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1、等比数列的前n项和教学设计海南省洋浦中学周丽宇一,教材分析等比数列的前n项和教学设计 海南省洋浦中学 周丽宇 一、教材分析 1.在教材中的地位与作用 在数列一章中，等比数列的前n项和是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是等差数列的前n项和与等比数列的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n项和公式的
2、探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2教材编排与课时安排 提出问题探究等比数列前n项和公式公式运用问题解决。 本节“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间为
3、2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。 二、教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下： 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法的运用。 感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法，渗透类比思想、方程思想、分类讨论思想，优化思维品质，初步提高学生的数学问题意识和探究、分析与解决问题的能
4、力。 通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。 三、重、难点分析 等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。 第 1 页 共 7 页 等比数列前n项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推
5、导与等差数列的前n项和公式的推导的可进行类比推导，但需要充分挖掘方法的本质，理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的。因此，教师在发挥学生主体性前提下通过问题的逐层设置来给予适当的提示和指导。 四、学情与教法分析 1学情分析 从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识，能够把本节内容与等差数列前n项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。而且对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习使用过程中往往会出错。学生虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成
6、，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 2教法分析 根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。 3教学构想 等比数列前 n项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律，类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。 课后可以给出等比数列前 n项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练
7、习的选择要全面，不能忽略q=1的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的求解。 五、教具准备 教科书 多媒体课件和操作系统 六、教学过程 问题情境 从前，有个贪婪的地主，总是剥削他的佃农，有一天，农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。 春天到来时，地主对农夫说：“一年之计在于春，又到了春播时节了。你到地里干一个月的活，先来谈谈你的工钱。哎，最近官吏征收繁多，地主家也没有多少余粮啊。” 农夫说：“这样吧，工钱不要了，我每天给你一袋米，你第一天给我一粒大米，第二天给我两粒，第三天四粒，
8、第四天八粒以后每天给我的大米数是前一天的2倍。你看如何？” 地主心想：第一天1粒，第二天2粒，第三天4粒，第四天8粒居然有这么笨的农夫，我一把米可以换他多少袋米啊。哈哈，我赚大发了。 地主就马上同农夫进行了签字画押。 问题探究 问题1：这个故事中，地主中计了吗？到底谁吃亏了？ 答： . 第 2 页 共 7 页 问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？ 答： . 问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？ 答： . 问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？ 答： . 问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？ 答： . 问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接
9、代入公式计算。 答： . 问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？ 答： . 问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？ 答： . 方法回顾 回顾等差数列求和公式的推导过程： 数列an为等差数列，其前n项和为Sn,则Sn=a1+a2+LL+an-1+an 根据式，如何构造另一个式子？ 把这两个式子怎么样？ 再利用性质化简，最后得出公式。这种方法叫做 ，其目的是 类比探究 问题1：对于等比数列an，是否也能用倒序相加的方法进行求和Sn=a1+a2+LL+an-1+an呢?请大家动手试试。 解析1： 解析2： 反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘 。 问题2：求和的根本目的是
10、什么？ 答： . 改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用 来表示，即Sn= 问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 答： 问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子，而要达到消项的目的，就须使两式具有 问题5：如何构造式子？ 答： . 第 3 页 共 7 页 问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？ 答： . 问题7：要求出Sn，是否可以把上式两边同除以1-q？ 答： . 注意： 是一种常用的数学思想方法！ 探究成果： 等比数列an的前n项和为Sn=a1+a2+LL+an-1+an 则当 时, Sn= ； 当 时, Sn= . 方法小结： 联想
11、我们学过的知识，即类比，挖掘其方法的,结合等比数列自身的来构造式子，再把两式，这种方法叫做. 课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？ 方程探究 问题1：还有其它的推导方法吗？ 问题2：根据式Sn=a1+a1q+LL+a1qn-2+a1qn的特点，能否建立一个关于Sn的方程？若能，就可从方程中解出Sn 问题3：式的左边是Sn,要建立一个关于Sn的方程,那就要将式的右边也用含 的式子来表示。 问题4：观察式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式 ，是否可考虑将之提出来？ 答： . 问题5：括号里面的，与式右边对照，少了哪一项？ 答： . 问题6：括号里面的，怎样用含Sn的式
12、子表示？ 答： . 问题7：这样就得到了一个什么方程？ 答： . 问题8：解方程时要注意对进行。 过程小结： 根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式后，可将其用含的式子表示出来，从而建立关于的方程，解此方程即可。 第 4 页 共 7 页 注意： 是一种重要的数学思想方法！ 课后思考：对和式的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？ 熟悉理解公式 等比数列an的前n项和为Sn，则 当q=1时, Sn=na1 na1当q1时, Sn= 1q思考1：根据公式，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？ 答： 思考2：能否将Sn用a1, q, an来表示？ 答： 思考3：什么时
13、候用公式, 什么时候用公式? 答： 公式的应用 例1.求下列等比数列前8项的和 (1) 12，14，18， 1243(2) a1=27，a9=，q0 解题思路：先求出 ，再用 求S8 解： 思考：能否用公式求S8？ 答： 变式1 判断正误： 1-2+4-8+L+(-2)n-1=1(1-2)1-2nn1+2+22+23+L+2n=1+a+a+L+a2n-11(1-2)1-2n=1(1-a)1-a反思总结： 用等比数列前n项和公式前，要先弄清楚数列的 变式2 填空： 第 5 页 共 7 页 题号 1 2 3 4 5 a1 3 8 -1.5 1.5 q 2 0.5 -2 n 6 4 3 an 0.5
14、 96 -96 Sn 4.5 -66 反思总结： 在等比数列中，已知a1、q、n、an、Sn中的个，可求另外个。 如果不能用公式直接求出某个量，就要建立来求解 问题解决 地主一共要给农夫的米粒的总数为S30=1+2+22+L+229 = 粒 斤 启示：这个故事告诉了我们什么？ 课堂小结 这节课我们主要学到了什么？ 1一个公式： 2两种方法： 3三种数学思想： 作业布置 1.必做题：教材61页第1、2、3题。 2.课外思考题： (1)求数列1,3a,5a,27a,L的前n项和. 3(2)请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前n项和的公式: aaa2=3=L=n=q形式
15、a1a2an-1形式 a2=a1q,a3=a2q,a4=a3q,L,an=an-1q 第 6 页 共 7 页 八、教学设计说明 问题情境故事化。采用语音动画形式叙述故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。 问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，
16、发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。 巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。 板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上，有助于学生的阅读和理解，即时在黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，方便学生作笔记。 通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。 第 7 页 共 7 页
