典型的抽象函数问题例题分析.docx

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1、典型的抽象函数问题例题分析高考中的抽象函数问题及其解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、解析式问题： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 x)=2x+1,求f(x). x+1xuu2-u2-x解：设f(u)=2f(x)= =u,则x=+1=x+11-u1-u1-u1-x例1：已知 f(2.凑配法：在已知f(g(x)=

2、h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知f(x+)=x3+1x1，求f(x) 3x解：f(x+)=(x+)(x2-1+1x21x111112又|x+|=|x|+1 )=(x+)(x+)-3)x|x|x2xxf(x)=x(x-3)=x-3x，(|x|1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3 已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x+2x+4,求f(x). 解:设f(x)=ax2+bx+c，则23f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)

3、2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c 2(a+c)=41322a=,b=1,c=2ax+2bx+2(a+c)=x+2x+4比较系数得2a=1222b=2f(x)=123x+x+ 224.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y=f(x)为奇函数,当 x0时,f(x)=lg(x+1),求f(x) 解:f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求x0,f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x), f(x)为奇函数，lg(1-x)=f(-x)=-f(x)当x0时f(x)=-lg(1-x)lg(1+x),x0f(x)= -lg(1-x),x

4、0 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 五、判断函数的奇偶性： 例11已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)0,求证f(x)为偶函数。 证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y) 在中令y=0则2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)+f(-y)=2f(y)f(-y)=f(y)f(x)为偶函数。 六、单调性问题 例12. 设f(x)定义于实数集上，当x0时，f(x)1，且对于任意实数x,y有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为

5、增函数。 证明：在f(x+y)=f(x)f(y)中取x=y=0，得f(0)=f(0) 若f(0)=0，令x0,y=0，则f(x)=0，与f(x)1矛盾 所以f(x)0，即有f(0)=1 当x0时，f(x)10；当x0,f(-x)10 而f(x)f(-x)=f(0)=1 210 f(-x)又当x=0时，f(0)=10 所以对任意xR，恒有f(x)0 设-x1x20,f(x2-x1)1 所以f(x)=所以f(x2)=f(x1+(x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)f(x1) 所以y=f(x)在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的

6、分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 七、解抽象不等式 例13：奇函数f(x)在定义域内递减，求满足f(1-m)+f(1-m)0的实数m的取值范围。 解：由f(1-m)+f(1-m)0得f(1-m)-f(1-m)，f(x)为函数，222f(1-m)f(m2-1) -11-m1又f(x)在内递减，-1m2-110mm2-1八、对称性问题 设a,b均为常数，函数y=f(x)对一切实数x都满足f(a+x)+f(a-x)=2b函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。 设a,b均为常数，函数y=f(x)对一切实数x都满足f(a+x)+f(b-x)=0函数y=f(x)a

7、+b,0)成中心对称图形。 2设a,b均为常数，函数y=f(x)对一切实数x都满足f(a+x)=f(b-x)函数y=f(x)的a+b图象关于轴x=对称。 2的图象关于点(例14：如果f(x)=ax2+bx+c对任意的t有f(2+t)=f2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 解：对任意t有f(2+t)=f2-t)x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴 又其开口向上f(2)最小，f(1)=f(3)在2，)上，f(x)为增函数 f(3)f(4),f(2)f(1)f(4) 九、周期问题 命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周

8、期函数. 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 1函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 命题2：若a、b(ab)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a

9、-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. 若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 我们也可以把命题3看成命题

10、2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3，其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: 已知A、B C f(x)是R上的偶函数f(-x)=f(x) 又f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a)f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 已知A、CB 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又2a是f(x)一个周期f(x)=

11、f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)关于x=a对称 已知C、BA f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) 又2a是f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x)是R上的偶函数 T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f(2)=0 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用. 1.求函数值 例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 f(x)=f(x

12、+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8是f(x)的一个周期 f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二f(x)=f(x+4)，f(x)是奇函数 f(-x)=f(x+4) f(x)关于x=2对称 又f(x)是奇函数 8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同. 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)1，故f(x+2)=1+f(x)1-f(x) f(x+4)=1+f(x+2)1=-1-f(x+2)f(x) 类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(200

13、9)= f(2518+1)=f(1)=2 2. 求函数解析式 例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当当x-2,0时，f(x)=2x+1，则x4,6时求f(x)的解析式 解：当x0,2时-x-2,0f(x)=2x+1 f(x)是偶函数f(x)=f(x) f(x)=2x+1 当x4,6时-4+x0,2f(4+x)=2(4+x)+1=2x7 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3知函数f(x)的周期为4 故f(-4+x)=f(x) 当x4,6时求f(x)=2x7 3.判断函数的奇偶性 -例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(

