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1、信号与系统概念公式总结信号与系统概念，公式集： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C为复数，a、b为实数。 常数形式的复数C=a+jb a为实部，b为虚部； 或C=|C|e，其中，|C|=复数的辐角。 2.欧拉公式：ejwtj22a+b为复数的模，tan=b/a，为=coswt+jsinwt第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合F=f1(t),f2(t),Lfn(t) 如果满足：T2T1T2fi(t)fj(t)dt=0fi(t
2、)dt=Ki2ijT1i=1,2Ln则称集合F为正交函数集 如果Ki=1i=1,2,Ln，则称F为标准正交函数集。 如果F中的函数为复数函数 条件变为：T2T1T2fi(t)fj(t)dt=0fi(t)fi(t)dt=Ki*iji=1,2LnT1*其中fi(t)为fi(t)的复共轭。 2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影就是该函数 版权所有 翻印必究 在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由
3、某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集g1(t),g2(t),g3(t),Lgn(t)之外，不存在函数x0t2t1x2(t)dt0t=0t0wt0无关，则该系统为因果系统。 4.连续稳定系统： 对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。 5.卷积公式： 版权所有 翻印必究 s(t)=+-f(t)h(t-t)dt即为卷积公式，表示为： s(t)=f(t)h(t) 物理意义：将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h，求解系统对任意激励信号的状态响应。 6.连续系统冲激响应、卷积及其物理意义： 卷积：so(t)=si(t)
4、d(t)=si(t)，称为恒等系统。 d(t)经过系统的响应。换句话说，系统函数h(t)就是输入信物理意义：指冲激信号号为d(t)时系统的输出信号。 7.连续互连系统的冲激响应： 级联：h(t)=h1(t)h2(t) 并联：h(t)=h1(t)+h2(t) 8.连续系统卷积的时域及频域的性质及对应关系： s(t)=f(t)h(t)，则：S(w)=F(w)H(w)s(t)=f(t)l(t)，则：S(w)=12pF(w)L(w) 时域卷积等价与频域乘积的物理意义：从广义上看，任何一个系统都可以看成是一个滤波器。因为它们均实现了一定的频率选择性。 第八章：离散信号的傅里叶变换： 1.离散周期信号的傅
5、里叶变换： N-1x(n)=ak=0kejk(2p/N)nak=1NN-1n=0x(n)e-jk(2p/N)n2.离散时间付里叶变换及性质： +X(W)=n=-x(n)e2p-jWnjWnx(n)=性质：1.线性 12p0X(W)edW 版权所有 翻印必究 2.时移：若x(n)的付里叶变换为X(W) 则： x(n-n0)的付里叶变换为X(W)e-jWn03.频移：若x(n)的付里叶变换为X(W) 则： ejW0nx(n)的付里叶变换为X(W-W0) 4.差分 5.频域微分：若x(n)的付里叶变换为X(W) 则： nx(n)的付里叶变换为j3.离散傅里叶变换： N-1dX(W)dWX(k)=n=
6、0x(n)e-j2pkNnk=0,1,L,N-1x(n)=1NN-1k=0X(k)ej2pkNn物理含义：对原信号做周期拓展可使其变成周期信号，DFT实际上是该周期信号的离散时间付里叶变换DTFT，不过只取了一个周期。DFT从数值上讲是对原信号的离散时间付里叶变换频谱的采样。 4.快速付里叶变换： N/2-1N/2-1rkN/2由X(k)=r=0N/2-1x(2r)W+WkNr=0x(2r+1)WN/2 N/2-1rk令G(k)=r=0x(2r)WrkN/2,H(k)=r=0x(2r+1)WN/2则: rkX(k)=G(k)+WNH(k) k第九章：离散时间系统及卷积 1.离散时间系统的概念及
