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1、信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析实验三 连续时间LTI系统的频域分析 一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MATLAB语言进行系统频响特性分析的方法。 基本要求：掌握LTI连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB描述方法，深刻理解LTI系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB计算和绘制LTI系统频率响应特性曲线中的编程。 二
2、、实验原理及方法 1 连续时间LTI系统的频率响应 所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应，是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 x(t)X(jw)LTI系统h(t)H(jw)y(t)Y(jw)连续时间LTI系统的时域及频域分析图 上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：y(t)=x(t)*h(t)，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： Y(jw)=X(jw)H(jw) 或者： H(jw)=3.1 Y(jw) 3.2 X(jw)H(j
3、w)为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 H(jw)=-jwth(t)edt 3.3 由于H(jw)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积的话，那么H(jw)一定存在，而且H(jw)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式： H(jw)=H(jw)ejj(w) 3.4 上式中，H(jw)称为幅度频率相应，反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，j(w)称为相位特性，反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。H(jw
4、)和j(w)都是频率w的函数。 对于一个系统，其频率响应为H(jw)，其幅度响应和相位响应分别为H(jw)和j(w)，如果作用于系统的信号为x(t)=ejw0t，则其响应信号为 y(t)=H(jw0)ejw0t3.5 =H(jw0)ejj(w0)ejw0t=H(jw0)ej(w0t+j(w0) 若输入信号为正弦信号，即x(t) = sin(w0t)，则系统响应为 y(t)=H(jw0)sin(w0t)=|H(jw0)|sin(w0t+j(w0) 3.6 可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被H(jw)加权，二是信号的相位要被j(w)移相。 由于H(jw)和j(w)都是
5、频率w的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。 2 LTI系统的群延时 从信号频谱的观点看，信号是由无穷多个不同频率的正弦信号的加权和所组成。正如刚才所述，信号经过LTI系统传输与处理时，系统将会对信号中的所有频率分量造成幅度和相位上的不同影响。从相位上来看，系统对各个频率分量造成一定的相位移，相位移实际上就是延时。群延时的概念能够较好地反映系统对不同频率分量造成的延时。 2 LTI系统的群延时定义为： t(w)=-dj(w) 3.7 dw群延时的物理意义：群延时描述的是信号中某一频率分量经过线性时不变系统传输处理后产生的响应信号在时间上造成的延时的时间。 如果
6、系统的相位频率响应特性是线性的，则群延时为常数，也就是说，该系统对于所有的频率分量造成的延时时间都是一样的，因而，系统不会对信号产生相位失真。反之，若系统的相位频率响应特性不是线性的，则该系统对于不同频率的频率分量造成的延时时间是不同的，因此，当信号经过系统后，必将产生相位失真。 3 用MATLAB计算系统频率响应 在本实验中，表示系统的方法仍然是用系统函数分子和分母多项式系数行向量来表示。实验中用到的MATLAB函数如下： H,w = freqs(b,a)：b,a分别为连续时间LTI系统的微分方程右边的和左边的系数向量，返回的频率响应在各频率点的样点值存放在H中，系统默认的样点数目为200点
7、； Hm = abs(H)：求模数，即进行Hm=H运算，求得系统的幅度频率响应，返回值存于Hm之中。 real(H)：求H的实部； imag(H)：求H的虚部； phi = atan(-imag(H)./(real(H)+eps)：求相位频率相应特性，atan用来计算反正切值；或者 phi = angle(H)：求相位频率相应特性； tao = grpdelay(num,den,w)：计算系统的相位频率响应所对应的群延时。 计算频率响应的函数freqs的另一种形式是： H = freqs(b,a,w)：在指定的频率范围内计算系统的频率响应特性。在使用这种形式的freqs/freqz函数时，要在
8、前面先指定频率变量w的范围。 例如在语句H = freqs(b,a,w)之前加上语句：w = 0:2*pi/256:2*pi。 下面举例说明如何利用上述函数计算并绘制系统频率响应特性曲线的编程方法。 假设给定一个连续时间LTI系统，下面的微分方程描述其输入输出之间的关系 d2y(t)dy(t)+3+2y(t)=x(t) dt2dt编写的MATLAB范例程序，绘制系统的幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部和频率响应的虚部。程序如下： % Program3_1 % This Program is used to compute and draw the plots of the freque
9、ncy response % of a continuous-time system 3 b = 1; % The coefficient vector of the right side of the differential equation a = 1 3 2; % The coefficient vector of the left side of the differential equation H,w = freqs(b,a); % Compute the frequency response H Hm = abs(H); % Compute the magnitude resp
10、onse Hm phai = angle(H); % Compute the phase response phai Hr = real(H); % Compute the real part of the frequency response Hi = imag(H); % Compute the imaginary part of the frequency response subplot(221) plot(w,Hm), grid on, title(Magnitude response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(223) plot(
