23个经典的不等式专题.docx

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1、23个经典的不等式专题23个经典的不等式专题 例1. 证明：1+122+132+.+1n22； 例2. 若：a3+b3=2，求证：a+b2 ； 例3. 若：nN+，求证：1111+.+0，且ab=a+b+3，求：a+b的取值范围 ； 例5. 若：a,b,c是DABC的三边，求证：例6. 当n2时，求证：例7. 若xR，求y=例8. 求函数y=abc+ ； 1+a1+b1+c111111-2+2+.+2 ； a+bb+cc+aa+b+c例9. 若a,b,c0，求证：例10.若a,b,cR，且a2+b2+c2=25，试求：a-2b+2c的取值范围； 例11.若a,b,cR，且2a-b-2c=6，求

2、a2+b2+c2的最小值； (a-1)2(b+2)2(c-3)2例12.若a,b,cR，且+=1，求a+b+c的最大值和最小值； 1654例13.若a,b,c0，x,y,z0，且满足a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36， ax+by+cz=30，求：a+b+c的值； x+y+z例14.求证：n12k=1k5 ； 31例15.当n2时，求证：2(1+)n3； n例16.求证：113135135.(2n-1)+.+2n+1 ； 224246246.(2n)12+13+.+1n2(2n+1-1) ； 例17.求证：2(n+1-1)0,求证：xln(1+x)x ； 1+x例19.已知：nN+

3、，求证：11111+.+ln(1+n)n(n-1) ； 例21.已知：nN+，求证：1+111n+.+n ； 232-12例22.设：Sn=12+23+.+n(n+1)，求证：n(n+1)2Sn(n+1)2 ； 例23.已知：nN+，求证：1111+.+2 . n+1n+23n+123个经典的不等式专题解析(修正版) 例1. 证明：1+证明 放缩法 n1111=1+-=1+1-2. 2=1+21+nk=1kk=2kk=2k(k-1)k=2k-1kn122+132+.+1n22 ； 1n1n从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 此法称为“放缩法”. 积分法 构建函数：f(x)=1，则f(x)在xR

4、+区间为单调递减函数. x2n于是：12k=1k=1+k=2k21+1n1n1111dx=1-=1-(-)=2-2 2xn1nx11n从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为1,n； 积分项小于求和项时，积分限为2,n+1. 此法称为“积分法”. 加强版 求证：112+122+.+1n27 4证明 放缩法 112+122+.+1n2112+12-12+13-12+.+1n-12=1+1111111-+-+.+-2-12+13-13+1n-1n+1 211111 +-+22-13-1nn+1=1+111 n (k=1,2,.,n)得：n1111+.+1 2n+1n+22

5、n111 ， 2nn+knnn111n111n， 即： +.+ 则：2nn+1n+2n+nnk=12nk=1n+kk=1n故：1111+.+1 . 2n+1n+22n从一开始就放缩，然后求和. 此法称为“放缩法”. 性质法 本题也可以采用不等式性质证明. 所证不等式中的任何一项如第k项，均满足1110，且ab=a+b+3，求：a+b的取值范围 ； 解析 解析法 (a+b)2=a2+b2+2ab4ab=4(a+b+3)=4(a+b)+12， 令：t=a+b，则上式为：t2-4t-120，即： (t-6)(t+2)0 故：t6或t-2. 本题采用了均值不等式和二次不等式. 基本不等式 由ab=a+

6、b+3得：ab-a-b+1=4，即：(a-1)(b-1)=4. 两正数之积为定值时，两数相等时其和最小. 故：当(a-1)=(b-1)=2时，(a-1)+(b-1)为最小值. 即：(a-1)+(b-1)2+2=4，即：a+b6. 拉格朗日乘数法 拉格朗日函数为：L(a,b)=a+b+l(ab-a-b-3) 当拉氏函数取极值时，即：l=-LL=1+l(b-1)=0；=1+l(a-1)=0 ab11=-，即：b=a b-1a-1则L(a,b)取极值时，b=a，代入ab=a+b+3得：a2=2a+3 即：a2-2a-3=0，即：(a-3)(a+1)=0，即：a=3 故：L(a,b)取极值时，b=a=