14、x+999)=断函数f(x)的奇偶性. 1f(x)，f(999+x)=f(999x)， 试判-解：由f(x+999)=1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x)知f(x)关于x=999对称，即f(x)=f(1998+x) 故f(x)=f(x) f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性 例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当证当x-2,0时，f(x)是减函数，求x4,6时f(x)为增函数 则解：设4x1x26-2-x2+4f(-x1+4)又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f

15、(4-x)，类比命题3知函数f(x)的周期为4 故f(x+4)=f(x) 故当f(-x2)f(-x1) f(-x)=f(x) f(x2)f(x1)x4,6时f(x)为增函数 十.四类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例15、已知函数f对任意实数x，y，均有fff，且当x0时，f0，f2，求f在区间2，1上的值域。 分析：由题设可知，函数f是y=kx(k0)的抽象函数，因此求函数f的值域，关键在于研究它的单调性。 解：设x10，当x0时f为增函数。 ，再令xy0，则f2 f， f0，故ff，f为奇函数， ff2，又f2 f4， f的值域为4，

16、2。 例16、已知函数f对任意x,yR，满足条件ff2 + f，且当x0时，f2，f5，求不等式f(a-2a-2)3的解。 2分析：由题设条件可猜测：f是yx2的抽象函数，且f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当，则， 即，f为单调增函数。 ， 又f5，f3。解为1 a 3。 2、指数函数型抽象函数 例17、设函数f的定义域是，满足条件：存在对任何x和y，成立。求： ，使得， 即，解得不等式的f； 对任意值x，判断f值的正负。 分析：由题设可猜测f是指数函数解：令y0代入的抽象函数，从而猜想f1且f0。 ，则， 。若f0，则对任意f

17、0，f1。 令yx0，则，有，这与题设矛盾，又由知f0，f0，即f0，故对任意x，f0恒成立。 例18、是否存在函数f，使下列三个条件：f0，x N；f4。同时成立？若存在，求出f的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在数学归纳法证明如下： x1时，结论正确。 假设时有，则xk1时，又x N时，f0，又由f4可得a2故猜测存在函数，用，xk1时，结论正确。 综上所述，x为一切自然数时。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例19、设f是定义在上的单调增函数，满足求： f； 若ff2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f是对数函数解：即的抽

18、象函数，f0，f2。 ，f0。 ，从而有fff， ，f是上的增函数，故 ，解之得：8x9。 例20、设函数yf的反函数是yg。如果fff，那么ggg是否正确，试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测yf是对数函数的抽象函数，又yf的反函数是yg，yg必为指数函数的抽象函数，于是猜想ggg正确。 解：设fm，fn，由于g是f的反函数，ga，gb，从而，ggg，以a、b分别代替上式中的m、n即得ggg。 4、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例21、已知函数f对任意实数x、y都有fff，且f1，f9，当时，。 判断f的奇偶性； 判断f在0，）上的单调性，并给出证明；

19、若，求a的取值范围。 分析：由题设可知f是幂函数的抽象函数，从而可猜想f是偶函数，且在0，）上是增函数。 解：令y1，则fff，f1， ff，f为偶函数。 设， 函数。 时，ff，故f在0，）上是增f9，又 ， ，又，故， 。 ， 巩固练习 练习一 1给出四个函数，分别满足f(x+y)=f(x)+f(y)；g(x+y)=g(x)g(y)； h(xy)=h(x)+h(y)；t(xy)=t(x)t(y)，又给出四个函数图象 丁 正确的匹配方案是 丁乙丙甲 乙丙甲丁 丙甲乙丁 丁甲乙丙 2定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，当x0，则函 数

20、f (x)在a,b上 ( ) a+b) 23 设函数f(x)的定义域为，且对x,yR,恒有f(xy)=f(x)+f(y), A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f (若f(8)=3,则f-(2)= 111 2244若偶函数f(x)在(-,-1上是增函数，则下列关系式中成立的是 33Af(-)f(-1)f(2) Bf(-1)f(-)f(2) 2233Cf(2)f(-1)f(-) Df(2)f(-)0 时，0f(x)1试举出一个满足条件的函数f(x)；试求f(0)的值； 判断f(x)的单调性并证明你的结论；若f(1)=1-4 D C C D x11,解不等

21、式f(2x-1). 2815如f(x)=，在f(m+n)=f(m)f(n)中，令m=1,n=0得：2f(1)=f(1)f(0)因为f(1)0，所以，f(0)=1要判断f(x)的单调性，可任取x1,x2R，且设x10，所以1f(x2-x1)0为比较f(x2)、f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可在f(m+n)=f(m)f(n)中，令m=x，n=-x，则得f(x)f(-x)=1 x0时，0f(x)1， 当x10又f(0)=1，所以，综上，可知，对于任意x1R，均有f(-x)f(x1)0 f(x2)-f(x1)=f(x1) 函数f(x)在R上单调递减，f(x2-x1)-10111若f(1)

