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1、卢同善实变函数青岛海洋大学出社第二章习题答案第二章习题答案 1. 若xmx且ymy，则r(xm,ym)r(x,y). 特别的, 若xmx， 则r(xm,y)r(x,y). 证明：这实际上是表明r(x,y)是RnRn上的连续函数. 利用三角不等式, 得到 r(xm,ym)-r(x,y)r(xm,ym)-r(x,ym)+r(x,ym)-r(x,y)r(x,xm)+r(y,ym)0,(m). 2. 证明：若x1O(x0,d)，则$d1d，使得O(x1,d1)O(x0,d). 证明：实际上取0d1d-r(x0,x1)即可，因为此时对任意的xO(x1,d1)，有 r(x,x0)r(x,x1)+r(x1,
2、x0)d1+r(x1,x0)0，使得O(x0,d)IE=. 证明：注意到E=EUE. .若成立，则x0E或x0E. 若前者成立，显然成立；若后者x0E成立，由极限点的定义也有成立. 总之，由推出. )IE，在其中任选一点记为xn. 这样 (ii). 若成立，则对任意的n，有O(x0,1n就得到点列xnE，使得r(xn,x0)1n，即成立. (iii). 设成立. 若存在某个n使得xn=x0，当然有x0=xnEE；若对任意的n，都有x0xn，则根据极限点的性质知x0EE. 总之，成立. 5. 证明：AB=AB. 证明：因为(AUB)=AUB，所以有 AB=(AB)U(AB)=(AB)U(AB)=
3、(AA)U(BB)=AB. 6. 在R1中，设E=Q0,1，求E,E. 解： E=E=0,1 7. 在R2中，设E=(x,y):x2+y20, 有O(x,d)E, 从而O(x,d)IE一点的任一邻域中都有(E)中的点，也即(E)是稠密集. (3)(1)：反证法 若E不是疏朗集，则存在O(x,d)，使得O(x,d)中没有子邻域与E不相交. 这实际上意味着对任意的O(y,r)O(x,d)都有O(y,r)E, 由r的任意小性知道yE, 再由y的任意性知道O(y,r)E, 由此知道Ecc()c，即任()不是稠密的. c由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q. 12.
4、 设ERn，证明：E是疏朗集的充要条件是任一闭区间中均有子闭区间与E不相交. 证明：因为任一闭区间中必含开区间，而任一开区间中也必含闭区间. 13. 证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集. 证明：由第11题知若E是疏朗集，则(E)是稠密集. 而由于EE，故E从而由(E)c是稠密集得到Ec是稠密的. 反例：Q和Qc都是稠密集. 14. 构造反例说明：非稠密集未必是疏朗集，非疏朗集未必是稠密集. 反例：0,1 15. 证明：R1中的非空闭区间不能表示成可数个疏朗集的并. 证明：反证法. 若否，设a,b=c()cE，cUn=1En，其中En都是疏朗集. 利用12题，因E1疏朗，故
5、a,b中有非空子闭区间a1,b1a,b，使b1-a11且a1,b1IE1=；同样，因E2疏朗，存在a2,b2a1,b1，使b2-a2到一列闭区间套an,bn，使得bn-an0使得 )E= O(x,d(x)I x. 得到满足式开球族O(x,d(x):xE=K. 明显的，E和开球族K对等. 对K中的球按半径分类. 令Kn是K中半径大于1n的球的全体. 则K=Un=1Kn，若能证明每个Kn都是有限集，就得到K是至多可数集，从而E是至多可数集. 下证明：Kn都是有限集. 注意到Kn中每个球的半径大于的球中式），这表明各个球心之间的距离大于1n1n，且每个球的球心不在其他. 另一方面，这些球心是一致有界
