.3.1、物理模型,设有一个导热体，当此导热体内各处温度不一致时，热量就要从高温处向低温处传递，试确定物体内部各点在任意时刻的温度所满足的方程.,奥-高公式,1、弦振动方程,2、热传导方程,3、位势方程,1、弦振动方程,2、热传导方程,3、位势方程,2.4、定解条件和定解问题,定解条件,三类典型方程只能
8、表示所研究的每个质点运动所满足的方程，其本身不能确定它们的一个特定解。每个偏微分方程一般都有无穷多个解，每个解都表示一个特定的运动。为此我们要对方程附加一定的条件来刻画所研究物体的运动过程。,2.4.1、三类典型方程的初始条件,（1）、一维弦振动方程的初始条件,弦振动的初始状态涉及弦在初始时刻的位移和速度,（2）、三维热传导方程的初始条件,（3）、Poisson、Laplace方程无初始条件,2.4.2、三类典型方程的边值条件,1、一维弦振动方程的边界条件,弦的端点所受的约束情况，通常有以下三种：,（2)自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x轴的直线自由滑动，从而在这条直线的方向上，端
9、点所受的张力分量为零.,（3）弹性支撑端（第三边值条件）,边界条件的形式比初始条件要多样些.,1、一维弦振动方程的边界条件,（2）自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x轴的直线自由滑动.,（3）弹性支撑端（第三边值条件）,2、三维热传导方程的边界条件,（2）第二边界条件：在导热过程中，单位时间单位面积边界面流入的热量已知，由Fourier热传导定律：,Newton热传导定律在单位时间内，从物体表面单位面积中流向介质的热量同物体外表面的温度与介质在表面处的温度之差成正比.,Cauchy问题,也称初边值问题,（1）没有一般的求解理论，只能就具体定解问题做具体分析；,（2）求解定解问题分两步
10、走：先求定解问题的形式解，然后加上适当条件严格论证所求形式解确是解！,（3）本书所讨论的方程均为线性方程，在求解过程中应该充分利用叠加原理.,所说的形式解就是先假定所有的已知函数未知函数具有很好的性质，也就是需要什么条件就具有什么条件。,一、热传导方程,1、第一边界问题,2、第二边界问题,3、第三边界问题,二、波动方程,第一边界问题,第二边界问题,第三边界问题,三、位势方程,1、第一边界问题,2、第二边界问题,1、第三边界问题,3两个重要定律,一、杜阿梅尔原理（以一维弦振动为例）,拉格朗日中值定理,积分中值定理,二、叠加原理,（以热传导方程为例）,叠加原理I,叠加原理II,叠加原理IV,叠加原理III,
