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1、函数的有关概念尚学教育 高一数学必修一复习学案 函数的有关概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须
2、大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A
3、)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 5映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集
4、合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) 尚学教育 高一数学必修一复习学案 增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某
5、个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法
6、： 1 任取x1，x2D，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形； 4 定号； 5 下结论 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数
7、的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2确定f(x)与f(x)的关系； 3作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象
8、判定 . 3、函数的解析表达式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 4函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 尚学教育
9、 高一数学必修一复习学案 基础训练A组 一、选择题 1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 y1=(x+3)(x-5)，y2=x-5； y1=x+1x-1，y2=(x+1)(x-1)； x+33f(x)=x，g(x)=x2； f(x)=f1(x)=(2x-5)2，f2(x)=2x-5。 A、 B、 C D、 x4-x3，F(x)=x3x-1； 2函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是 A1 B0 C0或1 D1或2 423已知集合A=1,2,3,k,B=4,7,a,a+3a，且aN*,xA,yB 使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，则a,k的值分别为 A2,3 B3,4 C3
10、,5 D2,5 x+2(x-1)4已知f(x)=x2(-1x2)，若f(x)=3，则x的值是 2x(x2)33 C1，或3 D3 225为了得到函数y=f(-2x)的图象，可以把函数y=f(1-2x)的图象适当平移， A1 B1或这个平移是 A沿x轴向右平移1个单位 B沿x轴向右平移C沿x轴向左平移1个单位 D沿x轴向左平移6设f(x)=1个单位 21个单位 2x-2,(x10)则f(5)的值为 ff(x+6),(xa.则实数a的取值范围是 。 1设函数f(x)=1(x0)在1,3有最大值5和最小值2，求a、b的值。 2综合训练B组 一、选择题 1设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x
11、)，则g(x)的表达式是 A2x+1 B2x-1 C2x-3 D2x+7 2函数f(x)=cx3,(x-)满足ff(x)=x,则常数c等于 2x+32A3 B-3 C3或-3 D5或-3 1-x21f等于 (x0)3已知g(x)=1-2x,fg(x)=，那么22xA15 B1 C3 D30 4已知函数y=f(x+1)定义域是-2，3，则y=f(2x-1)的定义域是 5A0， B. -1，4 C. -5，5 D. -3，7 25函数y=2-x2+4x的值域是 A-2,2 B1,2 C0,2 D-2,2 尚学教育 高一数学必修一复习学案 1-x1-x26已知f(，则f(x)的解析式为 )=21+x
12、1+xAx2x2xx- B C D 22221+x1+x1+x1+x二、填空题 3x2-4(x0)1若函数f(x)=p(x=0)，则f(f(0)= 0(x0)2若函数f(2x+1)=x2-2x，则f(3)= . 3函数f(x)=x-2x+31,x04已知f(x)=，则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是 。 -1,x05设函数y=ax+2a+1，当-1x1时，y的值有正有负，则实数a的范围 。 三、解答题 1设a,b是方程4x-4mx+m+2=0,(xR)的两实根,当m为何值时, 22+12的值域是 。 a2+b2有最小值?求出这个最小值. 2求下列函数的定义域 y=y=x+8+3-x
13、y=11-1-11x-xx2-1+1-x2x-13求下列函数的值域 y= 4作出函数y=x-6x+7,x(3,6的图象。 23+x5 y= y=1-2x-x 4-x2x2-4x+3尚学教育 高一数学必修一复习学案 函数的基本性质 一、选择题 1已知函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数， 则m的值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2若偶函数f(x)在(-,-1上是增函数，则下列关系式中成立的是 Af(-)f(-1)f(2) Bf(-1)f(-)f(2) Cf(2)f(-1)f(-) Df(2)f(-)f(-1) 3如果奇函数f(x)在区间3,7 上是
14、增函数且最大值为5，那么f(x)在区间-7,-3上是 A增函数且最小值是-5 B增函数且最大值是-5 C减函数且最大值是-5 D减函数且最小值是-5 4设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定是 A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数。 5下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 Ay=x By=3-x Cy=6函数f(x)=x(x-1-x+1)是 A是奇函数又是减函数 B是奇函数但不是减函数 C是减函数但不是奇函数 D不是奇函数也不是减函数 3232323212 Dy=-x+4 x二、填空题 1设奇函数f(x)的定义域为-5,5，
