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1、一元二次方程培优提高例题考点一、概念 (1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方2程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a0) 难点：如何理解 “未知数的最高次数是2：” 该项系数不为“0；” 未知数指数为“2；” 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是 A 3(x+1)=2(x+1) B 211+-2=0 x2x22C ax+bx+c=0 2D x+2x=x+1 22变式：当k 时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。 例2、方程(m+2)x针对
2、练习： 1、方程8x=7的一次项系数是 ，常数项是 。 2m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 2、若方程(m-2)xm-1=0是关于x的一元一次方程， 求m的值；写出关于x的一元一次方程。 3、若方程(m-1)x2+mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是 A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知2y+y-3的值为2，则4y+2y+1的值为
3、 。 22例2、关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的系数满足a+c=b，则此方程 必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。 例4、已知a,b是方程x-4x+m=0的两个根，b,c是方程y2-8y+5m=0的两个根， 2则m的值为 。 针对练习： 1、已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为 ，另一根是 。 22、已知关于x的方程x+kx-2=0的一个解与方程2x+1
4、=3的解相同。 x-1求k的值； 方程的另一个解。 3、已知m是方程x-x-1=0的一个根，则代数式m-m= 。 224、已知a是x-3x+1=0的根，则2a-6a= 。 225、方程(a-b)x2+(b-c)x+c-a=0的一个根为 A -1 B 1 C b-c D -a 6、若2x+5y-3=0,则4x32y= 。 考点三、解法 方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：降次 类型一、直接开方法：x2=m(m0),x=m 对于(x+a)=m，(ax+m)=(bx+n)等形式均适用直接开方法 222典型例题： 例1、解方程：(1)2x-8=0; (2)25-16x=0; (3)(
5、1-x)-9=0; 222例2、解关于x的方程：ax-b=0 2例3、若9(x-1)=16(x+2)，则x的值为 。 22针对练习：下列方程无解的是 A.x+3=2x-1 B.(x-2)=0 C.2x+3=1-x D.x+9=0 2222类型二、因式分解法:(x-x1)(x-x2)=0x=x1,或x=x2 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0，” 方程形式：如(ax+m)=(bx+n)，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c) ， 22x2+2ax+a2=0 典型例题： 例1、2x(x-3)=5(x-3)的根为 A x=552 B x=3 C x1=,x2=3 D x= 25
6、22例2、若(4x+y)+3(4x+y)-4=0，则4x+y的值为 。 变式1：a2+b2()-(a22+b2-6=0,则a2+b2= 。 )变式2：若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，则x+y的值为 。 例3、方程x+x-6=0的解为 2A.x1=-3，x2=2 B.x1=3，x2=-2 C.x1=3，x2=-3 D.x1=2，x2=-2 例4、解方程： x2+23+1x+23+4=0 例5、已知2x2-3xy-2y2=0,则()x+y的值为 。 x-yx+y的值为 。 x-y变式：已知2x2-3xy-2y2=0,且x0,y0,则针对练习： 1、下列说法中： 方程x+px+q=0的
7、二根为x1，x2，则x+px+q=(x-x1)(x-x2) 22 -x+6x-8=(x-2)(x-4). 2a-5ab+6b=(a-2)(a-3) 22 x2-y2=(x+y)(x+2y)(x-y) 方程(3x+1)-7=0可变形为(3x+1+7)(3x+1-7)=0 正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、以1+7与1-7为根的一元二次方程是 Ax-2x-6=0 Bx-2x+6=0 22Cy2+2y-6=0 Dy2+2y+6=0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足
8、(x+y-3)(x+y)+2=0，则x+y的值为 A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 5、方程：x+21=2的解是 。 x2bb2-4ac2类型三、配方法ax+bx+c=0(a0)x+ =22a4a在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题： 例1、试用配方法说明x-2x+3的值恒大于0。 22例2、已知x、y为实数，求代数式x2+y2+2x-4y+7的最小值。 例3、已知x2+y2+4x-6y+13=0，x、y为实数，求x的值。 y例4、分解因式：4x+12x+3 2针对练习： 1、试用配方法说明-10x+7x-4的值恒小于0。
9、 22、已知x+2111-x-4=0x+= . ，则xxx23、若t=2-3x2+12x-9，则t的最大值为 ，最小值为 。 1、关于x的方程x+px+q=0的两根同为负数，则 Ap0且q0 Bp0且q0 Cp0 Dp0且q1 例3、已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰DABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求DABC的周长。 例4、已知二次三项式9x2-(m+6)x+m-2是一个完全平方式，试求m的值. 说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式D=0 即：若b-4ac=0，则二次三项式ax+bx+c
10、(a0)为完全平方式；反之，若 22ax2+bx+c(a0)为完全平方式，则b2-4ac=0. x2+2y2=6,例5、m为何值时，方程组 mx+y=3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？ 针对练习： 1、当k 时，关于x的二次三项式x+kx+9是完全平方式。 22、当k取何值时，多项式3x-4x+2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 23、已知方程mx-mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的值是 . 24、k为何值时，方程组y=kx+2,y-4x-2y+1=0.2有两组相等的实数解，并求此解； 有两组不相等的实数解； 没有实数解. 5、当k取何值时，方程x-4mx+4x+3m
11、-2m+4k=0的根与m均为有理数？ 22考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0 有两个实数根，则m为 , 只有一个根，则m为 。 例2、不解方程，判断关于x的方程x2-2(x-k)+k2=-3根的情况。 例3、如果关于x的方程x+kx+2=0及方程x-x-2k=0均有实数根，问这两方程 22是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。 考点六、根与系数的关系 2前提：对于ax+bx+c=0而言，当满足a0、D0时， 才能用韦达定理。 主要内容：x1+x2=-应用：整体代入求值。 典型例题： 例1、已知一个直角三
12、角形的两直角边长恰是方程2x-8x+7=0的两根，则这个直角三 2bc,x1x2= aa角形的斜边是 A.3 B.3 C.6 D.6 说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握a+b、 a-b、ab、a2+b2之间的运算关系. 例2、解方程组： x2+y2=10,x+y=10, (1)(2)xy=24;x+y=2.说明：一些含有x+y、x2+y2、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外， 往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题. 有时，后者显得更为简便. 例3、已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1
13、,x2， 求k的取值范围； 是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。 例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明因看错 常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？ 22例5、已知ab，a-2a-1=0，b-2b-1=0，求a+b= 变式：若a-2a-1=0，b-2b-1=0，则222ab+的值为 。 ba例6、已知a,b是方程x-x-1=0的两个根，那么a4+3b= . 针对练习： 1、解方程组x+y=3,22(1)x+y=5(2)22已知a-7a=-4，b-7b=-4(ab)，求2ba的值。 +ab323、已知x1,x2是方程x-x-9=0的两实数根，求x1+7x2+3x2-66的值。 2