7、3，则：a+b=6 由于当a=2时，代入ab=a+b+3得：2b=b+5，即：b=5 此时，a+b=2+5=76. 则a+b=6为最小值，故：a+b6. 此法称为“拉格朗日乘数法” 例5. 若：a,b,c是DABC的三边，求证：证明 abc+ 1+a1+b1+c 单调性法 构造函数f(x)=x，则在x0时，f(x)为单调递增函数. 1+x所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a+bc 那么，对于增函数有：f(a+b)f(c)，即：由放缩法得： aabb， 1+a1+a+b1+b1+a+ba+bc 1+a+b1+c由上式及式得： ababa+bc+=. 1+a1+b1+a+b1+a+b1

8、+a+b1+c构造函数，利用函数单调性，此法称为“单调性法”. 对于两边之和大于第三边的式子，其实是“设限法”或“设界法”. 例6. 当n2时，求证：证明 放缩法 当n2时，n-1nn+1， 都扩大n倍得：n(n-1)n22n(n-1)nn(n+1)111111-2+2+.+22(-)， -2-裂项：，求和：(k-1kkk+1n-1nnnn+1k=2k=2kk=2即： 1-1111112+2+.+2- . 先放缩，裂项求和，再放缩. n22n+13nB 此法为“放缩法”. 积分法 构建函数：f(x)=递减函数. 由面积关系得到：SABDESAGDESAEFC 1kk+11dx dxf(k)k-

9、1k2xx21x2，则f(x)在xR+区间为单调G O D A H C F E kk+1111即：-，即：1-111-1 2-k-1kk2kk+1xk-1kxk本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式. 后面的证法同. 此法称为“积分法” 加强版 由第1题的求证：112+122+.+1n27111131-可得：2+.+2- 4nn+14n2n故加强版为：当n2时，求证：例7. 若xR，求y=解析 向量法 y=1111131-2+2+.+2-. 2n+124n3nx2+x+1-x2-x+1的值域. 1313x+x+1-x-x+1=x+-x-+ 24242222uurr1313设：m=(x

10、+,)，n=(x-,)， 222222uurruurr1313则：m=x+，n=x-+，m-n=(1,0) 2424uurruurruurruurr代入向量不等式：m-nm-n得：y=m-nm-n=1，故：-1y1. uurr当且仅当m/n时，不等式的等号成立. uurr因为m与n不平行，故：-1y0，求证：证明 柯西不等式 由柯西不等式： 2229+ a+bb+cc+aa+b+ca+b11b+cc+a1 +a+b+b+c+c+a+)()()a+bb+cc+a(b+cc+aa+b21112即：+2a+b+c3=9 ()()a+bb+cc+a2292即： +a+bb+cc+a(a+b+c)此法称

11、为“柯西不等式”. 排序不等式 首先将不等式变形：即：3+a+b+ca+b+ca+b+c9+； a+bb+cc+a2cab3cab9+. +，即：a+bb+cc+a2a+bb+cc+a2由于对称性，不妨设：abc，则：a+ba+cb+c； 即：111. b+ca+ca+b由排序不等式得： 正序和正序和abcabc乱序和； +b+ca+ca+ba+ca+bb+cabcabc乱序和； +b+ca+ca+ba+bb+ca+cabca+bb+ca+c上两式相加得：2+b+ca+ca+ba+b+b+c+a+c=3 即：cab3+ 证毕. a+bb+cc+a2此法称为“排序不等式”. 权方和不等式 权方和

12、不等式：若 anm+1(a1+.+an)m+1a1m+1则：m+.+ mb1bn(b1+.+bn)m采用权方和不等式得： 222(2)2(2)2(2)2 +=+a+bb+cc+aa+bb+cc+a(2+2+2)2(32)29 =(a+b)+(b+c)+(c+a)2(a+b+c)a+b+c此法称为“权方和不等式”. 例10.若a,b,cR，且a2+b2+c2=25，试求：a-2b+2c的取值范围. 解析 向量不等式 uurr设：m=(1,-2,2)，n=(a,b,c) uurr222则：m=1+(-2)+2=3，n=a2+b2+c2=25=5 uurrmn=(1,-2,2)(a,b,c)=a-2

