数学物理方法第2章复变函数积分课件.pptx

《数学物理方法第2章复变函数积分课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法第2章复变函数积分课件.pptx（82页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、数学物理方法第2章复变函数积分2020,2,2.1.1 复变函数积分的定义,设L为复平面上的曲线，函数f(z)在L上有定义，将曲线L任意分成n段，xk是第k段zk-1，zk上的任一点令n，且每一段的长度|Dz|0时，若和式的极限,存在，且与弧段的分法及各xk的选取无关，则称此极限为f(z)沿曲线L的积分，记作,3,2.1.2 复变积分的计算方法,(1)化为两个实变线积分计算 将 f(z)=u+iv 及 dz=dx+idy 代入，即有(2)化为参数积分计算设积分曲线L的参数方程为z(t)，将z(t)及dz(t)z(t)dt代入式(2.1.4)，可得,(2.1.3),4,【例2.1.1】计算积分I

2、=其中曲线L是,(1)沿1+i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；(2)沿1+i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；(3)沿抛物线x=t,y=t2，其中1 t 2，见图2.2(c),5,解(1)直线方程为,先将 z=x+iy 代入被积表达式，随后将 y=3x-2 代入，即有,6,(2)在1+i到2+i段 有 y=1，dy=o；在2+i到2+4i段 有 x=2，dx=0，因而,7,(3)将z=x+iy=t(1+it)及dz(1+i2t)dt 代入，即有,本题沿三个不同路径的积分值相同，但是“积分与路径无关”这个结果不是必然的,x=t,y=t2,8,2.1.3 复变积分的性

3、质,既然复变积分可归结为实变积分，因此，复变积分的许多性质是实变积分的直接推广。对于这些性质，我们将不加证明地叙述(1)若曲线L依次由n段线段l1,l2,ln组成，则(2)掉转积分路径的方向，积分变号，即 式中l-与l重合，但方向相反,9,(3)若f1(z)与f2(z)沿L的积分存在，则,上式还可推广为有限多项函数和、差的情形(4)被积函数中的任意复常数a 可提出积分号外，即,(2.1.10),10,证明由实变函数线积分的定义出发，并利用“矢量之和的长度不大于矢量长度之和”，以及复变积分的定义，即有,(5)复变积分的模不大于被积函数的模沿曲线的实变线积分，即,11,(6)若在曲线 l 上,ma

4、x|f(z)|=M,曲线 l 的长度为l，则,12,【2.1.2】试证明，若z在上半平面及实轴上趋于时,zf(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即,则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分,证明 式(2.1.16)中的积分是一个复数，只要证明，当R时这个复数的模为零，则式(2.1.16)得证.,13,根据复变积分性质(5)及式(2.1.15)，易得,14,【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式,证明 分别作出y1=2q/p 及 y2=sinq 的函数曲线图(图2.4).易见在开区间(0,p/2)中，有sinq 2q/p；,而在闭区间0,p/2 的端点，有sinq=2q/p。,15,

5、【2.1.4】试证明 若当引理：若z在上半平面及实轴上趋于时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关)，则,式中m0，CR是以原点为圆心、R为半径的上半圆周，参看图2.3.,16,证明 当z 在CR上时，z=Reiq，由复变积分性质(5)可得,将积分(2.1.19)分为两项:0由p/2的积分与由p/2到p的积分第二项先作变换 q=p-j，再用q表示j，两项合并后利用若当不等式，即有,17,18,综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式，并利用题设条件,(2.1.21)由复变积分性质(5)导出的例2.1.2和例2.1.4这两个结论，将会启发我们怎样用留数定理计算实变积分，见4.2节对于解析函数的积

6、分，还具有一些特有的性质，由2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公式、最大模定理等反映,2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式,柯西定理：解析函数积分理论的基本定理，从 积分的角度给出解析函数在其解析 区域取值的关联性C-R条件:在解析点,f(z)的实部与虚部取值的 关联性；,20,2.2.1 单通区域的柯西定理,定理 若函数f(z)在单通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意闭曲线的积分为零l f(z)dz=0(2.2.1)证明 这个定理的严格证明比较复杂,为简单起见,我们在“f(z)在D内连续”附加条件下证明这个定理先将复变积分化为两个实变积分的线性叠加,(2.2.2),21,其次

7、,考查上述两个实变积分在什么条件下为零？设l为D内任一闭曲线(图2.5),若函数P(x,y),Q(x,y)以及 在D内连续，则格林公式成立,由f(z)在 D内解析及 f(z)在D内连续可得u,v 及ux,uy,vz,vy连续，将格林公式与C-R条件 代入式(2.2.2)，可得,22,推论1 若f(z)在闭单通区域 中解析，则f(z)沿 的边界L的积分为零,证明 按定义,f(z)在包含 的某个开区域D+内解析，这样 的边界线L就是D+内部的一条闭曲线根据柯西定定理可知,f(z)沿L的积分为零(2.2.5),23,推论2 若f(z)在单通区域D内解析，则 l f(z)dz 与路径无关。,证明 设A

