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1、数学欣赏01数学之魂,思考几个问题,一个人不识字甚至不会说话可以生活，但是若不识数，就很难生活。一个国家的科学进步，可以用它消耗的数学来度量。,数学有多重要？,语言，交流的工具；数学，思维的体操！,课程目的为你打开一扇窗户，开启你认识世界的通道，欣赏数学的美丽与神奇；帮你擦亮一双眼睛，丰富你观察世界的方式，认识数学的本质与价值；给你武装一副头脑，提升你改造世界的能力，掌握数学的思想与方法。,主要内容,数学之魂,数学之美,数学之趣,数学之妙,数学之奇,数学之问,数学之功,数学之旅,数学欣赏A,数学之魂,The Soul of Mathematics,数学之魂，追根求源研究对象数与形，为万物共有，
2、是万物之本；研究内容数形变化关系与规律，反映的是物质世界的运动规律与相互关系，是万物之理；建立基础公理系统，其结论直白，道理自明；建立方法演绎推理（三段论），其形式简洁，层次清晰，结构严谨，推论无疑.数学关注万物共性与本质，揭示万象之理与奥秘，其基础简明稳固，方法科学普适，结论精准可靠，这是数学的灵魂，是数学价值和美、理、奇、妙、趣的根源.,本章内容,数学的对象与内容,数 学 做 什 么,对象：万物之本数与形；内容：万象之谜，万事之理；,数学的对象,1,数与形万物之根,恩格斯说,数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称数与形）的科学。,万物共有数与形,世间万事万物，不论是有生命的，还是没有
3、生命的；不论是动物，还是植物；不论是自然形成的，还是人工创造的；不论是气态、液态，还是固态；不论是在宏观世界，还是在微观世界,它们均以一定的形态存在于空间之中，并受诸如长度、面积、体积、质量、浓度、温度、色度等各种量的制约。这种万事万物所共有的内在特质“数(量)”与“形（态）”，乃是数学科学的两大柱石。,形,数,数1,2,3,世间万事万物不是静态不变的，而是不断在运动和变化着。,运动和变化体现在事物的内在特质上，就是“形”的变换和“量”的增减。,形的变换有各种各样，有描述位移的平移、旋转等刚体变换,也有描述缩放、透视的相似、仿射、直射等射影变换,还有描述物体拉伸、扭转的拓扑变换。,这就形成了各
4、种各样的几何学。,量的增加，衍生出一种基本运算加法。在量的变化中，先增加，再增加，与先增加，再增加，其结果无异，这就衍生出加法运算的交换律,数字或者更一般的抽象元素等被赋予运算，具有一定规则和规律，就构成了代数学。,作为万事万物所共有的内在特质“数”与“形”，附以反映万事万物变化规律的运算、变换及其规则，就是数学。古典数学如此，现代数学的本质也是如此。,23,数学的内容,2,共性、本质、规律万物之理,概念（事物分类）,数学的内容,结论（定理 公式 法则）,一种对象的内在性质不同对象的联系多种对象的共性,发现本质探索奥秘揭示规律建立联系寻求共性,数学的内容,永恒,27,(1)数学的研究内容结构与
5、模式 数学是研究结构与模式的科学基本对象:集合+结构。,28,数学中基本的集合包括：各种数的集合；各类图形；各类函数；各种空间；一般的抽象集合等,29,数学中的基本结构有三种：代数结构（反映“合作”关系的各种运算及其算律）;顺序结构（反映对比关系的大小、先后，反映隶属关系的蕴涵）;拓扑结构（反映亲疏程度与规模大小的距离）。,30,31,32,比如：,33,（2）数学的目标发现各种事物的本质；建立不同事物的联系；寻找不同事物的共性。探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘，用以描述与理解自然和社会现象，以便对发展方向进行判断、控制、改良和预测。,魔术大师刘谦使用但却不明白的问题：,刘谦预测：64,
