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1、两个三角形相似的条件两个三角形相似的条件 一、相似三角形的判定方法： 相似三角形的判定方法可类比全等三角形的判定方法进行研究 判定方法类比： 全等三角形 相似三角形 两边和其夹角对应相等，两三角形全等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判 两角和其夹边对应相等，两三角形全等 两角对应相等，两三角形相似定 三边对应相等，两三角形全等 三边对应成比例，两三角形相似方 斜边和一条直角边对应相等，两直角三 一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一法 角形全等 个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，两直角三角形相似 此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似 二、相似
2、三角形判定中常见常用的基本图形 1、平行线型 2、相交线形 3、旋转型 三、例题： 例 1、选择题：已知，如图ABC 中， DE/BC，BE 与 CD 交于 F 点，则图中相似 三角形共有对。 1 2 3 4 分析：因为DE/BC，图中有两个基本图形，即ADEABC，DEFCBF。故应选B。 例 2、填空题：如图，ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，则图中共有_对相似三角形。 分析：因为平行四边形对边平行，所以有AB/CD即BF/CD，又有AD/BC，所以图中相似三角形有EBFECDEBFDAF，ECDDAF，共 3 对。解略。 0 例 3、如图，ABC是等边三角形，DAE120
3、 ， 求证：ADAEABDE 分析：把要证的乘积式化为比例式： ，竖着看，等式左边AD，AB在ABD中，等式右边DE，AE在ADE中，如果能证明ABD与EAD相似问题就能得到解决。 证明： ABC是等边三角形， 0 ABC60 ， 0 0 ABD180 -ABC120 ， 0 DAE120 ， ABDDAE， 在ABD和EAD中， ABDEAD，DD， ABDEAD， ADAEABDE。 说明：本题的思路是将乘积式转化为比例式，然后找到两个三角形，用相似三角形的判定，证明它们相似，由此得到比例式，最后利用比例的基本性质得到乘积式。这是证明乘积式的一种常见方法。请同学们注意。 例 4、已知：如图
4、，ADABAEAC。 求证： FDBFEC 分析：欲证FDBFEC，观察图形只有DFBEFC，还需再寻找一个条件，由ADABAEAC可得比例式： 而A是公共角，可得ABEACD，从而可得 BC，使条件成熟。通过相似得角等，这又是一种证明角等的方法。 证明： ADABAEAC 又 AA， ADCAEB， BC， FDB和FEC中， BC， DFBEFC， FDBFEC。 例 5、正方形ABCD中，E是AD中点，BMCE于M，AB6cm，求BM的长。 分析：依题意正确画出图形， AD/BC， 12，易证RtBMCRtCDE，由此 可以得到比例式： ，其中线段BC，EC， CD的长都可以求出来，从而
5、可求出BM的长。 由相似得比例式，再由比例式求线段的长，这也是常用的计算方法。 解：如图，在正方形ABCD中， 0 D90 ，ABBCCDAD6cm AD/BC， 12， 0 BMCE， BMC90 ， BMCD， BMC和CDE中， 12，BMCD， BMCCDE， ， BM ， E是AD中点， ED AD3cm. 由勾股定理得：CE 3 BM BM cm。 测试 选择题 2 1如图所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S 矩形 40cm ，S ABE SDBA 15，则AE的长为 A4 cm B5 cm C 6 cm D7 cm 2如图， ABCD中， 在 E是BC上的一点， AE交BD于
6、点F，已知BEEC31，S FBE 18，则S FDA 的大小为。 A24 B30 C32 D12 3如图， 点 且 在正方形 ABCD 中， E 在 AB 边上， AEEB21，AFDE于 G，交 BC 于 F，则AEG 的面积与四边形 BEGF 的面积比为 A12 B14 C49 D23 4如图， 高 ABC 的底边 BCa， ADh，矩形 EFGH 内接于ABC，其中 E、F 分别在边 AC、AB 上，G、H 都在 BC 上，且 EF2FG。则矩形 EFGH 的周长是。 A B C D 5如图，在ABC中，BADECAD， ，设EBD、ADC、ABC的周长依次为m 1 、m 2 、 m
7、3 .那么 的值是 。 A 2 B 4 C D 答案与解析 答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D 解析： 1A 解 BAD90，AEBD， ABEDBA。 2 2 S ABE S DBA AB DB 。 S ABE S DBA 15 2 2 AB DB 15， ABDB1 。设ABk，DB k， 则AD 。 2 S 矩形 40cm ， k2k40。 k2 。 BD k10，AD4 。 S ABD BDAE20， 10AE20 AE4。故选A。 2C 3C 分析 易证ABFDAE。故知BFAE。因AEEB21，故可设AE2x，EBx，则AB3x，BF2x。由勾股定理得AF 。易证AGEA