8、、B分别为两积分曲线的起点和终点，如图2.6所示因为l1,与l2-(l2-与l2重合但反向)构成闭曲线l，由柯西定理可得,(2.2.6)移项，利用复变积分的性质(2)，即有,(2.2.7),24,2.2.2 原函数与定积分公式,既然单通区域中解析函数的积分与路径无关，设积分路径的起点为定点z0，终点为动点z,则积分上限的函数(2.2.8)是单通区域内的单值函数，现在证明它是f(z)的原函数,25,定理 若f(z)是单通区域D内的解析函数，则,也是D内的解析函数，且,证明 由 先计算 F(z+Dz)-F(z)。利用式(2.2.8)及复变积分的性质(1)，可得,26,由于解析函数的积分与路径无关，

9、不妨取z到z+Dz的积分路径为直线(图2.7).考虑到解析函数必连续，因而任给e0，必存在d0，使当|x-z|d,有|f(x)-f(z)|e(2.2.11),利用式(2.2.10)和式(2.2.11)，以及复变积分的性质(5)，可得,27,28,这表明，当Dz0时，的极限为f(z)，即,定理得证f(z)的原函数不是唯一的,(2.2.13),29,f(z)的原函数不是唯一的,式中C为任意复常数由于,G(z)也是f(z)的原函数 令z=z0代入式(2.2.14)，可得,将C=G(z0)代入式(2.2.14)得,30,这就是解析函数的定积分公式，它与实变函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形式。通常

10、把f(z)的原函数的集合 称f(z)的不定积分，式中C为复常数。,31,(2.2.8),32,2.2.3 复通区域的柯西定理,定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所有内、外边界线(L=L0+)正方向积分之和为零(2.2.18),“正方向”：当沿内、外边界线环行时，D保持在左边换句话说，外边界线取逆时针方向，内边界线取顺时针方向,33,证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。,34,推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连续变形时，其积分值不变,证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界线，如图2.9所示由式(

11、2.2.21a)可得,移项后，改变l2的积分方向，即有,35,【例2.2.1】试证明(n是整数),式中a点在积分回路 l 之内,dnm为克罗内克(Kronecker)符号(简称d符号)，其定义为,证明(1)当n0时，被积函数(z-a)n为解析函数，故,36,(2)当n=-1，则a点为f(z)的奇点,根据柯西定理的推论3，积分回路可连续变形为以a点为圆心的单位圆C(图2.10).在单位圆C上有,37,(3)当n-1，a点仍为f(z)的奇点仿上可得综合以上三式，即有这个公式在计算洛朗系数(3.4节)及证明留数定理(4.2节)时均要用到,38,【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11),(

12、1)|z-i|2；(2)|z+i|2；(3)|z|3.,39,解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通分可以凑出来),0,=0,40,41,【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a)在z=a的无心邻域内连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧,42,2.2.4 小圆弧引理与大圆弧引理,1.小圆弧引理若j(z)在z=a的无心邻域内连续，在小圆弧,一致成立，则,43,证明 根据极限的定义，式(2.2.32)表明，任给e0，存在与arg(z-a)无关的d(e)0，使当|z-a|rd 时，有|(z-a)j(z)-k|e(2.2.34),复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证,44,由于e可任意地小，

13、(q2-q1)为常量，式(2.2.35)表明,可任意地小根据极限的定义，可得,45,2.大圆弧引理,若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大圆弧CR(z=Reiq,R,q1qq2)上这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的柯西公式,2.3 解析函数的柯西公式,从柯西定理和大、小圆弧引理出发证明解析函数的柯西公式;证明建立在柯西公式基础上的高阶导数公式、柯西不等式、平均值定理、最大模定理及刘维尔(Liouville)定理;最后，介绍“柯西型积分”并证明其解析,47,2.3.1 柯西公式,1.单通区域的柯西公式设f(z)在单通区域 解析，a为 的内点，则,式

14、中L为 的边界线，见图2.12.证明 利用柯西定理的推论3，将积分回路连续变形为以a为心，r为半径的小圆周Cr，如图2.12.由于积分的结果与r的大小无关(保证Cr在 内)，故可取r0的积分值表示之，令,(2.3.1),48,易见j(z)在a的无心邻域内连续，将式(2.3.2)代入的式(2.2.32)便有,(2.3.3),将k=f(a)及q1-q2=2p代入小圆弧引理，得,式(2.3.4)就是单通区域的柯西公式,49,单通区域的柯西公式表明，解析函数f(z)在边界L上的取值完全确定f(z)在D内各点的取值，进一步显示了解析函数取值的关联性应用柯西公式要注意两点：一是f(z)在以L为边界的闭区域

15、解析；二是a点在L的内部由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立，有时分别用z和x代替式(2.3.1)的a和z。将柯西公式改写为,50,51,【例2.3.2】试计算积分，,积分回路L为x2+y2=2x解(1)积分回路的形状：(x-1)2+y2=1,(2)被积函数的奇点方程z4+1=0有四个根：z=expi(p+2kp)/4，k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有z1与z4位于积分回路之内,52,(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1和c2分别包围奇点z1和z4，则被积函数在外边界线l与内边界线c1，c2 所围的复通区域解析。按复通区域的柯西定理，沿l的积分等于沿C