7、模型： 离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。 离散时间系统输入输出之间的关系可以采用一些数学模型来描述,如： bns0(n)+bn-1s0(n-1)=b0si(n) 版权所有 翻印必究 2.离散线性系统： 设某系统对输入f1(n),f2(n)，有输出s1(n),s2(n)，则该系统对输入C1f1(n)+C2f2(n)，有输出C1s1(n)+C2s2(n)，则该系统为线性系统。 3.离散时不变系统： 设某系统对输入f(n)，有输出s(n)，则该系统对输入f(n-N0)，有输出s(n-N0)， 则该系统为时不变系统。 4.离散因果系统： 如果某系统在n0时刻的输出s(n0)仅于n0时
8、刻前的输入f(n)nn0有关，而与n0时刻以后的输入f(n)nn0无关，则该系统为因果系统。 5.离散稳定系统： 对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。 6.卷积： +s(n)=当k=-f(k)h(n-k) h(n)=d(n-n0)+ii0so(n)=s(k)h(n-k)=s(k)d(n-k-nk=-k=-)=si(n-n0) 7.离散互联系统的冲激响应 8.离散卷积的时域和频域性质及对应关系： 如果：s(n)则：S(W)=f(n)h(n) =F(W)H(W) NMk求解方法：对于方程Nbk=0y(n-k)=ar=0rx(n-r)，有： Mk=0bkY(W)e-jkW=r=0arX
9、(W)eM-jrW，所以 H(W)=Y(W)X(W)=r=0Nk=0aree-jrWb-jkWk 版权所有 翻印必究 9.圆周卷积及处理方法： N-1y(n)=N-1m=0x(m)NH(k)ek=01N-1-j2pmkNej2pnkN=m=0x(m)h(n-m)园卷积与正常卷积不同，但在特殊处理之后，可以相同。 求解步骤： 第一步 将K点的x(n)和L点的h(n)展成大于K+L-1点且最贴近的2M长序列。 第二步 分别做展长后的序列的FFT变换得X(k)和H(k) 第三步 将X(k)和H(k)相乘得Y(k) 第四步 将Y(k)做IFFT变换得y(n)即可。 第十一章：滤波器设计 1.线性相位的
10、物理意义及如何保证线性相位： 线性相位： h(n)的相位谱满足： j(w)=-lw，其中l为常数。 物理意义：线性相位是保证信号无失真传输的重要条件。 如果有限长的实序列h满足偶对称条件：h=h，那么它所对应的频率特性满足线性相位。 2有限冲激响应滤波器FIR滤波器设计窗函数法： 窗函数是人们经过长期研究后找到的一些函数，用这些函数去乘IIR无限长冲激响应滤波器的h1(n)，实现窗口截断，达到构造FIR有限长冲激响应滤波器h(n)的目的。 步骤：从理想特性的滤波器H(W)出发，经过离散付里叶反变换可以得到h1(n) 对h1(n)再乘一个窗函数w(n)，可以得到：h(n)=h1(n)w(n)。其
11、中，窗函数w(n)有两个作用，一个作用是对频谱的修整，另一个作用是做截断，使无限序列h1(n)变成有限长序列h(n)，从而构成FIR滤波器。 3FIR滤波器设计频域采样法： 思路：根据需要的滤波器频谱，每隔一个频率间隔采一次样，在一个周期内，可得H(k)，k=0，1，2，N-1。然后对H(k)做逆DFT即可得到h(n)。 方法：如采样点数为奇数，相位谱为两段直线(保证线性相位)，斜率均为-(N-1)/2，零点分别为n=0，和n=N。前一段直线的起止点为0/2，后一段直线的起止点为/2N-1。这样可以保证h(n)为实数，采样间隔为2p/N，H(k)为复数，即：H(k)=|H(k)|ejj(k)如采样点为偶数，相位谱为两段直线(保证线性相位)，斜率为-(N-1)/2，零点分别为n=0，和n=N。前半段直线的起止点为0N/2-1，后一段直线的起止点为N/2+1N-1。要求N/2点处的幅度值必须为0，即H(N/2)=0，N/2点的相位可取0，这样可以保证h(n)为实数。 采样间隔为2p/N，H(k)为复数，即：H(k)=|H(k)|e 版权所有 翻印必究 jj(k)