6、的. 再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知Kn中只能有有限个球. 17. 设ERn，证明E是Rn中包含E的最小闭集. 证明：当然，E是包含E的闭集. 任取闭集F，且EF. 来证EF. 任取x0E，则存在E中的点列xn收敛到x0(第3题中闭包的性质). 而EF，所以点列xn含于F中且收敛到x0，这表明x0F. 又F是闭集，所以F=F，即有x0F. 再由x0E的任意性知EF，即E是包含E的最小闭集. 18. 设f(x)是Rn上的实值连续函数. 证明：对任意的实数a，集合 x:f(x)a是开集, 集合x:f(x)a是闭集. 证明：任取x:f(x)a中的点x0，则f(x0)a. 由连续函数的性
7、质知：$d0，使得当x-x0a，即O(x0,d)x:f(x)a，也就证明了x0是x:f(x)a的内点. 由x0的任意性知x:f(x)a是开集. 证明E=x:f(x)a是闭集. 法一. 类似于，知x:f(x)a是开集. 由于开集的余集是闭集，所以 x:f(x)a=x:f(x)a是闭集. c 法二. 直接证. 任取x0E，则存在点列xnE，使得limnxn=x0. 再由函数的连续性知limnf(xn)=f(x0). 又f(xn)a(n)，结合连续函数的性质，必有f(x0)a，即x0E. 由x0E的任意性得到EE，也即E是闭集. 19. 证明：R1中可数个稠密的开集之交是稠密集. 证明：反证法. 设
8、E=In=1En，其中En是一列稠密的开集. 若E不是稠密集，则存在某个邻域O(x0,d)与E不相交，这时必有闭区间 I=x0-d2,x0+dE. 2c而 E=c(In=1En)c=Un=1cEn， 这里Enc是一列疏朗集(因为稠密开集的余集是疏朗的). EncII也是一列疏朗集，再由，两式得到 I=IIE=IIUcn=1En=cU(IIE)， cn=1n这表明非空闭区间I可以表示成一列疏朗集EncII的并，与第15题矛盾. 补：稠密开集E的余集Ec是疏朗的. 证明：反证法. 若Ec不是疏朗集，由疏朗集的等价条件知存在邻域cO(x0,d)E. 又E是开集，所以E是闭集，故E=E. 结合起来有O
9、(x0,d)E，cccc这表明O(x0,d)IE=，与E是稠密集矛盾. 20. 设f(x)是R1上的实函数. 令 w(x)=limd0supy-xdf(y)-infy-x0，集合x:w(x)e是闭集. f(x)的不连续点的全体成一Fs集. 证明：注意到w(x)=limd0supy,yO(x,d)(f(y)-f(y)，它是f(x)在x处的振幅. . 等价于证明E=x:w(x)e是开集. 任取x0E，因为w(x0)0，使得 supy,yO(x0,d)(f(y)-f(y)0，使得O(x,d1)O(x0,d). 显然有 supy,yO(x,d1)(f(y)-f(y)supy,yO(x0,d)(f(y)
10、-f(y)e. 这表明w(x)0使得 O(x,d(x)IE=x 这样，得到满足式的开球族O(x,d(x):xE且覆盖E. 因E是有界闭集，由Borel有限覆盖定理，存在有限的子覆盖，记为O(xi):i=1,L,k. 即有EUki=1O(xi)，又E是无限集，所以至少存在一个O(xi)含有E中的多个点，这与式矛盾. 25. 设ERn是Gd集，且E含于开集I之中，则E可表为一列含于I的递减开集之交. 证明：设E=In=1En，其中En是开集列. 取Fn=Ink=1Ek，则Fn是递减的开集列，且E=In=1Fn. 又I是开集，故FnII是含于I中的n=1递减开集列. 结合EI，得E=EII=(IFn
11、II=)I(Fn=1nII).FnII为所求. 26. 设fn(x)为Rn上的连续函数列. 证明：点集E=x:limfn(x)0为一Fs集. 证明：注意到对任意的a，x:fn(x)a=fna都是闭集. 而 E=x:limfn(x)0=UUk=1N=1In=N1. fnk又In=N1是闭集，结合上式表明E为一Fs集. fnk27. 设G为Cantor开集，求G. 解：由Cantor集是疏朗的，可得G=0,1 28. 证明：R1中既开又闭的集合只能是R1或. 证明：设A是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设(a,b)是A的一个构成区间.若a有限, 则aA; 另一方面，由A是闭集得aa,b=(