16、1与C2积分之和，后两个积分可按柯西公式算出，即,已将z1、z2、z3和 z4 的值代入。,53,2.复通区域的柯西公式,设f(z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点，则 式中积分沿D的内外边界线的正方向,设f(z)在闭复通区域 中解析，a为 的内点，则 式中积分沿 的内外边界线的正方向,证明 设 的边界线L由外边界线L0及内边界线L1，L2，.Ln组成。作割线，将复通区域变为单通区域，,54,由单通区域的柯西公式，并注意到沿每一割线两岸的积分互相抵消，便有,55,3.无界区域的柯西公式,设 f(z)在积分回路l及l外解析，a点为l外一点，且,56,证明(1)由闭复通区域的柯西公式出发。以坐标

17、原点为圆心，以R为半径作一大圆弧CR，使闭合回路l及z点在其内部(图2.16).令R，f(z)在以l和CR为内、外边界的复通区域 中解析，由复通区域的柯西公式可得,O,57,将上式代入式(2.2-37)，并利用无界区域柯西公式的条件 可得,(2)运用大圆弧引理,证明式(2.3.10)沿CR的积分为零为此，取,(2.3.12),58,将式(2.3.11)、式(2.3.12)代入大圆弧定理，便有(2.3.13)既然式(2.3.10)的第一个积分为零，无界区域的柯西公式得证,59,2.3.2 高阶导数公式,若f(z)在 内解析，z为 的内点，则f(z)在D内可求导任意多次，且(2.3.14)证明 柯

18、西公式可表示为(2.3.15)为了考察f(z)的导数是否存在，将式(2.3.15)代入导数的定义式，可得,60,61,前己证明，式(2.3.16)可交换取极限与求积分的顺序，由此得(2-3.17)类似地，将式(2-3.17)代入导数定义式，可证明(2.3.18)应用数学归纳法，便可证明式(2.3.14)高阶导数公式显示出复变函数与实变函数的一个重大差别：复变函数只要一阶导数存在，则其任意阶导数均存在，并且各阶导数连续,62,【例2.3.3】试计积分I=,解 函数f(z)=2z2-z+1在 l 及其内部解析，z=1在 l 的内部，符合应用高阶导数公式的条件，分母为(z-1)3意味着n=2，故,6

19、3,解 因为函数 在复平面解析,在 内,n=1,根据,64,典型例题,解 由,65,例2.13 设C表示正向圆周,求,于是 而1+i 在C内,所以,解 根据,当z在C内时,66,解(1)根据,67,(2)根据,68,(3)根据 以及前面的结果,69,例2.15 计算下列积分,其中C是正向圆周,解(1)因为函数 在C内z=1处不解析,但 在C内处处解析,所以根据,70,(2)函数 在C内的 处不解析.,在C内分别以i 和-i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,则函数 在由,围成的区域内解析,所以由,71,于是,72,(1)n 0时,函数 在 上解析.,(2)n=1时,由 得,由 得,73,可得,

20、(3)n1时,根据,74,【例2.3.4】已知y(t,q)=exp(2tq-t2),求证,证明(1)高阶导数公式为现在y(t,q)依赖于t与q，故对t的导数应改写为偏导数,75,(2)作变换：x=q-z 注意到 exp(2xq-x2)=exp2(q-z)q-(q-z)2=exp(q2-z2)，上式变为,最后一个等式再次利用了高阶导数公式,76,在第6章将会指出，,是厄米(Hermite)多项式Hn(q)的生成函数这是指把y(t,q)对t展成泰勒级数其展开系数 Hn(q)就是厄米多项式,77,2.3.3 最大模定理,设f(z)在 上解析，则|f(z)|在的边界L上取最大值证明 关于f(z)n的柯

21、西公式为,设f(x)在L上的最大值为M，|x-z|的最小值为d，边界L的长度为l(图2.17)，代入式(2.3.19)，则有,78,79,两边开n次方，得,因为上式对任意n均成立，令n,考虑到 式(2.3.2.1)即为|f(z)|M(2.3.22)这表明，对于D内的任意z点，其|f(z)|不大于L上|f(x)|的最大值M，即|f(z)|在 的边界上取最大值,80,2.3.4 柯西型积分,设 f(x)在一条光滑曲线 l 上连续，z 为曲线 l 外的一点，形如 的积分称为柯西型积分，可以证明F(z)是解析函数证明 如果 l 是闭曲线，并且 f(x)在 l 及其内部解析，柯西公式表明 F(z)就是 f(z),81,现在只知道f(x)在l上连续，l 可闭合也可不闭合为了证明F(z)解析，可以通过交换取偏导与求积分的次序也得到,这表明，对于曲线外的任一点z，F(z)的导数均存在既然F(z)在z的邻域内点点可导，故F(z)在曲线 l 外任一点是解析函数这样，今后只要把积分化为柯西型积分，它就是解析的,82,复变函数的积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,Cauchy积分定理,原函数的概念,复合闭路定理,Cauchy积分公式,高阶导数公式,Newton-Leibniz公式,本章内容总结,