8、BF。可得S AGE 2 2 2 2S ABF AE AF 413。 可得S AGE S 四边形BEGF 49。故选C。 4B 分析：由题目条件中的EF2FG得，要想求出矩形的周长，必须求出FG与高ADh的关系。由EFBC得AFEABC，则EF与高h即可联系上。 解：设FGx，则 EF2FG， EF2x。 EFBC， AFEABC。 又ADBC，设AD交EF于M，则 AMEF。 。 即 。 。 解之，得 x 矩形EFGH的周长为 6x 。 评注：此题还可以进一步求出矩形的面积。若对题目再加一个条件：ABAC，那么还可 2证出FG BGCH。通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会
9、提高自己的数学解题能力。 5D 解析：由CADADE， 得ACDE， ABCEBD，又BCAD， CC， ABCDAC。 ABCEBDDAC。即EBDDACABC。再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。 中考解析 中考典例 1如图ABC中P是AB上一点，连结CP要使ACPABC，只需添加条件 考点：相似三角形的判定 评析：因为两个三角形中有一公共A，可以再找另一个角对应相等即可可添加APC 2ABC或ACPABC；若利用对应边成比例、夹角相等，可添加AC APAB应注意不能添 或 2如图，在大小为 44 的正方形方格中，ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个A 1 B
10、 1 C 1 ，使A 1 B 1 C 1 ABC，且点A 1 、B 1 、C 1 都在单位正方形的顶点上 图 1 考点：相似三角形的判定 评析：由原图中可知ABC中，CB2，AB ，ABC135以 135角为突破口，所以要画出的三角形与之相似，必使A 1 B 1 C 1 135 ，单位 1 的正方形对角线为 ，所以以一格为一边，一对角线为一边画出A 1 B 1 C 1 ，如原图所示另外还有二种方法如图 2、3 所示 3如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4P 是 AD 上的动点，PEAC 于 E，PFBD 于 F，则 PEPF 的值为 A、 B、2 C、 D、 考点：勾股定理、矩形性质、相
11、似三角形的性质 评析：因四边形 ABCD 是矩形，AB3，AD4，所以由勾股定理求得 BD5又 PEAC，根据矩形性质，易知APEDBA，则 ，即 得 PE ，同理可证DPEDBA，则 得 PF ，所以 PEPF 应选 A 另解：过 A 作 AGBD 于 G，过 P 作 PHAG，则可证 PFHG，PEAH，于是 PEPFAG，再在ABD 内，可证 AG 4 A、1:81 B、1:9 C、9:1 D、1:3 考点：相似三角形的性质 评析：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，该题给出了面积比为 1:9 所以相似比为 13，应选 D但应注意不要将面积比再平方，选 A 就理解错了 5如图，AB
12、是等腰直角三角形 ABC 的斜边，若点 M 在边 AC 上，点 N在边 BC 上，沿直线 MN 将MCN 翻折，使点 C 落在边 AB 上，设其落点为点 P 1当点 P 是边 AB 的中点时，求证： 2当点 P 不是边 AB 的中点时， 是否仍然成立请证明你的结论 考点：平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质 评析：本题是考查学生灵活运用平行线分线段成比例定理和相似形的性质的开放性问题，解题时先分别画出点 P 在不同位置的图形当 P 是 AB 中点时，如图，连结 PC，则折痕MN 垂直平分 PC，又 ACBC，APBP，所以 PCAB，MNAB，故有 ， 所以 当 P 不是 AB 中点时，过
13、 P 作 PEAC 于 E，则 PEBC，于是 又A45， AEEP， 连结 PC，如果PECMCN 成立，则有成立 MN 是折痕， MNPC，又MCN90 PCECNM又 MCNPEC90 PECMCN 成立因此： 的结论仍然成立 证明： 如图，连结 依题意，得 折痕CP 又 ACBC APBP， CPAB， MNAB， 又 P 是 AB 中点 当点不是的中点时， 仍然成立 如图， 连结 PC，则 MNPC，过点 P 作，垂足为点 E. ACB90， PEBC， 又 ACBC， 45， A45 ， N90，CPMN， ECPMNC， MCNPEC， 即 已知：如图，D、E 是ABC 的边 A
14、B、AC 上的点，A35，C85，AED60. 求证：ADABAEAC. 考点：相似三角形的判定及性质. 评析：证明等积式，首先要转化为比例式： ，然后证明含有线段的两个三角形相似.所以该题的关键证明ADEACB，因为A35，C85由三角形内角和是得B60则AAAEDB，三角形相似得证.或A35，AED60所以ADE85，由AA、ADEC 相似三角形得证）.由相似得比例式，然后写成等积式 证明：在 ABC 中， A35，C85， B60. AED60， AEDB， AA， AEDABC， . ADABAEAC. 说明： 解答该题时要注意运用等腰直角三角形的性质 折叠问题实际就是轴对称问题，折痕是对称轴C 点落在 P 点即 C、P 两点关于折痕MN 对称这是解决折叠问题的一般方法 “是否成立”的开放型问题思考方法：先假定所给结论成立，试着证明若能证明，则所给结论成立若在证明过程中推出了矛盾结论，则所给结论不成立，同时也就说明了不成立的理由另外要将复杂的问题通过转换的数学思想，转移到熟悉的简单问题上来