11、w,phai), grid on, title(Phase response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(222) plot(w,Hr), grid on, title(Real part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(224) plot(w,Hi), grid on, title(Imaginary part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec) 三、实验内容及步骤 实验前，必须首先阅
12、读本实验原理，了解所给的MATLAB相关函数，读懂所给出的全部范例程序。实验开始时，先在计算机上运行这些范例程序，观察所得到的信号的波形图。并结合范例程序所完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。 实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。 给定三个连续时间LTI系统，它们的微分方程分别为 d2y(t)dy(t)dx(t)+1+25y(t)=系统1： Eq.3.1 dtdtdt2系统2： 系统3： dy(t)dx(t)+y(t)=-x(t) Eq.3.2 dtdtd6y(t)d5y(t)d4y(t)d3y(t)d2y(
13、t)dy(t)+10+48+148+306+401+262y(t)=262x(t)65432dtdtdtdtdtdt Eq.3.3 Q3-1 修改程序Program3_1，并以Q3_1存盘，使之能够能够接受键盘方式输入的微分方程系数向量。并利用该程序计算并绘制由微分方程Eq.3.1、Eq.3.2和Eq.3.3描述的系统的幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部和频率响应的虚部曲线图。 4 抄写程序Q3_1如下：% Q3_1 b = input(请输入右边向量系数); % The coefficient vector of the right side of the differential
14、equation a = input(请输入左边向量系数); % The coefficient vector of the left side of the differential equation H,w = freqs(b,a); % Compute the frequency response H Hm = abs(H); % Compute the magnitude response Hm phai = angle(H); % Compute the phase response phai Hr = real(H); % Compute the real part of the
15、frequency response Hi = imag(H); % Compute the imaginary part of the frequency response subplot(221) plot(w,Hm), grid on, title(Magnitude response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(223) plot(w,phai), grid on, title(Phase response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(222) plot(w,Hr), grid on,
16、title(Real part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(224) plot(w,Hi), grid on, title(Imaginary part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec) 执行程序Q3_1，绘制的系统1的频率响应特性曲线如下： 5 Magnitude responseReal part of frequency response0.40.30.30.20.20.10.1000510-0.10510Frequency
17、 in rad/secFrequency in rad/secPhase responseImaginary part of frequency response00-1-0.1-2-3-0.2-40510-0.30510Frequency in rad/secFrequency in rad/sec从系统1的幅度频率响应曲线看，系统1是低通、高通、全通、带通还是带阻滤波器？答： 执行程序Q3_1，绘制的系统2的频率响应特性曲线如下： 6 Magnitude responseReal part of frequency response1110.501-0.510510-10510Freque
18、ncy in rad/secFrequency in rad/secPhase responseImaginary part of frequency response41320.510051000510Frequency in rad/secFrequency in rad/sec从系统2的幅度频率响应曲线看，系统2低通、高通、全通、带通还是带阻滤波器？答： 执行程序Q3_1，绘制的系统3的频率响应特性曲线如下： 7 Magnitude response110.50.50-0.5005Frequency in rad/secPhase response10-1Real part of fre
19、quency response420-2-405Frequency in rad/sec10510Frequency in rad/secImaginary part of frequency response100.50-0.5-105Frequency in rad/sec10从系统3的幅度频率响应曲线看，系统3是低通、高通、全通、带通还是带阻滤波器？ 答： 这三个系统的幅度频率响应、相位频率相应、频率响应的实部以及频率响应的虚部分别具有何种对称关系？请根据傅里叶变换的性质说明为什么会具有这些对称关系？ 答： Q3-2 编写程序Q3_2，使之能够能够接受键盘方式输入的输入信号x(t)的数学
20、表达式，系统微分方程的系数向量，计算输入信号的幅度频谱，系统的幅度频率响应，系统输出信号y(t)的幅度频谱，系统的单位冲激响应h(t)，并按照下面的图Q3-2的布局，绘制出各个信号的时域和频域图形。 8 图Q3-2 你编写的程序Q3_2抄写如下：% Q3_2 b = input(Type in the right coefficient vector of differential equation：); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a = input(Type in the l
21、eft coefficient vector of differential equation：); % The coefficient vector of the left side of the differential equation w=-10:0.01:10; H= freqs(b,a,w); % Compute the frequency response H Hm = abs(H); % Compute the magnitude response Hm phai = angle(H); % Compute the phase response phai Hr = real(H
