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1、1,数学模型电子教案,重庆邮电大学数理学院沈世云,2,第7章 动 态 规 划(Dynamic programming),动态规划的基本思想,最短路径问题,投资分配问题,背包问题,3,动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种数量方法。其特点在于，它可以把一个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一个一个地去解决。需指出：动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再用动态规划方法去求解。,4,即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状态，不断地做出决策；,每个阶段都要进行决策,目
2、的是使整个过程的决策 达到最优效果。,动态决策问题的特点：,系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素；,找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。,多阶段决策问题：,是动态决策问题的一种特殊形式；,在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段；,5,多阶段决策问题的典型例子：1.生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度地根据库存和需求决定生产计划。,2.机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，产品的年产量g和投入生产的机
3、器数量u1的关系为g=g(u1),1,2,n,状态,决策,状态,决策,状态,状态,决策,6,这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器的数量为u，到年终完好的机器就为au,0a1。,在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器数量u2的关系为 h=h(u2),假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在五年内产品的总产量达到最高。,相应的机器年完好率b,0 b1。,7,3.航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞行方
4、向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。,不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。,4.线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法加以解决。,8,5.最短路问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。,1,2,3,4,5,6,A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3,F1,F2,G,5,3,1,3,6,8,7,6,3,6,8,5,3,3,8,4,2,2,
5、2,1,3,3,3,5,2,5,6,6,4,3,9,（一）、基本概念 1、阶段：把一个问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便于按一定的次序去求解。描述阶段的变量称为阶段变量。阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征来进行的，但要便于问题转化为多阶段决策。,2、状态：表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件。通常一个阶段有若干个状态，描述过程状态的变量称为状态变量。,一个数、一组数、一个向量,状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此集合称为状态允许集合。,一、动态规划的基本思想,10,3、决策：表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称
6、为决策。,描述决策的变量，称为决策变量。决策变量是状态变量的函数。可用一个数、一组数或一向量（多维情形）来描述。在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内，此范围称为允许决策集合。,系统在某一阶段的状态转移不但与系统的当前的状态和决策有关，而且还与系统过去的历史状态和决策有关。,4、多阶段决策过程,可以在各个阶段进行决策，去控制过程发展的多段过程；,其发展是通过一系列的状态转移来实现的；,11,图示如下：,状态转移方程是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。如果第k阶段状态变量sk的值、该阶段的决策变量一经确定，第k+1阶段状态变量sk+1的值也就确定。,其状态转移方程如下（一般形式）,
7、能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段决策过程。,12,如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地改变状态的定义或规定方法。,动态规划中能处理的状态转移方程的形式。,状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方程如下,无后效性(马尔可夫性),如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受这个阶段以前各段状态的影响；,过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展；,构造动态规划模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求；,状态变量要满足无后效性的要求；,13,5、策略：是一个按顺序排列的决策组成的集合。在实际问题中，可供选择的策略有一定
8、的范围，称为允许策略集合。从允许策略集合中找出达到最优效果的策略称为最优策略。,6、状态转移方程：是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程，描述了状态转移规律。,7、指标函数和最优值函数：用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，为指标函数。指标函数的最优值，称为最优值函数。在不同的问题中，指标函数的含义是不同的，它可能是距离、利润、成本、产量或资源消耗等。动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系。,14,小结:,指标函数形式:,和、,积,无后效性,可递推,15,解多阶段决策过程问题，求出,f1(s1),从 k 到终点最优策略子策略的最优目标函数值,16,1、动态规划方法的关键在于
9、正确地写出基本的递推关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题，然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优，在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问题的最优解。,（二）、动态规划的基本思想,17,2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的.,最
10、优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最优的。,3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各段状态便可逐段变换得到，从而确定了最优路线。,18,（三）、建立动态规划模型的步骤 1、划分阶段划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一步，在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，将过程划分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋予“时间”概念，以便划分阶段。2、正确选择状态变量选择变量既要能确