13、b+2c uurrmn=35=15 uurruurr代入向量不等式mnmn得：a-2b+2c15 即：-15a-2b+2c15 此法称为“向量不等式” 柯西不等式 由柯西不等式得：12+(-2)+22a2+b2+c2(a-2b+2c) 即：925(a-2b+2c)，故：a-2b+2c15 所以：-15a-2b+2c15 此法称为“柯西不等式”. 拉格朗日乘数法 构建拉格朗日函数：L(a,b,c)=a-2b+2c+由函数在极值点的导数为0得： 122()2l(a2+b2+c2-25) lL2al=-2aa=-，则：，即：； =1+=02alL2b=-2+=0，则：l=b，即：b=l； alL2b

14、=2+=0，则：l=-c，即：c=-l. al910代入a2+b2+c2=25得：l2=52，即：l= 43极值点为：a=-l2=m51010，b=l=，c=-l=m 333则：y=a-2b+2c=m15，即：-15a-2b+2c15 m此法称为“拉格朗日乘数法”，简称“拉氏乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式： a2(-2b)2(2c)2(a-2b+2c)2(a-2b+2c)2 5= a+b+c=+=2144(1+4+4)32222即：925(a-2b+2c)，即: -15a-2b+2c15 2a2(-2b)2(2c)2(a-2b+2c)2其中， +144(1+4+4)就是“权方和不等式

15、”，也称“柯西-苏瓦茨不等式(推论)”. 例11.若a,b,cR，且2a-b-2c=6，求a2+b2+c2的最小值. 解析 向量不等式 uurr设：m=(2,-1,-2)，n=(a,b,c)， uurruur2r2222222则：m=2+(-1)+(-2)=9；n=a+b+c；mn=2a-b-2c； uurruurr代入向量不等式mnmn得： 9(a2+b2+c2)(2a-b-2c)=36 2即：a2+b2+c24，故：a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“向量法”. 柯西不等式 由柯西不等式： 22+(-1)2+(-2)2(a2+b2+c2)(2a-b-2c)2 62=4 即：(a+b+c

16、)22292+(-1)+(-2)222(2a-b-2c)2故：a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“柯西不等式”. 拉格朗日乘数法 构建拉氏函数：L(a,b,c)=a2+b2+c2+l(2a-b-2c-6) 在极值点的导数为0，即： L=2a+2l=0，即：l=-a； aL=2b-l=0，即：l=2b； bL=2c-2l=0，即：l=c. c代入2a-b-2c=6得：l=-则：a=24 3424，b=-，c=- 3332222236424故：a+b+c+-+-=4 9333求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下，就像第4(3)题. 本题a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“

17、拉格朗日乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式得： (2a)2(-b)2(2c)2(2a-b+2c)262a+b+c=+=4 4144+1+49222即：a2+b2+c24，故：a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“权方和不等式”. (a-1)2(b+2)2(c-3)2例12.若a,b,cR，且+=1，求a+b+c的最大值和最小值. 1654解析 柯西不等式 由柯西不等式： 24+(5)22222a-1b+2c-32 +2+a-1+b+2+c-3()()()4522即：251(a+b+c-2)；故：-5(a+b+c-2)5. 于是：-3(a+b+c)7. 此法称为“柯西不等式”. 三角换元

18、法 (a-1)2(b+2)2(c-3)2有人说：+=1是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 1654它的三个半轴长分别为：A=4，B=5，C=2 设：x=a-1，y=b+2，z=c-3，则这个椭球的方程为： x2A2+y2B2+z2C2=1 现在来求a+b+c的最大值和最小值. 采用三角换元法： 令：x=Asinqcosj，y=Bsinqsinj，z=Ccosq 代入方程检验，可知它满足方程. 采用辅助角公式化简： f=x+y+z=Asinqcosj+Bsinqsinj+Ccosq =4sinqcosj+5sinqsinj+2cosq =42+5sinq(44+52cosj+54+52

19、sinj)+2cosq =42+5sin(a+j)sinq+2cosq =21sin2(a+j)+2221sin(a+j)21sin(a+j)+222sinq+221sin(a+j)+222cosq =21sin2(a+j)+22sin(q+f) 故：f=x+y+z的峰值是： 当sin2(a+j)=1时，fm=21sin2(a+j)+22=21+22=5 即：-5x+y+z5 而x+y+z=a-1+b+2+c-3=a+b+c-2， 故：-5a+b+c-25，即：-3a+b+c7. 此法称为“三角换元法”. 拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数为： (a-1)2(b+2)2(c-3)2L(a,b,c)