22、); % Compute the real part of the frequency response Hi = imag(H); % Compute the imaginary part of the frequency response subplot(221); plot(w,Hm); grid on, title(Magnitude response), xlabel(Frequency in rad/sec); subplot(223); plot(w,phai); grid on, title(Phase response), xlabel(Frequency in rad/se
23、c); subplot(222); plot(w,Hr); grid on, title(Real part of frequency response); xlabel(Frequency in rad/sec); subplot(224); plot(w,Hi); grid on, title(Imaginary part of frequency response); xlabel(Frequency in rad/sec); 9 执行程序Q3_2，输入信号x(t) = sin(t) + sin(8t)，输入由Eq.3.3描述的系统。得到的图形如下： 此处粘帖执行程序Q3_2所得到的图形
24、 Magnitude response151050-1021.510.5-505Frequency in rad/secPhase response10-50510Frequency in rad/secImaginary part of frequency response1050-5-505Frequency in rad/sec10-10-10-505Frequency in rad/sec100-10Real part of frequency response210-1-2-10请手工绘制出信号x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图如下： 你手工绘制的信号x(t
25、) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图与执行程序Q3_2得到的x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图是否相同？如不同，是何原因造成的？ 答： 执行程序Q3_2得到的x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图实际上是另外一个信号x1(t)的幅度频谱，这个信号的时域数学表达式为 x1(t) = 请利用傅里叶变换的相关性质计算并绘制信号x1(t)的幅度频谱图。 计算过程： 10 手工绘制的x1(t) 的幅度频谱图如下： 结合所学的有关滤波的知识，根据上面所得到的信号的时域和频域图形，请从时域和频域两个方面解释滤波的概念。 答： Q3-3 编写程
26、序Q3_3，能够接受从键盘输入的系统微分方程系数向量，并分别绘制所给三个系统的群延时曲线图。 抄写程序Q3_3如下：% Q3_3 b1 = input(Type in the right coefficient vector of differential equation：); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a1= input(Type in the left coefficient vector of differential equation：); % The coeffic
27、ient vector of the left side of the differential equation b2 = input(Type in the right coefficient vector of differential equation：); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a2= input(Type in the left coefficient vector of differential equation：); % The coefficient ve
28、ctor of the left side of the differential equation b3 = input(Type in the right coefficient vector of differential equation：); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a3= input(Type in the left coefficient vector of differential equation：); % The coefficient vector of
29、 the left side of the differential equation w=-10:0.01:10; H1 = freqs(b1,a1,w); % Compute the frequency response H phi1 = angle(H1); H2 = freqs(b2,a2,w); % Compute the frequency response H phi2 = angle(H2); H3 = freqs(b3,a3,w); % Compute the frequency response H phi3 = angle(H3); tao1= grpdelay(b1,a
30、1,w); tao2= grpdelay(b2,a2,w); tao3= grpdelay(b3,a3,w); 11 subplot(321); plot(w,phi1); grid on, title(Phase response of num1); subplot(323); plot(w,phi2); grid on, title(Phase response of num2); subplot(325); plot(w,phi3); grid on, title(Phase response of num3), xlabel(Frequency in rad/sec); subplot
31、(322); plot(w,tao1); grid on, title(Group delay of num1); subplot(324); plot(w,tao2); grid on, title(Group delay of num2); subplot(326); plot(w,tao3); grid on, title(Group delay of num3); xlabel(Frequency in rad/sec); 系统Eq.3.1的群延时曲线图 系统Eq.3.3的群延时曲线图 Phase response of num1Group delay of num15-1.80-2-5-10-50510-2.2-10-50510Phase response of num2Group delay of num25100-5-10-50510-1-10-50510Phase response of num3Group delay of num35-40-6-5-10-50510-8-10-50510Frequency in rad/secFrequency in rad/sec12
