35群的自同构群.docx

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1、35 群的自同构群8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G的任何一个正规子群N，就可以产生一个商群GH，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M是一个有代数运算的集合，则M的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M的自同构群。 证明 设s,t是M的任意两个自同构，则a,bM，有 st(ab)=st(ab)=st(a)t(b)=s(t(a)s(t(b)=st(a)st(b)， 即st也是M的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为xM有ss(x)=ss(x)=x，故 s-1-1-

2、1(ab)=s-1-1ss-1(a)ss-1(b)=s-1s(s-1(a)s-1(b)=s-1(a)s-1(b) 即s也是M的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为S(M)，称为M的对称群。定理1表明M的自同构群是 S(M)的一个子群。 ）的全体自同构关于变推论1 群G。又由于s是双射，因此s=s(a)s(b)，其中 s(c)c s(a),s(b),s(c)是a,b,c的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据

3、K的运算特点，可以验证这些全排列都是K的44自同构。 例如，设s(e)=e,s(a)=b,s(b)=a,s(c)=c，则可以验证它是K的自同构: s(ab)=s(c)=c=ba=s(a)s(b), 4s(ac)=s(b)=a=bc=s(a)s(c),L. 3由于a,b,c的全排列共有6 个，与S同构，因此K的全体自4同构也有6 个，AutK4 2.循环群的自同构群 S3。 定理2 无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； n阶循环群的自同构群是一个j(n)阶的群，其中j(n) 是欧拉函数。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系

4、。 因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如， 设G=是由a生成的循环群，则当k是小于n且与n互素的正整数时，a也是G的生成元，即Gsk:GGik=。此时，令 k，jjsk(a)=a) ，i+jk，则有(i+j)kiksk(a)=aiik，且jaaij时，sk(a)ska(isk(aa)=sk(ak)=a=aajk=sk(a)sk(a)， i即s是G的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，n阶循环群只有j(n)个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和j(n)阶的群。 例2 求G=，|a|=4，4阶循环群的自同构群。 解 j(4)=2，两个生成元为a,a，从而AutG=e,s，其中

5、 ee=eaaaa223ea是恒等置换，s=3ea3aa3aa223aa。 求G=，|a|=5，5阶循环群的自同构群。 j(5)=4，4个生成元为a,a其中，e s 推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。 证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素e=e2,a,a34，从而AutG=e,s1,s2,s3，aaaa42e是恒等置换，s1=eaa2aa2a34aaa24a3a3， aa32a3a44ea，s3=2eaaa324a。 a数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。 注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可 以相同。 3. 内自同构群 定

6、理3 设G是一个群，aG，则 sa:xaxa,(xG)是G自同构； G的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G的内自同构群，记为Inn G； Inn GAutG。 证明 易知sa是G的一个双射变换。又 sa(xy)=a(xy)a-1-1-1-1的一个自同构，称为G的内=(axa)(aya)=sa(x)sa(y)， 所以sa是G的一个自同构。 设sa与sb是G的任何两个自同构，则xG， sasb(x)=sa(sb(x)=sa(bxb)=a(bxb)a-1-1-1=(ab)x(ab)-1=sab(x)， 即有sasb=sab仍是一个内自同构，此表明Inn G关于变换的乘法封闭。又易知(sa

7、)-1=sa-1InnG，且se=e是幺元， ， 结合律显然成立，所以Inn G关于变换的乘法作成一个群。 tAutG,saInn G，xG。令t-1(x)=y，即t(y)=x则tsat-1(x)=tsa(y)=t(aya-1)=t(a)t(y)t(a-1)=t(a)xt(a)-1=st(a)(x)， -1tstx由的任意性有a=st(a)Inn G，所以Inn GAutG。 注意：设NG，则aG有aNa-1N，即sa(N)N，亦即N对G的任何内自同构都保持不变；反之，若G的一个子群有此性质，则它必是G的正规子群。这就是说，G的正规子群就是对G的任何内自同构都保持不变的子群： NGsInn G