12、a,b)AA, 得到矛盾. 所以a=-，同理得b=+. 因此A=R1，所以R1中既开又闭的集或是空集或是R1. 实际上：Rn中既开又闭的集或是空集或是Rn. 证明: 反证法. 设ARn是既开又闭的非空又非Rn的集合. 则必存在xR，但xA. 一方面因为A是非空闭集, 所以存在yA, 使得r(x,A)=r(x,y)0. 另一方n面, 因为A又是开集, 所以y是内点，而取得非零距离的点绝不能是内点，就导出了矛盾, 所以Rn中既开又闭的集或是空集或是Rn. 29. R1中开集全体所成之集的势为c. 证明：因为开集的余集是闭集、闭集的余集是开集, 且不同集合的余集是不同的, 所以开集全体的势和闭集全体
13、的势是一样的. 设开集的全体是F. 由于全体开区间F1=(a,b):ab(a(b)可取负(正)无穷)的势是c, 所以F的势不小于c. 任取开集AF, 由开集的构造知道A=U(ai,bi)(是至多可列个并). 作对应j(A)=a1,b1;a2,b2;L;L, 则该对应是从F到R一个单射, 就有F的势不大于R的势c. 综上所述，直线上开集的全体的势是c. 实际上：Rn中开集全体所成之集的势为c. 证明：设Rn中开集的全体是F，易知F的势不小于c. 由Rn中开集的构造，每个开集In(A):nN的并，且开集不同时表示不完全相同. 有理方区间的全体K是可数集，所以K的子集的全体所成之集2K的势是2a=c
14、. 让开集A和它的表示In(A):nN对应，则该对应是从F到2K的单射，这表明F的势不超过c. 30. 证明：Rn中的每个开集或闭集均为Fs集和Gd集. 证明：设E是闭集，它当然是Fs集. 令En=x:r(x,E)1n，则En是包含E的开集列. 实际上，有 E=In=1En. 1n 显然，左是右的子集. 任取右边的元x，则xEn(n)，即r(x,E)0，点集U为U=x:r(x,E)d. 证明EU且U是开集. 证明：EU是显然的. 法一. 由第34题，f(x)=r(x,E)是Rn上的连续函数，而U=x:f(x)d，再由第18题知U是开集. 法二. 直接证U中的点全是内点. 任取xU，则r(x,E
15、)=rd当yRn满足r(x,y)d时，根据集合距离的不等式得 . 取正数dd-r. r(y,E)r(x,E)+r(x,y)r+dd， 即表明O(x,d)U，故x是U的内点. 由xU的任意性知U是开集. 33. 设E,FRn是不相交的闭集，证明：存在互不相交的开集U,V，使得EU,FV. 证明：法一. 由第35题，存在Rn上的连续函数f(x)使得E=x:f(x)=0且F=x:f(x)=1. 则U=x:f(x)12都是开集且不相交，同时还满足EU,FV. 法二. 因为E,F是互不相交的闭集，所以Ec,Fc是开集，且EFc,FEc. 任取xEF, 因F是开集，故存在邻域O(x)=O(x,d(x)，使
16、得 cc xO(x)O(x)Fc，即 O(x)IF=. 这样就得到E开覆盖O(x):xE，且满足. 又集合E的任一开覆盖一定有至多可数的子覆盖，所以E可以用可数个开球O(x)来覆盖，记为Onn=1. 即有 EUn=1On且OnIF=,(n). 同理，存在可数个开球Bnn=1使得 FUn=1Bn且BnIE=,(n) nk=1令 Un=OnUnk=1Bk=OnUnk=1Bk, Vn=BnUOk=BnUnk=1Ok. 则Unn=1,Vnn=1均是开集列，且UnIVm=,(n,m). 还由式知Unn=1,Vnn=1还分别是E,F的开覆盖. 取U=Un=1Un,V=Un=1Vn，则它们即为所求. 34. 设ERn,E，证明r(x,E)作为x的函数在Rn上是一致连续的. 证明：命题直接由不等式r(x,E)-r(y,E)x-y得到. 35. 设E,F为Rn中互不相交的非空闭集，证明存在Rn上的连续函数f(x)使得： (1). 0f(x)1,xRn; (2). E=x:f(x)=0且F=x:f(x)=1. 证明： 实际上f(x)=r(x,E)r(x,E)+r(x,F)满足要求. 36. 设ERn,x0Rn. 令E+x0=x+x0:xE，即E+x0是集合E的平移，证明：若E是开集，则E+x0也是开集. 证明：因为开球平移后还是开球.
