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1、九种曲率3 曲面上的九种曲率 3.1 曲面上曲线的曲率4 定义 空间曲线(C)在P点的曲率为k(s)=limDs0Df，其中Ds为P点及其Ds又由于，一个单位向量r(t)P1间的弧长，Dj为曲线在点P和P1的切向量的夹角的微商的模r(t)的几何意义是r(t)对于t的旋转速度，把这个结论应用到空间曲线(C)的切向量上去，则有 &. k(s)=&=&，所以曲率也表示为k(s)=&. r由于r由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度 我们知道曲面在已知点邻近的弯曲性可由曲面
2、离开它的切平面的快慢来决定但是曲面的不同的方向弯曲的程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面因此，当我们想刻画曲面在邻近的弯曲性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究 给出C2类曲面S：r=r(u,v)，过曲面S上点P(u,v)的任一曲线(C)：u=u(s)、v=v(s)或r=ru(s),v(s)=r(s)，其中s是自然参数用和分别表示曲线(C)的切向量和主法向量根据伏雷内公式有 &=&=k， r其中k是曲线(C)在P点的曲率 若以q表示曲线(C)的主法向量和曲面法向量n的夹角如图5 图5 &n=kn=kcosq.另一方面，由于 则&d2rnd2rII&=n2=n
3、&= dsds2IIILdu2+2Mdudv+Ndv2因此kcosq= (3.1.1) 22IEdu+2Fdudv+Gdv上式中的右端依赖于第一、第二基本量和du .由于E、F、G、L、M、N都dv是参数(u,v)的函数，它们的曲面上一个给定点及曲面曲线在该点的切线方向，所以对曲面上一个给定点及曲面曲线在该点的切线方向，上式(3.1.1)右端都有确定的值因此若在曲面上一个给定点相切的两条曲面曲线，在该点它们的主法线有相同的方向，则它们的主法线有相同的方向，则它们的角度q也相同，所以根据上式k也相同 3.2 曲面上曲线一点处密切平面与曲面交线的曲率 如果在曲面的任何曲线(C)上一点P，作通过(C
4、)在P点的切线与主法线的平面，即密切平面，得到这个平面与曲面的交线这条平面曲线与曲线(C)具有相同的切线与主法线，所以曲率相同即： IILdu2+2Mdudv+Ndv2 kcosq= IEdu2+2Fdudv+Gdv23.3 法截线的曲率 给出曲面S上一点P和P点处一方向(d)=du:dv，设n为曲面在P点的法向量，于是(d)和n所确定的平面称为曲面在P点的沿方向(d)的法截面这法截面和曲面S的交线称为曲面在P点的沿方向(d)的法截线 设方向(d)=du:dv所确定的法截线(C0)在P点曲率为k0.对于法截线(C0)，主法向量0=n，q0=0或p，所以由3.1.1式知它的曲率k00为 IIII
5、 k0= 即 k0= II其中n和(C0)的主法向量0的方向相同时取正号，反之取负号.即法截线向n的正侧弯曲时取正号；反之，向n的反侧弯曲时取负号 3.4 法曲率1 定义 曲面在给定点沿一方向的法曲率kn为 kn=II+k0，法截线向n的正侧弯曲 则：kn= I-k0，法截线向n的反侧弯曲 设曲面上的曲线(C)和法截线(C0)切于点P，换言之，它们有相同的切方向(d)=du:dv，则由(3.1.1)可得，kn=kcosq根据这个关系，所有关于曲面曲线的曲率都可以化为法曲率来讨论. 若设 R=11，Rn=， kknR称为曲线(C)的曲率半径，Rn称为曲线(C0)的曲率半径,也称为法曲率半径.则上
6、式又能写成R=Rncosq，这个公式的几何意义可以叙述如下： 梅尼埃定理6 曲面曲线(C)在给定点P的曲率中心C就是曲线(C)具有共同切线的法截线(C0)上同一个点P的曲率中心(C0)在曲线C的密切平面上的投影. 3.5 主曲率1 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面的在此点的主曲率由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率 在曲面S:r=r(u,v)上选曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0，这时对于曲面的任一方向(d)=du:dv，它的法曲率公式就化成 IILdu2+Ndv2kn= IEdu2+Gdv2L； EN沿v-曲线的方向对应的主曲率
7、是k2= G沿u-曲线的方向对应的主曲率是k1=由罗德里格斯定理，沿主方向(d)有dn=-kNdr 其中kN为主曲率，即k1和k2，上式又可写成nudu+nvdv=-kN(rudu+rvdv) 上式两边分别点乘ru 和rv的 runudu+runvdv=-kN(rurudu+rurvdv) rvnudu+rvnvdv=-kN(rvrudu+rvrvdv) 即得到 -Ldu-Mdv=-kN(Edu+Fdv) -Mdu-Ndv=-kN(Fdu+Gdv) 整理后，得 (L-kNE)du+(M-kNF)dv=0 (M-kNF)du+(N-kNG)dv=0 消去du和dv，则得主曲率的计算公式 L-kN
8、EM-kNFM-kNFN-kNG=0 2即 (EG-F)kN-(LG-2MF+NE)kN+(LN-M2)=0 3.6 高斯曲率、平均曲率 设k1和k2为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积k1k2称为曲面在这一点1的高斯曲率，通常用K表示它们的平均数(k1+k2)称为曲面的平均2曲率，通常以H表示即 LN-M2 高斯曲率 K=k1k2=； EG-F2 平均曲率 H=1LG-2MF-NE(k1+k2)= 222(EG-F)3.7 曲面上曲线的测地曲率 给出一个曲面(C)：r=r(u1,u2)，(C)是曲面上的一条曲线：ua=ua(s)，a=1，2，其中s是(C)的自然参数 设P是(C)上的一点，是(C)在P点的单位切向量，是主法向量，是副法向量再设n是曲面S在P点的单位法向量，q是与n的夹角，则曲面S在P&n.命=n，则是彼此正点的切方向上的法曲率是kn=kcosq=kn=&r交的单位向量，并且构成一右手系 &=k在上的投影 &，kg=&r =k称为曲线(C)在点P点的测地曲率. 由于 kg=k=k(,n,)=k()n=kn 所以有 kg=kcos(900q)=sinq
