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1、有限元的力学基础第二章,2,第二章 有限元法的力学基础,2-1 弹性力学的研究内容2.2 弹性力学与材力、结构力学课程的区别2.3 弹性力学的几个基本概念2.4 弹性力学基本方程2.5 虚功原理及虚功方程,3,材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。,弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。,第一节 弹性力学的内容,结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）。,研究对象,4,：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程;在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件;并在边界条件下
2、求解上述方程，得出较精确的解答。,弹力研究方法,在研究方法上，弹力和材力也有区别：,第一节 弹性力学的内容,研究方法,5,材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。,第一节 弹性力学的内容,研究方法,因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。,6,如：梁的弯曲问题,弹性力学结果,材料力学结果,当 l h 时，两者误差很小,如：变截面杆受拉伸,弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。,7,（3）数学理论基
3、础,材力、结力,常微分方程（低阶，一个变量）。,弹力,偏微分方程（高阶，二、三个变量）。,数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。,3.与其他力学课程的关系,弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。,弹性力学,数学弹性力学；,应用弹性力学。,8,2.3弹性力学的几个基本概念,(1)描述变形体的基本变量,9,描述变形体的基本方程,基本变量、基本方程及边界条件,10,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力：是分布于物体表面的力(风力、液体压力、接触力)。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号X、Y、Z 来表示。体力：是分布于
4、物体体积内的外力（如重力、磁力、惯性力）。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，用以描述其在物体内任意部位的产生的内力和变形特征的力学量是应力和应变。,(2)外力的概念,11,2.应力,(1)一点应力的概念,Q,内力,(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2)由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),P,(1)P点的内力面分布集度,(2)应力矢量.,-P点的应力,的极限方向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,应力分量,n(法线),应力的法向分量,正应力,应力的切向分量,剪应力,单位:,与面力相同,MPa(兆帕),应力关于坐标连续分布的,1
5、2,(2)一点的应力状态,通过一点P 的各个面上应力状况的集合,称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,13,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的法线方向；,第2个下标 y 表示的方向.,应力正负号的规定：,正应力 拉为正，压为负。,剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时为正。,14,与材力中剪应力正负号规定的区别：,规定使得单元体顺时的剪应力为正，反之为负。,15,材力：以拉为正,材力：顺时针向为正,弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同,16,3.形变,形变
6、 物体的形状改变,（1）线段长度的改变,（2）两线段间夹角的改变。,P,B,C,A,用线（正）应变度量,用剪应变度量,（剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）,三个方向的线应变：,三个平面内的剪应变：,(1)一点形变的度量,应变的正负：,线应变：,伸长时为正，缩短时为负；,剪应变：,以直角变小时为正，变大时为负；,17,(2)一点应变状态,代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变,其中,应变无量纲；,4.位移,注：,一点的位移 矢量S,应变分量均为位置坐标的函数，即,S,w,u,v,P,位移分量：,u x方向的位移分量；,v y方向的位移分量；,w z方向的位移分量。,量纲：m 或 mm,
7、18,弹性力学问题：,已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,应力与体力、面力间的关系；,（2）几何学关系：,形变与位移间的关系；,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,19,2.4弹性力学基本方程,(1)平衡方程考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程（受力状态的描述）：,20,（2）几何方程-应变与位移的关系,A点在X方向的位移分量为u；B点在X方向的位移：,微元体由ABCD变形为A
8、BCD求线素AB、AD的正应变，用位移分量来表示：,线素AB的正应变为：,同理，AD的正应变为：,21,几何方程-应变与位移的关系,X向线素AB的转角，Y向线素AD的转角,求剪应变，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,线素AB的转角为：,A点在Y方向的位移分量为v；B点在Y方向的位移分量：,22,几何方程-应变与位移的关系,X向线素AB的转角，Y向线素AD的转角,求剪应变，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,同理，Y向线素AD的转角,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得,因此，剪应变为：,23,几何方程-应变与位移的关系,以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况，,
9、同样方法来考察体素在xoz和yoz平面内的变形情况，可得：,联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。,24,（3）几何方程的矩阵表示,可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,25,当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在X方向的单位伸长则为式中E为弹性模量。弹性体在X方
10、向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和Z方向的单位缩短可表示为：式中 为泊松系数。,应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律,（5）物理方程-应力应变关系,26,单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及 所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。,设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量前述两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。,物理方程-应力应变关系,27,如果弹性体的各面有剪应力作用，如图所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数
11、存在如下的关系：因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。,物理方程-应力应变关系,28,将应变分量表示为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式：,物理方程-应力应变关系,29,物理方程矩阵的形式表示如下：,可简写为：,30,D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和,31,2.5 虚功原理及虚功方程,图示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图2-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：
12、即：式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,32,虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的虚刚体位移时，体系上所有的主动力在虚位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功原理与虚功方程,33,弹性变形体情况,外力功：,对于任意三维弹性体，其受体积力：表面力：,其总外力功：,1 外力功,34,弹性变形体情况,2 应变能,若忽略弹性变形过程中的热量、动能和外界阻尼，则外力功全部转换为应变能，其存储于弹性体内。,
13、单位体积应变能：,整个体积应变能：,3 势能,基于弹性体外力功和应变能的表示，定义弹性体的外力势能和变形能之和为系统势能，即：,35,由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。,外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功；内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能。表示如下：,虚应变能,外力虚功,虚位移分量,虚应变分量,（2）弹性力学虚功方程及最小势能原理,36,最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理
14、完全等价。,最小势能原理,T为外力功，即外力势能；U为弹性体变形势能；W为弹性体的总势能,37,i点外力分量j点外力分量外力分量用 表示；引起的应力分量用 表示,虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况,38,假设发生了虚位移虚位移分量为用 表示；引起的虚应变分量用 表示,虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况,39,在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中 是 的转置矩阵。同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：这就是弹性变形体的虚功方程矩阵表示，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。这是以后推导
15、有限元方程的基础。,虚功原理的矩阵表示-用于弹性体的情况,40,弹性体的虚功方程：简化为：,其中：,（3）平面应力问题虚功方程,41,平面应变问题，由于在Z方向没有外力，应力和应变也不沿Z方向变化，所以虚功方程仍然适用，其中的t可以取为任意数值，但F必须是这个t范围内的外力。需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。,（4）平面应变问题,42,
