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1、初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 (0
2、，0) (0，0) y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0 a0 (0，c) (0，c) y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c a0时，y随x的增大而减小；x0 (h，0) X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0 a0 (h，k) X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k a0)平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(
3、h0)平移|k|个单位向右(h0)平移 |k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向右(h0)平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” ky=a2x+bx+的比较c 四、二次函数y=a(x-)h+与 2从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得b4ac-b2b4ac-b2到前者，即y=ax+，其中h=-， k=2a4a2a4a22六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 b4ac-b2b
4、1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为-， 2a4a2a当x-b时，y随x的增大而减小； 2ab时，y随x的增大而增大； 2a4ac-b2b当x=-时，y有最小值 4a2ab4ac-b2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为-，时，当x-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与
5、x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与x轴交于两点A(x1，其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根. 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2 当a
6、0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0 2. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 二次函数对应练习试题 一、选择题 1. 二次函数y=x-4x-7的顶点坐标是( )2A.(2,11) B. C. D. 2. 把抛物线y=-2x向上平移1个单位，得到的抛物线是 2A. y=-2(x+1) B. y=-2(x-1) C. y=-2x+1 D. y=-2x-1 3.函数y=kx-k和y=22222k(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当x=1和x=3时
7、,函数值相等;4a+b=0当y=-2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的顶点坐标及部分图象(如图),2由图象可知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=22. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点(ac,bc)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程2x-x=22的正根的个数为 xA.0个 B.1个 C.2个. 3 个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,
8、且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. y=x-x-2 B. y=-x+x+2 C. y=x-x-2或y=-x+x+2 D. y=-x-x-2或y=x+x+2 222222二、填空题 9二次函数y=x+bx+3的对称轴是x=2，则b=_。 10已知抛物线y=-2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_. 11一个函数具有下列性质：图象过点，当x0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 。 12抛物线y=2(x-2)-6的顶点为C，已知直线y=-kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 2213. 二次函数y=2x-4x-1的图象是由
9、y=2x+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (取3.14). 22三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是x+3=0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-(1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度h和时间t符合关系式h=v0t-25). 2第15题图 12，其gt 2中重力加速度g以10米/秒计
10、算这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升， 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线y=x+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. 求此抛物线的解析式； 点P为抛物线上的一个动点，求使SDAPC：SDACD=5 ：4的点P的坐标。 218. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会
11、增加7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x，该经销店的月利润为y 当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； 求出y与x的函数关系式； 该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ 小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由 二次函数应用题训练 1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30). 当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？ 第10分钟时，学生的接受能力是多少？ 第
12、几分钟时，学生的接受能力最强？ 2、如图,已知ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上. 问矩形DEFG的最大面积是多少? ADGBEFC3、如图,ABC中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ的面积最大?最大面积是多少? CQAPB4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，
13、达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少. y(0,3.5)m3.05 Om4 x 5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m. (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？ (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x6、某商场
14、以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=1402x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 二次函数专题复习 图像特征与a、b、c、符号的关系 1、已知二次函数y=ax2+bx+c，如图所示，若a0，那么它的图象大致是 y y y y x x x x A B C D 2y=ax+bx+c的图象如图所示，则点(ac,bc)在 2、已知二次函数A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2y=ax+
15、bx+c的图象如下， 3、已知二次函数y 则下列结论正确的是 A ab0 B bc0 D a-b+c0；c0；b2-4ac0，其中正确的个数是 A0个 B1个 C2个 D3个 c5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M在0 x A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2y=ax+bx+c的图象如图所示，则 6、二次函数22A、a0，b-4ac0，b-4ac0 22C、a0，b-4ac0 D、a0 7、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是 A、ac0 B、a-b+c0 C、b=-4a D、关于x的方程ax+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5
16、 228、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，有下列结论： b-4ac0； abc0； 8a+c0； 9a+3b+c0 其中，正确结论的个数是 A、1 B、2 C、3 D、4 22二次函数对应练习试题参考答案 一，选择题、 1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、 9b=-4 10x-3 11如y=-2x+4,y=2x+4等 2121 13-8 7 1415 三、解答题 15(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题意可得 b-2a=-3a+b+c=-65c=-2解得a=-,b=-3,c=- 125125 所以y=-x-3x- 222(2)x=-1或-5
17、(2)x-3 16由已知得，15=20t-110t2，解得t1=3,t2=1当t=3时不合题意，舍去。所以当爆竹22点燃后1秒离地15米由题意得，h=-5t+20t-5(t-2)+20，可知顶点的横坐标t=2，2又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升 9+3b-c=0b=-217直线y=x-3与坐标轴的交点A，B则解得 c=3-c=-3所以此抛物线解析式为y=x-2x-3抛物线的顶点D，与x轴的另一个交点C2.设P(a,a-2a-3)，则(4a-2a-3):(44)=5:4.化简得a2-2a-3=5 221212当a-2a-30时，a-2a-3=5得a=4
18、,a=-2 P或P 当a-2a-30时，-a+2a+3=5即a+2a+2=0，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为或 1845+22222260-240260-xy=(x-100)(45+7.5=607.5)，化简得： 1010333y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075 y=-x2+315x-24000444红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元 我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额W=x(45+260-x7.5)=-3(x-160)2+19200来说， 104 当x为160元时，月销售额W最大当x为2
19、10元时，月销售额W不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元1732518000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对 二次函数应用题训练参考答案 1、 0x13，13x30；59；13. 2、过A作AMBC于M,交DG于N,则AM=202-122=16cm. 设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由ADGABC, ANDG16-xDG3,即,故DG=(16-x). =2AMBC1624333y=DGDE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96, 222故从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2. 3、设第t秒时,PBQ的面积为ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm; 又BQ=2t.y=PBBQ=(6-t)2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9, 当t=3时,y有最大值9. 故第3秒钟时PBQ的面积最大,最大值是9cm2. 4、解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05). 1212
