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1、数学归纳法教案 数 学 归 纳 法教案 阮晓锋 知识与技能： 理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证明的步骤. 过程与方法： 通过多米诺骨牌游戏引出数学归纳法的原理，培养学生探索发现、提出问题的意识以及分析解决问题和数学交流的能力. 情感态度价值观：通过让学生亲历知识的构建过程，感悟数学的内在美，激发其 学习热情，使学生喜欢数学，并初步形成严谨务实的科学态 度和勇于探索的治学精神. 借助具体事例理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证明的步骤，并能运用它证明一些与正整数有关的数学命题. 不易理解数学归纳法的递推实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不理解第二步证明为何一定要用到归纳假设. 本节
2、课采用类比启发、合作探究式教学方法. 一、创设问题情景 问题情景：对于数列an,已知a1=1,an+1=猜想其通项公式为an=an, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，1+an1 。这个猜想是否正确，如何证明？ n一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。 二、探索新知 1、动画演示多米诺骨牌游戏，思考使这些骨牌全部倒下的条件及其作用。 多米诺骨牌游戏是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下
3、，则一定导致后一块骨牌倒下。只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下又可以导致第三块骨牌倒下，最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： 第一块骨牌倒下； 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 其中条件是一种特殊情况，起归纳奠基作用。 提问：你认为条件的作用及实质是什么？ 可以看出，条件事实上给出了一个递推关系： 当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 这样，只要保证成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。 2、类比多米诺骨牌游戏原理解决数学问题。 1 这个猜想与上述多米诺n骨牌游戏有相似性吗？你能类比多
4、米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 思考：你认为问题情景中证明数列的通过公式是an=类比分析： 多米诺骨牌游戏原理 第一块骨牌倒下。 证明猜想“通项公式为an=1 ”的方法 n当n=1时a1=1，猜想成立 1 若当n=k时猜想成立，即ak= ，若第k块倒下时，则相邻的第k+1k块也倒下。 则当n=k+1时猜想也成立，即有。 根据和 ，可知不论有多少块根据和，可知对任意的正整数n，骨牌，都能全部倒下。 猜想都成立。 3、数学归纳法的原理 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； 假设n=k(kn0,kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命
5、题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法。 三、演练反馈 1、例1.用数学归纳法证明：122232n2=1 n(n+1)2 612 n2 4ak+1=1k+1 变式练习1：用数学归纳法证明132333n3=1111，L，,L,计算S1,S2,S3,S4,根据1447710当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，左边=右边，等式成立。 假设当n=k时，等式成立，即20+21+22+.+2k-1=2k-1 1-2k+1012n-1n=2k-1 那么当n=k+1时， 2+2+2+.+2+2=1-2 这表明，当n=k+1时，等式也成
6、立。 根据和知等式对任何n0N*都成立 2、欲用数学归纳法证明2nn2，试问n的第一个取值 应是多少? 运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时，两个步骤缺一不可其中第一步起奠基作用，是归纳的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了依据。 作为一种证明方法，数学归纳法的基本思想是递推思想，从而能用有限的步骤去证明无限的结论。应用数学归纳法证题尤其要注意第二步，要特别注意证明nk1时命题成立必须要用到nk时命题成立这个假设 五、课堂小结 1、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题. 2、用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当 n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 3、两个注意： 其中两个步骤缺一不可，前者是归纳递推基础，后者则是归纳递推依据。 第二步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”一定要用到归纳假设。 口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 六、布置作业 1.课本上的作业. P96 习题2.3：A组第2题，B组第2题 2.能力培养与测试配套课时作业本中的课后限时检测(十八)