6、选定数字和18+13+26+7=64,刘谦的依据：四角数字和4+7+25+28=64,我的答案：4n+48,一个例子,其它规律：（1）设n为右上角数字，则和 S=4n+36；（2）设n为第二行首位数字，则和S=4n+20；（3）设n为第二行末位数字，则和S=4n+8；,更多方案：,对角线（主或副）数字之和；,中间四个数字之和；,三角形四数字之和；,斜矩形四角数字之和,规 律,多种方案：,4n+48；,对角线（主或副）数字之和；,中间四个数字之和；,三角形四数字之和；,斜矩形四角数字之和,38,（3）数学结论的形式确立对象，形成概念；探索性质、关系等本质规律。数学理论的建立与表达依靠数学思维。数
7、学思维包括多个方面，归纳、模拟、演绎、计算等，但概括地讲，包含三大方面：“构造”、“计算”与“证明”。,39,（3）数学结论的形式对象存在性对象结构对象性质不变性与不变量建立模型与设计算法等。,数学的方法,数 学 如 何 做,建立的程序：由自明事实出发，合情推理（归纳、类比）找方向，演绎推理定结论。建立的方法：分类、化归、归纳、类比、抽象化、符号化、模型化、公理化、最优化。,数学建立的程序,1,始于公理，成于推理，表为定理,数学理论建立的方式从少许自明的结论（公理）出发用逻辑演绎（三段论）的方法推出新的结论（定理、公式）,44,定义,公理、公设,命题,定义,命题,定义,命题,命题,命题,公理、
8、公设,1.一组自明公理是数学论证的出发点不能自相矛盾（相容性）不要相互包含（独立性）能够导出有关数、形及其关系的所有规律及性质（完全性）自明？相当主观，也相当深刻数学结论可靠性的前提。,1.一组自明公理是数学论证的出发点,相容性保证了系统内部的无矛盾性；独立性保证了公理体系的简洁性；完备性？不存在！（哥德尔不完备性定理）多种公理系统。不同的公理系统导出不同的数学，但是它们的内部都是健康的。,2.合情推理（归纳、类比）找方向，演绎推理定结论合情推理：发散性归纳、类比、迁移、想象演绎推理（三段论）：收敛性,数学论证只承认演绎推理（三段论）大前提（一个一般性的普遍规律）小前提（一个特殊对象的判断）结
9、 论（这个特殊对象的结论）,数学论证只承认演绎推理（三段论）大前提（人是要死的）小前提（张三是人）结 论（张三是要死的）,举例、实验、思辨、猜测等得到的结论均不被承认。数学结论可靠性的保证。,可 靠,人类的发明创造开始于感性的发散性思维终止于理性的收敛性思维数学思维是人类发明创造的源泉和动力,3.演绎推理所得到的结论必须是新的数学的首创是在全人类首创新定理指在人类历史中新发现、新建立数学与工程的评价标准大不相同数学填补的都是人类空白,实验结论不可靠物理教授的经验方程物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎与实验数据吻合，他请数学教授看一看这个方程。一周后数学教授说这个方程不成立。可那
10、时物理教授已经用他的方程预言出进一步的实验结果，而且效果颇佳，所以他请数学教授再审查一下这个方程。再一周后，他们再次碰头。数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立，但仅仅对于正实数的简单情形成立。,精 确,观察结论不可信苏格兰高原上的羊天文学家：原来苏格兰的羊是黑色的.物理学家：“得了吧,仅凭一次观察你可不能这么说，你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.“数学家：也不对，由这次观察你只能说:在这一时刻,这只羊,从我们观察的角度看过去,有一侧表面上是黑色的.,准 确,数学的思考方式,2,数学研究万事万物的数与形有其特有的思想、原则和方法，这体现为数学的独特思考方式。这些方式包括：,模型化,最优化,
11、公理化,抽象化,符号化,类 比,化 归,分 类,归 纳,分类研究是按照研究对象的属性不同进行科学分类、逐一研究的重要思想，其分类的具体原则与方法以及分类理念都为人类解决复杂问题提供了宝贵的思想方法。其价值在于化难为易、化繁为简、化整为零、积零为整。,化归思想：是指把数学问题通过观察、分析、联想、类比等思维过程，进行变换与转化，归结到某个已经解决或比较容易解决的问题去研究，以最终解决原问题的思想。化归就是转化与归结，它包含了运动与变化、联系与转换的观点，可以化生为熟、化新为旧、化繁为简、化难为易、化异为同、化抽象为直观。,化归的表现一方面表现在处理数学问题的过程中，可以将复杂对象或陌生对象化归为
