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1、常微分方程作业参考答案 常微分方程 常微分方程作业参考答案 一求解下列方程 1y=ccosx 2通解为：y=ccosx+sinx 2xd(x2-1)2y=lnx-1+ cdx dy= 3dy=2 2-1x-1x y(0)=c=1 y=ln|x2-1|+1 4y- yyyy=(1+)ln(1+) 令 u=y=xu xxxx+xdu=u(1+dxu)+ln( 1u+ )dy=udx故 xdu=(1+u)ln(1+u) dxdudxdln+(1u)dx= (1+u)ln(1+u)xln+(u1)x(u1=)c x 1+u=ecx lnln(1+u)=lnx+lnc ln+1+y=ecx y=x(ec
2、x-1) x2y2y+4lnx=c. xx5. 可分离变量方程，通解为(1+x2)(1+y2)=cx2. 6齐次方程，通解为 sin7全微分方程，通解为 x4-6x2y2+y4=c. d2y2dy+y=0. 82+dxxdx9. 解为 3y=(x-3)x. sin2xx2+y210. 通解为 +=c. y2d2y1dy1+2y=0. 11方程为 2-dxxdxxc1x+c2). 12通解为 y=tan(二 1通解为：e= y12xe+c 2第 1 页 共 4 页 常微分方程 x013-t2t2. 通解为： y=c11e+c20+c3-2e z-2113.y(0)=y0=0 y1=4. Q121
3、15x y2=x2+x 2220uMuNMuNu Qu =+M=u+Nyyxxyx令 x2+y2=u uduudu=2y =2x yduxduuNMMduNdudu 2(y-x)故满定充要条件的表达式为：+2y=u+2x=u-yduxduduxy-My=j(x2+y2) Nxy-x5.v= 12(x+y2) 2(*)dvdt -(x2+s2)0 x+s0 渐近稳定 22dxdt=-2x-3y26.一次近似方程为： 特征方程为：l+l+1=0 dy=x+ydtD=-30 P10 Re(l)0, 则局部渐过稳定. 1Re(l2)0 g=100 D0 故 (0.0)为稳定结点 11. dxdt=-x
4、-y1.一次近似方程为：dy dt=x-yl2+2l+2=0 2.v= Rel10 Rel(2)0 为局部渐近稳定 12dv(x+y2). l(*)=(x2+y2)(x2+y2-1) 2dtdv0 故局部渐近稳定. dt22故x+y0,s.t.f(x)M(x0,+).则x0,+)，有 x y(x)y0+Me-xx0(x0-x)seds=y+M(1-e)y0+M. 0 Q y(x)C(0,x0), $M0,s.t.y(x)M,x0,x0. 令 K=maxM,y0+M, y(x)K,x0,+). 15.通解为 y=c1e+c2x+(x-x)e. 16a=2, 特解为 y1=x, 通解为 y=c1x+c2(1-x+2xlnx). 2x122x第 4 页 共 4 页