22、=,则f(3)=，则不等式f(2x-1)f(2x-1)3，则不等式的解集为x|x2。 练习二 1.若奇函数f(x)(xR)，满足f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(1)等于 1 22.设对任意实数x1、x2，函数y=f(x)(xR,x0)满足f(x1)+f(x)=f(x1x2)。 A0 B1 C- D 求证：f(1)=f(-1)=0；求证：y=f(x)为偶函数。 123.已知函数f(x)是定义在(0,+)上的增函数，且满足对于任意的正实数x、y，都有 f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1. 求f(8)的值；解不等式f(x)f(x-2)+3. 4.已知函数f(x)对于

23、任意的正实数x、y，都有f(xy)=f(x)+f(y)，若f(2)0时，f(x)0。 判断f(x)的奇偶性，并加以证明；试问：当-3x3时，f(x)是否有最值？如果有，求 Af(1)=0 Bf(3)f(4) Cf(2)+f=0 Df(4)+f=0 出最值；如果没有，说明理由。 6.若函数f(x)为奇函数，且在内是增函数，又f(2)=0，则f(x)-f(-x) 0的解集为xA B C D 7. 设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足x-1)=1+x，求f(x)的解析式。 x8. 已知函数f(x)(xR,x0)对任意不等于零的实数x1,x2都有f(x1.x2)=f(x1)+f(x2)，试

24、判断函数f(x)的奇偶性。 f(x)+f(9. 设函数y=f(x)的定义域为全体R，当x1，且对任意的实数x,yR，有f(x+y)=f(x)f(y)成立，数列an满足a1=f(0)，且f(an+1)=1(nN) -anf2an+1求证：y=f(x)是R上的减函数；求数列an的通项公式； 10. 设函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x).f(y)-f(y)-x+2. 求f(x)的解析式； 若数列an满足：an+1=3f(an)-1,nN+且a1=1, 求数列an的通项； 1.解析：对于f(x+2)=f(x)+f(2)，令x=-1，得f(1)=f(-1)+f(

25、2)即f(1)=-f(1)+1， 1，选D。 22.解析：令x1=x2=1，得f(1)+f(1)=f(11)=f(1)，所以f(1)=0。 令x1=x2=-1，得f(-1)+f(-1)=f(1)=0，所以f(-1)=0。 2令x1=x2=x，得2f(x)=f(x)， 从而2f(1)=1，所以f(1)=令x1=x2=-x，得2f(-x)=f(x)，从而我们有：f(-x)=f(x)， 所以，y=f(x)为偶函数。 3. 解析：f(2)=1f(4)=2f(8)=3 f(x)f(x-2)+3f(x)f(x-2)+f(8)f(x)f8(x-2) 由函数f(x)是定义在(0,+)上的增函数，则x8(x-2

26、)即x016，x2，从而不等式的解集为(2,)。 7x-204. 解析：满足f(xy)=f(x)+f(y)对一切正实数x、y都成立的函数模型是对数函数y=logax。 由f(2)0，可知0af(4)，应选B。 5. 解析：令x=y=0，可得f(0)=0 令y=-x，则f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)为奇函数 设3x1x23，y=x1，x=x2 则f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因为x0时，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。 f(x2)f(x1)、f(x)在区间3，3上单调递减 x=3时，f(x)有最大值f(3)=

27、f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6。 x=3时，f(x)有最小值为f(3)= 6。 6.解析：因为f(x)是定义域上的奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称。根据题设条件可以作出函数f(x)在R上的大致图象，由f(x)-f(-x)f(x)00时，-x0，f(0)=f(-x).f(x)=1，进而得0f(x)1 设x1,x2R且x10,0f(x2-x1)1， 即f(x2)f(x1)，y=f(x)是R上的减函数； 由f(an+1)=-anan1 得 f(an+1)f=1，所以f(an+1-)=f(0) -an2an+12an+1f2an+1an=0， 2an+1因为y=f(x)是R上的减函数，所以an+1-即an+1=an11， 进而=+2， an+1an2an+1所以1是以1为首项，2为公差的等差数列 an所以1=1+(n-1)2=2n-1， an所以 an=1 2n-110.解析：因f(0)=1. 若令x=y=0得f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=2 再令y=0得f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2 f(x)=x+1,xR f(x)=x+1，an+1=3f(an)-1=3(an+1)-1=3an+2, an+1+1=3(an+1)又a1+1=2 数列an+1是首项为2,公比为3的等比数列, ，