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1、二倍角的正弦余弦正切二倍角的正弦、余弦、正切 一. 教学内容： 1. 内容：二倍角的正弦、余弦、正切 2. 目标：使学生掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明。 通过倍角公式的推导，了解它们之间，以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力。并体会数学中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点。提高学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力。 2 3. 重点：正弦、余弦、正切的倍角公式以及公式C2a的两种变形cos2a=2cosa-1及 cos2a=1-2sina。2 4. 难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、
2、诱导公式、和角公式的综合运用。 5. 学法指导： 切实掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式。在公式S2a、C2a中，角a是 任意的，但在公式T2a中，只有当ap4+12kp和ap2+kp(kz)时才成立。 二倍角公式不仅限于2a是a的二倍的形式，还可以运用于将4a作为2a的2倍、将a作为 a2的2倍、将a2作为a4的2倍、将3a作为32a的2倍、将a3作为a6的2倍等情况。应用倍角公式时还应注意公式的灵活变形及公式的逆用。 4sin例如，sina2=2sina4cosa4，sin3acos3a=12sin6a，22tan401-tan402a4cosa4=2(2sina4cosa4)=
3、2sina2，cos2a-sin2a=cos4a，2=tan80等。在实际应用中，二倍角的正弦、余弦公式的变形公式运用极为广泛。 sin2a2如sin2a=2sinacosa的变形公式cosa=在求积时应用较多；cos2a=2cosa-12sina =1-2sina的变形sina=2221-cos2a22，cosa=21+cos2a2常被称为“降幂公式”，而1+cos2a=2cosa，1-cos2a=2sina称为“升幂公式”。 只有熟练地掌握二倍角公式及其变形公式，才能灵活地运用公式。 例1. 化简： cos20cos40cos60cos80 sin6sin42sin66sin78 分析：中
4、，除60o角是特殊角外，其它3个角均不是特殊角，但它们之间有倍数关系，可利用倍角公式进行化简。中角之间的倍数关系不明显，但稍作变化，即可发现其中的规律。 解：原式=12cos20cos40cos80=sin20cos20cos40cos802sin20sin40cos40cos804sin20sin80cos808sin20sin16016sin20sin2016sin20116=原式=sin6cos48cos24cos12 =2cos6sin6cos12cos24cos482cos6sin12cos12cos24cos482cos6sin24cos24cos484cos6sin48cos48
5、8cos6sin9616cos6cos616cos61= 16 说明：本题主要考查二倍角的正弦公式，考查通过等价转换化简三角函数式的能力。此例中，三角函数式是几个角正弦或余弦的连乘积，这些角之间具有倍数关系，故可连续使用二倍角正弦公式进行化简。此时注意对所需化简式进行等价变形，“凑”出倍角公式的结构。 =类似地，可以证明恒等式：cosacos2acos4acos(2a)=nsin(22n+1n+1a)sina(nN)* 例2. 已知sina+cosa=13，且0ap，求sina、cos2a、tan2a的值。sina-cosa的关系，可求出sinacosa、sina-cosa 分析：利用sina
6、+cosa、sinacosa、的值，再利用二倍角公式求值。 解： Qsina+coas=2132sina+2sinacosa+cosa=19498919892sinacosa=-1=-，即sin2a=-Qsinacosa=-0且0a0cosa(sina-cosa)22sina-cosa=2=1-sin2a=13(-173)=-179cos2a=cosa-sina=(cosa+sina)(cosa-sina)=tan2a=sin2acos2a-=-89179=81717 说明：已知a角的一个三角函数值及所在象限，可求出2a的正弦、余弦和正切。而本 题已知三角函数式sina+cosa=13，可利用
7、同角三角函数的基本关系式得出sinacosa的值，进而得出sina-cosa的值，再由二倍角公式即可求得sin2a、cos2a、tan2a的值。也可以先求出sina、cosa、tana的值再用二倍角公式，但要判断出p2ap。 例3. 已知cos(a-b2)=-b219，sin(a2a2-b)=a+b223，且p2ap，0bp2，求cos(a+b)的值。a+b2 分析：注意到(a-)-(-b)=，故可先利用两角差的公式求出的余弦值，再利用二倍角公式求cos(a+b)的值。Qp2ap，0bp2 解： p4p4a2p2b2，-p4-p419b20p2a-p，-b2a2-ba223又Qcos(a-)=
8、-，sin(-b)=sin(a-b2)=1-cos(a-2b2)=12451-=99 2251-=33 cos(a2-b)=a+b21-sin(2a2-b)=a2cos=cos(a-b2b)-(-b)=cosa(-19baa)cos(-b)+sina(-)sin(-b)2222+45923=-53=75272227729 说明：求三角函数值需要特别注意确定角的范围和角的变换。本题首先考查已知角和cos(a+b)=2cosa+b-1=2(75)2-1=-239所求角之间的关系，发现a-b2和a2a+b2=(a-b2b2)-(a2-b)是解题的关键，然后通过已知条件求出a2-b)的值，为运用差角公
9、式求cosa+b2 的值-b的范围，并求得sin(a-)和cos(铺平道路。 例4. 化简(sina+cosa-1)(sina-cosa+1)sin2a 分析：为创造约分的条件，应对角进行转化。 解： (2sin原式=a2cosa2-2sin4sina2a2a22a2)(2sina2a2cosa2+2sin2a2)a2 方法一：sin=(coscosa2cosaa2-sincosa2)(cos+sin)cosasin=a2(coscos2a2-sin2a2)a2sin=cosa2a2a22cosacosacosa=tan2 方法二：原式=sina-(cosa-1)sin2a22=sina-co