11、切描述过程演变又要满足无后效性，而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态变量的选择是从过程演变的特点中寻找。3、确定决策变量及允许决策集合通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时要给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。,19,4、确定状态转移方程根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变量，状态转移方程应当具有递推关系。5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规划基本方程 阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优值，最后写出动态规划基本方程。,以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动态规划模型与
12、线性规划模型不同，动态规划模型没有统一的模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不断实践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。,20,例一、从A 地到D 地要铺设一条煤气管道,其中需经过两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,二、最短路径问题,21,解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。,第一阶段（C D）：C 有三条路线到终点D。,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,显然有 f1(C
13、1)=1；f1(C2)=3；f1(C3)=4,22,d(B1,C1)+f1(C1)3+1 f2(B1)=min d(B1,C2)+f1(C2)=min 3+3 d(B1,C3)+f1(C3)1+4 4=min 6=4 5,第二阶段（B C）：B 到C 有六条路线。,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,(最短路线为B1C1 D),23,d(B2,C1)+f1(C1)2+1 f2(B2)=min d(B2,C2)+f1(C2)=min 3+3 d(B2,C3)+f1(C3)1+4 3=min 6=3 5,A,B1,B2
14、,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,(最短路线为B2C1 D),24,第三阶段（A B）：A 到B 有二条路线。,f3(A)1=d(A,B1)f2(B1)246 f3(A)2=d(A,B2)f2(B2)437,f3(A)=min=min6,7=6,d(A,B1)f2(B1)d(A,B2)f2(B2),(最短路线为AB1C1 D),A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,A,25,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1
15、,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,A,最短路线为 AB1C1 D 路长为 6,26,练习1：,A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3,F1,F2,G,5,3,1,3,6,8,7,6,3,6,8,5,3,3,8,4,2,2,2,1,3,3,3,5,2,5,6,6,4,最优路线为：A B1 C2 D1 E2 F2 G 路长18,求从A到G的最短路径,3,27,k=5，出发点E1、E2、E3,28,k=2,f2(B1)=13 u2(B1)=C2 f2(B2)=16 u2(B2)=C3,29,7 5 9,u5(E2)=F2,u6(F2)=G,最优策略,A,B1
16、,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3,F1,F2,G,5,3,1,3,6,8,7,6,3,6,8,5,3,3,8,4,2,2,2,1,3,3,3,5,2,5,6,6,4,3,30,求从A到E的最短路径,路线为AB2C1 D1 E，最短路径为19,A,B2,B1,B3,C1,C3,D1,D2,E,C2,5,2,14,1,12,6,10,10,4,3,12,11,13,9,6,5,8,10,5,2,练习2：,1,31,现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n 个工厂,用于扩大再生产。假设：xi 为分配给第i 个工厂的资金数量（万元）；gi(xi)为第i 个工厂得到资金
17、后提供的利润值（万元）。问题是如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。,据此，有下式：,三、投资分配问题,32,令：fk(x)=以数量为x 的资金分配给前k 个工厂，所得到的最大利润值。用动态规划求解，就是求 fn(a)的问题。,当 k=1 时，f1(x)=g1(x)（因为只给一个工厂）,当1kn 时，其递推关系如下：设：y 为分给第k 个工厂的资金（其中 0y x），此时还剩 x y（万元）的资金需要分配给前 k-1 个工厂,如果采取最优策略，则得到的最大利润为fk1(xy),因此总的利润为：gk(y)fk1(xy),33,如果a 是以万元为资金分配单位，则式中的y 只取非负整数0，1，
18、2，x。上式可变为：,所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：,34,例题：设国家拨给60万元投资，供四个工厂扩建使用，每个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后的利润函数如下表所示。,解：依据题意，是要求 f4(60)。,35,按顺序解法计算。第一阶段：求 f1(x)。显然有 f1(x)g1(x)，得到下表,第二阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,36,最优策略为（40，20），此时最大利润为120万元。,同理可求得其它 f2(x)的值。,37,最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。,38,最优策略为（20，20），此时最
19、大利润为90万元。,最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。,39,最优策略为（10，0）或（0，10），此时最大利润为20万元。,f2(0)0。最优策略为（0，0），最大利润为0万元。得到下表,最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。,40,第三阶段：求 f3(x)。此时需考虑第一、第二及第三个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,41,最优策略为（20，10，30），最大利润为155万元。,同理可求得其它 f3(x)的值。得到下表,42,第四阶段：求 f4(60)。即问题的最优策略。,43,最优策略为（20，0，30，10），最大利润为160万元。,44,练习：求投
20、资分配问题得最优策略，其中a50 万元，其余资料如表所示。,45,例：某公司打算在3个不同的地区设置4个销售点，根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表所示。试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。,x1=2，x2=1，x3=1，f3(4)=47,46,有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？,这就是背包问题。类似的还有工厂里的下料问题、运输中的货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。,四、背包问题,47,设x
21、j 为第j 种物品的装件数（非负整数）则问题的数学模型如下：,用动态规划方法求解，令 fx(y)=总重量不超过 y 公斤，包中只装有前k 种物品时的最大使用价值。其中y 0，k 1,2,n。所以问题就是求 fn(a),48,其递推关系式为：,当 k=1 时，有：,49,例题：求下面背包问题的最优解,解：a5，问题是求 f3(5),50,51,52,53,54,所以，最优解为 X（1.1.0），最优值为 Z=13。,55,练习1：某厂生产三种产品，各种产品重量与利润的关系如表所示。现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过 6 吨，问如何安排运输，使总利润最大？,最优方案：X1=（0.2.