15、若当x0,5时， f(x)的图象如右图,则不等式f(x)0的解是 2函数y=2x+x+1的值域是_。 3已知x0,1，则函数y=5下列四个命题 f(x)=x+2-1-x的值域是 . 24若函数f(x)=(k-2)x+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是 . x-2+1-x有意义; 函数是其定义域到值域的映射; 2x,x0函数y=2x(xN)的图象是一直线；函数y=2的图象是抛物线， -x,x0其中正确的命题个数是_。 三、解答题 尚学教育 高一数学必修一复习学案 1判断一次函数y=kx+b,反比例函数y=单调性。 k，二次函数y=ax2+bx+c的 x2已知函数f(x)的定义域为(
16、-1,1)，且同时满足下列条件：f(x)是奇函数； f(x)在定义域上单调递减；f(1-a)+f(1-a2)0时是增函数，x0也是增函数，所以f(x)是增函数； 2(2)若函数f(x)=ax+bx+2与x轴没有交点，则b-8a0； (2,+) D0,+) 2(3) y=x-2x-3的递增区间为1,+)； (4) y=1+x和y=2(1+x)2表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 尚学教育 高一数学必修一复习学案 6某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合
17、该学生走法的是 d d0 O A t0 t d d0 O B t0 t d d0 O C t0 t d d0 O D t0 t 二、填空题 1函数f(x)=x-x的单调递减区间是_。 2已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)=x2+|x|-1， 那么x0时，f(x)0恒成立，证明：函数y=f(x)是R上的减函数； 函数y=f(x)是奇函数。 3设函数f(x)与g(x)的定义域是xR且x1,f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=求f(x)和g(x)的解析式. 4设a为实数，函数f(x)=x+|x-a|+1，xR 讨论f(x)的奇偶性； 求f(x)的最小值。 21
18、,x-1尚学教育 高一数学必修一复习学案 一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D 5.D 6. B 二、填空题 1. (-,-1) 2. x|x-2,且x2 3. y=-(x+2)(x-4) 4. (-,0) 5. -三、解答题 1.解：x+10,x+10,x-1，定义域为x|x-1 222.解： x+x+1=(x+)+5 413333,y，值域为,+) 244223.解：D=4(m-1)2-4(m+1)0,得m3或m0， y=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(m-1)2-2(m+1)2=4m-10m+2f(m)=4m2-10m+2,(m0或m3)。 4. 解：对
19、称轴x=1，1,3是f(x)的递增区间， f(x)max=f(3)=5,即3a-b+3=5 f(x)min=f(1)=2,即-a-b+3=2, 3a-b=231得a=,b=. 44-a-b=-1一、选择题 1. B 2. B 3. A 4. A 5. C 6. C 2二、填空题 1. 3p-4 f(0)=p; 2. -1 令2x+1=3,x=1,f(3)=f(2x+1)=x2-2x=-1； 3. (2,32 x2-2x+3=(x-1)2+22,x2-2x+32, 2 01x2-2x+3232 ,2f(x)223, 23； 24 (-, 当x+20,即x-2,f(x+2)=1,则x+x+25,-
20、2x32当x+20,即x-2,f(x+2)=-1,则x-x-25,恒成立，即x-2x5. (-1,-) 令y=f(x),则f(1)=3a+1,f(-1)=a+1,f(1)f(-1)=(3a+1)(a+1)0 得-1a-三、解答题 1. 解：D=16m-16(m+2)0,m2或m-1, 2131 3a2+b2=(a+b)2-2ab=m2-m-112当m=-1时,(a2+b2)min=12尚学教育 高一数学必修一复习学案 2. 解：x+80得-8x3,定义域为-8,3 3-x0x2-10221-x0得x=1且x1,即x=-1定义域为-1 x-10x0x-x011111-定义域为-,-U-,0 0得
21、x-x-x222110x-x01-1-1x-x3.解：y=3+x4y-3,4y-xy=x+3,x=,得y-1，值域为y|y-1 4-xy+111,0y5值域为(0,5 2x2-4x+32x2-4x+3=2(x-1)2+11, 00，y=kx+b在R是增函数，当k0，y=当k0，y=ax+bx+c在(-,-当a0，y=ax+bx+c在(-,-2-11-a12222解：f(1-a)-f(1-a)=f(a-1)，则-11-a1,0aa2-13解：2x+10,x- 1111，显然y是x的增函数，x=-，ymin=-, y-,+) 2222尚学教育 高一数学必修一复习学案 4解：(1)a=-1,f(x)
22、=x2-2x+2,对称轴x=1,f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(5)=37 f(x)max=37,f(x)min=1 对称轴x=-a,当-a-5或-a5时，f(x)在-5,5上单调 a5或a-5。 第一章 综合训练B组 一、选择题1. C 2. C 3. B 4. A 5.A 6. B 二、填空题1 (-,-,0, 2. -x-x+1 3. f(x)=12122x 4. -15 5. (1,2) x2+11-x2三、解答题1解：定义域为-1,0)U(0,1，则x+2-2=x，f(x)=, x1-x2f(-x)=-f(x)f(x)=为奇函数。 xf(-x)=-f(x)且f(-x
23、)=f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数。 2证明：(1)设x1x2，则x1-x20，而f(a+b)=f(a)+f(b) f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)f(x2) 函数y=f(x)是R上的减函数; (2)由f(a+b)=f(a)+f(b)得f(x-x)=f(x)+f(-x) 即f(x)+f(-x)=f(0)，而f(0)=0 f(-x)=-f(x)，即函数y=f(x)是奇函数。 3解：f(x)是偶函数, g(x)是奇函数，f(-x)=f(x)，且g(-x)=-g(x) 而f(x)+g(x)=即f(x)-g(x)=f(x)=11,得f(-x)+g(-x)=, x-1-x-111=-， -x-1x+11xg(x)=，。 x2-1x2-124解：当a=0时，f(x)=x+|x|+1为偶函数， 2 当a0时，f(x)=x+|x-a|+1为非奇非偶函数； 22当x 当a113时，f(x)min=f=a+， 2241时，f(x)min不存在； 2123, 422当xa时，f(x)=x+x-a+1=(x+)-a+ 当a- 当a-1时，f(x)min=f(a)=a2+1， 2113时，f(x)min=f(-)=-a+。 224