20、=a+b+c+l+-1 5416当拉式函数取极值时，有：LLL=0，=0，=0. 则： abcLa-188=1+l=0，即：l=-或a-1=-； a8a-1lL2(b+2)55=1+l=0，即：l=-或b+2=-； b52l2(b+2)Lc-322=1+l=0，即：l=-或c-3=-. c2c-3l则：(a-1):(b+2):(c-3)=8:5:2=16:5:4 2设：a-1=16k，则：b+2=5k，c-3=4k (a-1)2(b+2)2(c-3)2代入+=1得：16k2+5k2+4k2=1 1654即：25k2=1，即：5k=1 于是：(a-1)+(b+2)+(c-3)=16k+5k+4k

21、=25k 即：a+b+c=55k+2-5+2,5+2 即：a+b+c-3,7 拉格朗日乘数法求出的是极值，即a+b+c的极小值是-3、极大值是7. 这就是“拉格朗日乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式得： (a-1)2(b+2)2(c-3)2(a-1+b+2+c-3)21=+ 165416+5+4(a+b+c-2)21，即：(a+b+c-2)252 即：25故：-5(a+b+c-2)5，即：-3a+b+c7. 此法就是“权方和不等式”. 例13.若a,b,c0，x,y,z0，且满足a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36， ax+by+cz=30，求：a+b+c的值. x+y+z解析

22、 柯西不等式 由柯西不等式：a2+b2+c2()(x2+y2+z2(ax+by+cz) abc=l， xyz)2当柯西不等式中等号成立时，有：即：a=lx，b=ly，c=lz，l0 本题，将a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36，ax+by+cz=30代入得： 2536302，正是等号成立. 则：a2+b2+c2=l2(x2+y2+z2)； 即：l=2a2+b2+c2x2+y2+z2=255，即：l= 366故：l=abca+b+c5= . xyzx+y+z6此法称为“柯西不等式”. 例14.求证：证明 放缩法 n12k=1k5. 3k=1k2n1=1+nk=2k2n1=1+k=2n4

23、k2 n41+11=1+2-4k2-1 2k-12k+1k=2k=241151=1+2-1+2= 3332n+1注意变形为不等式的方法，虽然仍是“放缩法”. 1例15.当n2时，求证：2(1+)n3. n证明 放缩法 由二项式定理得： n1k11121n11+=C=1+C+C+.+Cnnnnn; k2nnnnnk=0n采用放缩法： 1当n2时，1+Cnn121n111+Cn2+.+Cnn1+Cn=2 nnnn1即：1+2 n由二项式定理并采用放缩法得： n1k11+=1+Cnk nnk=1nn!11n!=1+k=1+ kk=1k!(n-k)!nk=1k!(n-k)!nnn=1+1n(n-1)(

24、n-2)(n-k+1).k! nnnnk=1nnn1111+=1+1+=2+ k=1k!k=2k!k=2k!n1112+=2+- k=2k(k-1)k=2k-1knn=2+1-13 n本题由二项式中，分子由从n开始的k个递减数连乘，分母由k个n连乘，得到的分数必1定小于1. 于是得到：(1+)n3. n此法为“放缩法”. 伯努利不等式 11由伯努利不等式得： 1+1+n=2. nn式得证. 单调性法 本题也可以利用函数的基本性质证明. 1x构建函数：f(x)=1+，则在x1时，函数为单调递增函数. xn故：在x2时，f(x)f(1)=(1+1)1=2 利用指数不等式： 1+xex 11x则：f

25、(x)=1+=(1+y)y(ey)y=e3. x1式得证. 由于指数不等式也可以由函数单调性得到， 故此法称为“单调性法”. 例16.求证：证明 裂项相消法 由放缩法得： 113135.(2n-1)+.+(2n)2-1=(2n-1)(2n+1) 故：2n-12n 2n2n+1令：Sn=13(2n-1)24(2n)， Tn=. .24(2n)35(2n+1)由得：SnTn 13(2n-1)24(2n)12即：SnSnTn=.=352n+1 24(2n)(2n+1)故：Sn2n+1+2n-1得： 12n+122n+1+2n-1，即：12n+1(2n+1-2n-1)， 代入式得：Sn2n+1-2n-