12、简单对象或熟悉对象；另一方面也表现在数学结论表述中，数学中许多结论都表现为对一种数学对象的多个等价刻画，数学中的“充分必要条件”是描述这一现象的典型语句，它本质上也是对数学对象性质的化归。,类比方法是指由两个对象内在性质在某些方面的相似性推出他们在其它方面也可能相似的一种思维方法。它是数学研究中最基本的创新思维形式，在数学中扮演着极为重要的角色，许多陌生对象的性质和研究方法都来自于数学家的类比思想。类比方法具有启发思路、提供线索、触类旁通的作用。,归纳方法是从若干个别前提得出一般结论的推理方法，是通过个性发现共性，通过特性寻找规律，通过现象认识本质，是一种重要的创新思维形式。人们可以通过归纳去
13、清理事实、概括经验、处理资料，从而形成概念、提出规律。,抽象化与符号化是数学独特的思维特征和表达方式，它使得数学概念脱离了事物的物质属性，形式简洁、内涵丰富、应用广泛。,公理化方法首先找出最基本的概念、命题作为逻辑出发点，然后运用演绎推理建立各种进一步的命题，从而形成一套系统、严谨理论体系的思维方法。这是人类认识论的一大创举，是数学可靠性的基础，她使数学丰富的理论建立在最简单明了、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是非。,最优化是数学追求的目标之一；模型化是人类将实际问题转化为数学问题、具体问题转化为抽象问题的重要手段。二者都为人类圆满解决实际问题发挥了重要作用。,这些既是数学体系的特征，也是数
14、学能力的体现。它们保证了数学体系的简洁性与严谨性数学结论的可靠性与普适性数学方法的有效性与便利性数学思想的科学性与深刻性,一种民间游戏“取石子”道具：地面上摆着若干堆石子，每堆的石子数目任意.规则：甲乙轮流从中拿取石子，每人每次只能在其中一堆中拿取石子，数量不限.以最后把石 子取完者为胜.问题：有没有必胜的诀窍？,一个例子,极端原理（特殊化，分类）：（1）只有一堆石子，结论显然，你只要把它们一次取完即胜.,（2）两堆石子（2-1）两堆石子数相同.此时，对方取走几子，你就从另一堆中取走同样多子，最后一颗石子必然属于你.因此，留给对方“两堆石子数相同”就是赢局.,（2）两堆石子（2-2）两堆石子数
15、不同，你只要从较多石子的一堆中取走若干颗，使剩下的两堆石子数相同即可.,（3）三堆石子（3-1）三堆石子中至少两堆石子数相同.化归：此时，把那堆可能不同的一次取走，转化为 留给对方“两堆石子数相同”，赢局.,（3-2）三堆石子数各不不同假设3堆石子数分别为mnk，记为（m，n，k）,关注m（极端原理）（3-2-1）m=1，（1，n，k）.起始情况（1，2，3）,起始情况（1，2，3）穷举：对方取子后只有6种情况：（0，2，3），（1，0，3），（1，2，0）（1，1，3），（1，2，2），（1，2，1）化归：前3种情况转化为两堆；后3种情况转化为有两堆石子数相同。都是赢局.,后续情况1.（1，
16、2，k），k 3，先抓者胜.化归：将第三堆取剩3，转化为（1，2，3）：后续情况2.（1，3，k），k 3，先抓者胜.化归：将第三堆取剩2，转化为（1，3，2）后续情况3.（1，4，k），k 4，特例：（1，4，5），穷举,后抓者胜.结论：留给对方（1,2,3），（1,4,5），（1,6,7），（1,8,9）为赢局,三堆石子归纳猜想猜想：留给对方（1,2m,2m+1）为赢局.证明.彻底解决：用二进制，演绎推理（见第五章第三节）,数学的特点对人的影响,3,75,数学的特点概念的抽象性推理的严密性结论的确定性应用的广泛性,76,1.概念的抽象性 数学来自于实践，其最本质的东西是抽象，抽象是人类创造