22、0）X2=（1.0.1）Z=260,56,练习2：求下列问题的最优解,X=(2.1.0)最优值为 Z=13,57,排序问题指n 种零件经过不同设备加工是的顺序问题。其目的是使加工周期为最短。,1、n 1 排序问题 即n 种零件经过1 种设备进行加工，如何安排？,例1,五、排序问题,58,（1）平均通过设备的时间最小,按零件加工时间非负次序排列顺序，其时间最小。（即将加工时间由小到大排列即可）,零件加工顺序,平均通过时间,59,延迟时间=13 6=7,（2）按时交货排列顺序,零件加工顺序,平均通过时间,延迟时间=0,60,（3）既满足交货时间，又使平均通过时间最小,零件加工顺序,延迟时间=0,平
23、均通过时间,61,2、n 2 排序问题 即n 种零件经过2 种设备进行加工，如何安排？,例二、,62,经变换为,加工顺序图如下：,A,B,T,3,7,5,6,8,9,5,4,3,2,+2,+2,-5,加工周期 T=3+7+5+6+8+2=31,63,3、n 3 排序问题 即n 种零件经过 3 种设备进行加工，如何安排？,例三、,64,A,B,C,T,变换,65,排序,复原,66,计算,T=6+10+8+7+6+4+3=44,计算依据：,67,练习：,68,一 动态规划的基本概念和最优化原理,1、引例（最短路问题）,假如上图是一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离（或费用），我们的问
24、题是要将货物从A地运往E地，中间通过B、C、D三个区域，在区域内有多条路径可走，现求一条由A到E的线路，使总距离最短（或总费用最小）。,69,第四阶段，由D1到E只有一条路线，其长度f4（D1）=3，同理f4（D2）=4。第三阶段，由Cj到Di分别均有两种选择，即,，决策点为D1,决策点为D1,，决策点为D2,70,第二阶段，由Bj到Cj分别均有三种选择，即：,决策点为C2,决策点为C1或C2,决策点为C2,71,第一阶段，由A到B，有三种选择，即：,决策点为B3,f1（A）=15说明从A到E的最短距离为12，最短路线的确定可按计算顺序反推而得。即AB3C2D2E 上述最短路线问题的计算过程，
25、也可借助于图形直观的表示出来：,72,图中各点上方框的数，表示该点到E的最短距离。图中红箭线表示从A到E的最短路线。,从引例的求解过程可以得到以下启示：,对一个问题是否用上述方法求解，其关键在于能否将问题转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。,73,案例6、设备更新问题,在已知一台设备的效益函数r(i)，维修费用函数u(i)及更新费用函数C(i)条件下，在n年内，每年年初作出决策，是继续使用旧设备还是更换一台新设备，使n年总效益最大的这类问题称为设备更新问题。设rk(i)表示在第k年设备已使用i年（或称役令为i年的设备），再使用1年产生的效益：uk(i)表示在第k年设备役令为i年，再
26、使用1年的维修费用；Ck(i)表示在第k年卖掉一台役令为i的设备，买进一台新设备的更新净费用(即新设备的购买费-旧设备折旧费）。P112例题：设某企业在今后4年内需用一辆卡车，现有一辆已使用了2年的旧车，根据统计资料分析，预计卡车的年收入、年维修费（包括油料费）、一次性更新重置费及4年后的残值如下表：,74,（1）阶段划分：卡车使用的每一年作为一个阶段，k=1,2,3,4（2）状态变量sk：表示设备的役龄。即在第k年初，设备已使用的年限数。s1=2,s2=1,3,s3=1,2,4,s4=1,2,3,5,s5=1,2,3,4,6（3）决策变量dk：表示在第k年初对役龄为sk的设备的决策，是更新，还是继续使用，即,试确定4年中的最优更新计划，以使总利润最大？,1、建立动态规划模型,75,(6)指标函数：指标函数fk(sk)表示第k年初，使用一台役令为sk年的卡车，到第4年末的最大收益。,(5)阶段指标：,(4)状态转移方程：,76,2、用逆序算法求解结果如下表：,77,由此可得最优更新方案为：d1(2)=k,d2(3)=R,d3(1)=k,d4(2)=k其含义是第一年役龄为2年的卡车不更新，第二年役龄为3年的卡车更新，第三年役龄为1年的卡车不更新，第四年役龄为2年的卡车不更新。,