26、1 因为S1+S2+.+Sn=113135.(2n-1) +.+224246.(2n)所以待证式为：S1+S2+.+Sn2n+1 将式代入S1+S2+.+Sn中采用裂项相消法得： S1+S2+.+Snk=1(n2k+1-2k-1)=2n+1-12n+1 式得证. 本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差， 然后利用求和来消去中间部分，只剩两头. 此法称为“裂项相消法”，只不过更另类一些. 例17.求证：2(n+1-1)1+证明 裂项相消法 由放缩法得：2n2n+1+n=212+.+1n2(1+1-1)+.+(n+1-n) =2(n+1-1) 由放缩法得：8n-1(2)(8n(22-1

27、)2-1=8n28n2-2 ()即：8n2-18n28n2-2 将8n28n2-2=24n24n2-1=22n(2n+1)2n(2n-1) 代入式得：8n2-22n(2n+1)2n(2n-1)1 令：x=2n，则上式可写为：2x2-2x(x+1)x(x-1)1 即：x(x+1)+x(x-1)-2x(x+1)x(x-1)1 即：()()()(x(x+1)-x(x-1)21，即：x1n(x+1-x-11 )即：2n(2n+1-2n-11，即：)2(2n+1-2n-1 )由式进行多项求和并采用“裂项相消法”得： 1+12+13.+1n2(2+1-2-1)+.+(2n+1-2n-1) 1，xk-1=k

28、-1，xk+1=k+1 则：yk=1k，yk-1=1k-1，yk+1=1k+1xk-1 xkxk+1 于是，由面积关系得： k1xk-1dx1k1kk+11xkdx k+1k即：2x()kk-12x()1k2(k+1-k) 当k1时，上式即：2(k-k-1)故：1+2(n-1)k=1nn1k1k1k2(n+1-1) 2n-1 即：2(n+1-1)k=1n故：2(n+1-1)0,求证：证明 (1) 单调性法 构造函数：f(x)=x-ln(1+x)，则：f(0)=0. 当x0时，函数的导数为：f(x)=1-10， 1+xxln(1+x)0时，函数f(x)为增函数. 即：f(x)f(0)=0； 故：

29、f(x)=x-ln(1+x)0，即：ln(1+x)0时，其导数为：g(x)=-0. 221+x1+x(1+x)(1+x)即当x0时，函数g(x)为增函数. 即：g(x)g(0)=0； 故：g(x)=ln(1+x)-当x=0时，xx0，即：ln(1+x) 1+x1+xx=ln(1+x). 1+x由和，本题证毕. 本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题. 当x0时，xln(1+x)x. 1+x这是重要的不等式，简称为“对数不等式”. 此法称为“单调性法”. 例19.已知：nN+，求证：证明 积分法 构造函数：f(x)=1，在函数图象上分别取三点A,B,C xB G O D A H C F 111

30、11+.+ln(1+n)1+.+. 23n+12n111),C(k+1,) 即：A(k,),B(k-1,kk-1k+1A 我们来看一下这几个图形的面积关系： SAEFCSAEFH=SAEDGSAEDB 即：kk+11dxf(k)1xk1k-1xdx kE 即：lnxkk+1f(k)lnxk-1 1lnk-ln(k-1) k1求和： k即：ln(k+1)-lnk左边不等式ln(k+1)-lnkk=1(ln(k+1)-lnk)n111=1+.+ k2nk=1n即：ln(n+1)1+右边不等式n+111+.+ 2n1lnk-ln(k-1)求和： k1111=+.+n(n-1). 证明 极值法 A 由

31、于n(n-1)(n-12)2即可. 即：2n122(2n-1)2，即：2n+2(2n-1)2 即：(n+2)ln22ln(2n-1) 即：ln22n+ln2ln(2n-1) B 构建函数：f(x)=ln22x+ln2-ln(2x-1) 其中：x2 导函数：f(x)=ln22-22x-1 我们求式得最小值. C 首先边界： 当x=2时， f(2)=ln222+ln2-ln(22-1)=2ln2-ln3=ln4-ln30当x=+时， f(x)=ln22x+ln2-ln(2x-1) xx+2x=ln222+ln2-ln(2x-1)=ln2222x-1=ln22x-1 x+2x+2x+由于222(12ln2)22xlim+2x-1=xlim2+2x-1=xlim2+2=+ x+2x+2所以xlim22+ln=lnlim22=+0