17、性思维最基本的特征。数学的概念、方法大多是通过对现实世界的事物对象及其关系，通过分析、类比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象得来的。,77,抽象表现：全程起点：概念抽象；过程：推理严密；结论：确定；结果：应用广泛。数学是用简明而又严格的方式描述复杂现象。,78,抽象的功能：找共性，抓本质把表面复杂的东西变得简单把表面混沌的东西变得有序把表面无关的东西得到统一,79,数学抽象特色：在数学抽象中只保留了量的关系和空间形式，舍弃诸如色彩、品质等因素；（比如：数、点、线等原始概念）数学抽象是一级一级逐步提高的，其抽象程度远远超过了其它学科的一般抽象；（比如：从点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到一般的
18、拓扑空间等）数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系之中。,80,抽象对数学教育的价值：,受过良好数学教育的人，善于抓住事物的本质，做事简练、不拖泥带水，具有统一处理一类问题的能力，具有创新的胆略和勇气。,81,2.推理的严密性 在数学的发展过程中，数学每前进一步，都离不开严密的逻辑推理。推理是从已知到未知的合乎逻辑的思维过程。从认识论的角度来看，推理有三种：归纳推理类比推理演绎推理 这也是数学的主要推理方法。,82,演绎推理是从一般到特殊的推理。先有一个普遍规律，然后从这个规律导出特定事例的性质。它可以通过对事物的某些已知属性，按照严密的逻辑思维，推出事物的未知属性。在数学演绎推理中分
19、析必须细致，论证务求严谨，不允许用感知替代分析，用举例充当论证。,83,归纳推理是从个体认识群体，即从许多特例中总结出一般性的普遍规律，是从特殊到一般的推理。但完全归纳法是演绎推理。类比推理是从一个个体认识另一个个体。二者对培养人的发散性思维和创造性思维具有重要作用。,84,人类的发明创造开始于感性的发散性思维，终止于理性的收敛性思维。因此归纳与类比是人类探索世界、发现新事物的重要手段，许多重要的猜想都是通过归纳与类比而提出的。,85,演绎推理的特点：1)从少数已知事实出发，可以导出一个内容丰富的知识体系，人类的认识能力由此可以得到很大提高；2)能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地；3
20、)可以克服仪器、技术等手段的局限，弥补人类经验之不足；4)使人类的认识范围从有限走向无限；5)为人类提供了一种建构理论的有效形式。,86,一般来讲，归纳推理与类比推理的结论不能保证正确性；演绎推理的结论则一定是正确的只要前提是正确的。数学推理以演绎推理为主，间或使用其它推理。,87,因此，优秀的数学教育使人具有做事思路开阔、举一反三的类比与创新能力；具有化繁为简、分解困难的归纳能力；具有做事思维严谨、思考周密、结构清晰、层次分明、有条理、无漏洞的组织管理能力。,严密推理对数学教育的价值：,88,3.结论的确定性 结论的确定性：对任一事件，通过数学方法所得到的判断或结论是确定的。数学结论由演绎推
21、理推出，演绎推理步骤严格遵守形式逻辑法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤在逻辑上都是准确无误的。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得到的结论具有逻辑上的确定性和可靠性。,89,数学教育能培养人做事严肃认真的态度，做事、做人目标明确，前后一致，表里如一。,结论确定性对数学教育的价值：,90,4.应用的广泛性 数学应用的广泛性是其日渐突出的一个特点，这不仅表现在数学作为一种工具的广泛应用，还在于数学素质为人类提供的潜能。,91,数学的重要性更体现在，接受数学上严密的逻辑推理训练而培养出的以理性的思维模式和归纳、类比、分析、演绎的思维方法等为特征的数学素质，它可以使人有很强的适应能力、再生能力和移植能力。有了数学知识和数学素质做基础，就有了享受不尽的财富。,92,数学概念的抽象性、推理的严密性、结论的确定性这三个特点同时决定了数学科学的简洁、严谨、精确、可靠与普适性。,