10、sa+2cosa-1sin2a2cosa-2cosa2sinacosa2=1-cosasinaa2=tana2的三角函数，创造约分的条件。 说明：方法一利用二倍角公式，将分子、分母转化成22 方法二先是用了平方差公式，又利用sina+cosa=1，最后用到半角的正切公式 tana2=1-cosasina=sina1+cosa。1-tan22tan本题的方法还有一些，如利用万能公式sina=1+tana22a22a2，a2a2，cosa=1+tan22tantana=1-tana2a2，把sina和cosa用tan表示后再进行化简。注意体会用三角公式化简三角函数式的灵活性。 3-4cos2A+c
11、os4A 例5. 求证：3+4cos2A+cos4A 证明： =tanA4 分析：观察等式左右两边，易知应对角进行转换。 左边=3-4cos2A+2cos2A-13+4cos2A+2cos2A-12cos2A-4cos2A+22cos2A+4cos2A+2cos2A-2cos2A+1cos2A+2cos2A+1222222 方法一：=(cos2A-1)(cos2A+1)(2sinA)(2cosA)422=2222=tanA=右边等式成立 左边=4(1-cos2A)-(1-cos4A)4(1+cos2A)-(1-cos4A)42sinA-2sin222222 方法二：=2A42cosA-2sin
12、2A2222=8sinA-8sinAcosA8cosA-8sin222AcosA=sinA(1-cosA)cosA(1-sinA) sin44=2AcosA4=tanA=右边等式成立 说明：在证明三角恒等式时，可以从左式出发证出右式，也可以从右式出发证出左式；还可以从左右两端都向中间证明。 一般说来，多采用由“繁”的一边向“简”的一边证明。本例两种证法都是首先着眼于“角”的变化，即把左式中的角“4A”通过倍角公式化为“2A”，最后化为关于“A”的三角函数。 一. 选择题： 1. 下列f(x)与g(x)中，不能表示同一函数的是 A. f(x)=sin2x，g(x)=2sinxcosx 22 B.
13、 f(x)=cos2x，g(x)=cosx-sinx 22 C. f(x)=2cosx-1，g(x)=1-2sinx D. f(x)=tan2x，g(x)=2tanx1-tanx sinq+cosq=44259 2. 已知q是第三象限角，且22，那么sin2q等于 2 A. 3 B. 3 C. -223 D. -23 3. sin6cos24cos12sin42的值为 1 A. 16 cos(p4B. -116p411 C. 32 26，则sin2q 4. 若-q)cos(+q)=的值是 27734 A. 3 5. 若B. 3p4C. 6 )=D. 6tanx=2，则tan2(x-4433 A
14、. 3 B. - C. 4 D. -34 6. 化简1+sin20-1-sin20等于 A. 2cos10 二. 填空题 B. 2sin10 C. 2cos10 D. 2sin10 sinq+sin2q 7. 化简1+cosq+cos2q=_。 8. sin15sin75=_。 9. 若sina+cosa=-2，则tana+cota等于_。 10. 已知tana=12，tanb=13，0ap2，pb32p，则a+b=_。 三. 解答题： 11. 化简： 1+cosna2+4sin2na4cosa22na4)(180a360)(1+sina+cosa)(sin-cosa22+2cosatan2q
15、=-22，p22cos2qp，求2q2-sinq-1p4+q) 12. 已知sin2a+12sin(1212的值。 13. 求证：1+cos2a+sin2a 14. 已知 =tana+。 p3+a)8sina+10cosb=5，8cosa+10sinb=53，求证：sin(a+b)=-sin(。 1. D 提示：考查函数的定义域和对应法则 2. A 提示：sinq+cosq=(sinq+cosq)44222-2sinqcosq=1-2212(sin2q)2 3. A 提示：分子、分母同乘以2cos6 p 4. B 提示：4+q=p2-(p4-q)，故cos(p4p4+q)=sin(p4-q)。
16、 5. C 提示：先求出tan(x-)的值。 2 6. B 提示：1sin20=(sin10cos10) 22q=2sinqcoqs，1+co2sq=2cosq 7. tanq 提示：sin1 8. 4 提示：原式=sin15cos15 9. 2 提示：由已知可得1+sin2a=2 sin2a=1，tana+coat=5psinacoas+coassina=1sinacoas=2sin2a=2 10. 4 提示：tana(+b)=1，且pa+b2p 原式=cosa22na2 11. 解：+sina22na2a2a2=1a2-cosa2)(2cos原式=2+2sincos2)(sin4cosaa
17、aaa2cos(cos+sin)(sin-cos)22222=a2|cos|2a2a2acos(sin-cos)222=a|cos|2a-coscoas2=a|cos|2Q180a36090cosa2a21800-cosa2cosaa2=cosa原式=-cos 12. 解：Qtan2q=-22 2tanq1-tanq2=-2222解之得tanq=又Qp4p22qpp22或tanq=-q0 tanq=-舍去22原式=cosq-sinq2coqs-sinq1-tanq1+tanq1-1+22=2(2cosq+sinq)coqs+sinq= =-3+22222左边=sina+cosa+2sinaco
18、sa2cosa+2sinacosa 13. 证明： =(sina+cosa)sina+cosa2cosa12tana+1222cosa(cosq+sina)=右边原式成立 14. 证明：Q8sina+10cosb=5，8cosa+10sinb=53 两式平方相加得164+160sin(a+b)=100 sin(a+b)=-25又由8sina+10cosb=5得10cosb=5-8sina由8cosa+10sinb=53得10sinb=53-8cosa两式平方相加得100=164-80sina-803cosa即12sina+p332)=cosa=25p3)25sin(a+因此sin(a+b)=-sin(a+