8、,s(N)N。 因此，也常称正规子群为不变子群。 群的中心： 称C(G)=a|ax=xa,xG为群的中心，即群G的中心就是与G的所有元素都可交换的元素组成的集合。 根据中心的定义，显然有C(G)G。 定理4. GC(G)Inn G. 证明 利用同态基本定理。 令 j:GInnG，j(a)=sa(aG)， 显然，这样定义的j是满射。由定理3知sasb=sab，即 j(ab)=j(a)j(b)，所以j是满同态。又 Kerj=aj(a)=e,aG=asa=e,aG=asa(x)=x,aG,xG =aaxa-1=x,aG,xG=aax=xa,aG,xG=C(G)。 由同态基本定理，有GC(G)Inn

9、G. 注意：定理4表明，要求G的内自同构群Inn G，只需求出 G的中心C(G)，再作商群GC(G),即得Inn G，所以求一个群的内自同构群相对容易些。但是要求出一个群的自同构群AutG，一般来说是非常困难的。这是因为，在大多数情况下，一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。例如，由例1知，交换群的自同构群可以是非交换群，AutK4S3；推论2表明，不同构的群它们的自同构群可以同构。 但是，有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。 定理4. 设G=是由a生成的p阶循环群，p是素数，则 *AutG是p-1阶的群，且Aut G。 * 这里Zp=1,2,L,p-1，乘法指模p乘法。 证明

10、略。 4。正规子群的推广 前面有，正规子群就是对G的所有内自同构都保持不变的子群，将这一概念推广就得到： 特征子群：对群G的所有自同构都保持不变的子群叫做G的一个特征子群，即sAutG都有s(N)N。 例3，任何群G的中心C(G)都是G的特征子群。 证明 只需证明sAutG都有s(C s(x)a=s(x)s(s =s(s-1(G)C(G，亦即sAuGt，xC(G)都有s(x)C(G)。验证：aG， -1(a)=s(xs-1-1(a)=s(s-1(a)x)(a)x)=s(s(a)s(x)=as(x)， 所以s(x)C(G)，结论成立。 注意：显然，特征子群一定是正规子群；但反之不成立， 即正规子

11、群不一定是特征子群。 例如，取G=K4=e,a,b,c，N=e,a，则NG。取s:K4K4，s(e)=e,s(a)=b,s(b)=a,s(c)=c4，则前面例1已验证s是K的一个自同构，对此自同构 s(N)=e,b所以K不是特征子群。 4N=e,a， 全特征子群：设H 的一个全特征子群。 例4 证明：循环群G=的子群都是全特征子群。 =tsG。如果H对G的所有自同态都保H持不变，即对G的每个自同态j都有j(H)，则称H为G 证明 由于循环群的子群还是循环群，所以可设H例j:GGask。是任何自同态，则存在t，使得 j(a)=a。于是sksktsktH，有j(a)=(a)=(a)H，所以H是G的

12、一个全特征子群。 注意：显然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成立，即特征子群不一定是全特征子群。 例如，群的中心总是特征子群，但不一定是全特征子群。 例5 有理数域Q上的2阶线性群G 则C(G)不是全特征子群。 证明 首先AG，即A为有理数域上的2阶满秩方阵，则 行列式|A|是一个有理数。因此可令|A|=ba2n(A)=GL2(Q)的中心 C(G)=AAG,A=aI,a0,aQ， ，其中a,b 是奇数，n(A)是与A有关的一个正整数，由A唯一确定。 设|B|=dc2n(B)，其中c,d是奇数。则|AB|=|A|B|=bdac2n(A)+n(B)， bd,ac是奇数，所以n(AB)=n(A)+n(B)。于是令 1 j:GG，A0n(A)。 由于 1n(A)+n(B)1=10n(A)110n(B)=j(A)j(B)， 1 j(AB)=10n(AB)1=10 故j是G的一个自同态。关于此自同态，取 A=202=2IC(G)0，则j(A)=1201C(G)，这说明 |A|=4=22，n(A)=2，所以 C(G)不是全特征子群。