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1、向量板块四平面向量的应用学生板块四.平面向量的应用 典例分析 题型一：向量综合 rrr 设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： rrrrrrrrrr(ab)c-(ca)b=0 a-ba-b rrrrr2r2rrrrrrr(bc)a-(ca)b不与c垂直 (3a+2b)(3a-2b)=9a-4b中， 真命题是 A B C D rrrrrrrrrr 设向量a，b满足：|a|=3，|b|=4，ab=0以a，b，a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A3 B4 C5 D6 uuuruuur 已知A(1,3)，B(3,7)，C(6,0)，D(8,-1)，求证
2、：ABCD rrrrrr 已知a=(-3,-2)，b=(4,4)求2a+3b，cos rrrr 已知a=(x+y+1,2x-y)，b=(x-y,x+2y-2)，若2a=3b，求x、y的值 rrr 关于平面向量a，b，c有下列三个命题： rrrrrrrrrrab=aca若，则b=c若a=(1，k)，b=(-2，6)，b，则k=-3 rrrrrrrrr非零向量a和b满足a=b=a-b，则a与a+b的夹角为60 其中假命题的序号为 uuur 如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角DOAB，使B=90，求点B和向量AB的坐标 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 1 uuuruuur
3、b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB1)，B(2， 设A(a，uuur在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 A4a-5b=3 B5a-4b=3 C4a+5b=14 D5a+4b=14 uuurur 已知P(x,y)，A(-1,0)，向量PA与m=(1,1)共线. 求y关于x的函数； 是否在直线y=2x和直线y=3x上分别存在一点B,C，使得满足BPC为锐角时x取值集合为x|x7？若存在，求出这样的B,C的坐标；若不存在，说明理由. rrrrrrrr 已知向量a,b满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=3|ka+b|，其中k0. 试用k表示ab，并求出ab的
4、最大值及此时a与b的夹角q的值； rrrrl当ab取得最大值时，求实数，使|a+lb|的值最小，并对这一结果作rrrrrr出几何解释. uuuruuuruuuruuurruuuruuu 已知点O，A，B及OPOAtABOPOAAB 求：(1) t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 2 uuuruuuruuur 已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，向量OA,OB,OC满足uuur3uuuruuurrOA-(x2+1)OB-ln(2+
5、3x)-yOC=0,记y=f(x).求函数y=f(x)的解析2式； rrrr 已知P=a|a=(1，0)+m(0，1)，mR，Q=b|b=(1，1)+n(-1，1)，nR是两个向量集合，则PIQ= A(1，1) B(-1，1) C(1，0) D(0，1) 题型二：与三角函数综合 已知向量a=(2cosq,2sinq)，q(p2,p),b=(0,-1)，则向量a与b的夹角为 A3ppp-q B+q Cq- 222Dq ur-1)， 已知a，bc为DABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=(3，rurrn=(cosA，sinA)若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B= rrrrrr
6、rr 已知向量a=(cosa，sina)，b=(cosb，sinb)，且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是_ r3x3xrxx 已知向量a=cos,sin，b=cos,-sin，且x,. 22222rrrr求ab及a+b； rrrr求函数f(x)=ab+a+b的最大值，并求使函数取得最大值时x的值. 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 3 sina)，b=(cosb，sinb)，且ka+b=3a-kb，其中k0 若a=(cosa，用k表示agb；求当k=1时，a与b所成角q(0q)的大小 uurrcosq)，q(，sinq)和n=(2-sinq， 已知向量m=(cosq，2
7、)，且uurr82qm+n=，求cos+的值 528rrr 设a=(1+cosa，sina)，b=(1-cosb，sinb)，c=(1，0)，a(0，)，b(0，)，rrrra与c的夹角为q1，b与c的夹角为q2用a表示q1；若q1-q2=，求6sina+b4的值 uuuruuur 已知O为坐标原点，OA=(2cos2x，1)，OB=(1，3sin2x+a)，若y=OAgOB， 求y关于x的函数解析式f(x)； 若x0，时，f(x)的最大值为2，求a的值，并指出函数f(x)(xR)的单调区间 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 4 2 在锐角ABC中，已知2cosA+2cosB
8、=3+2cos(A+B)，求角C的度数 rr13 设a0，向量a=(cosa， sina)，b=-，222rrrrrrrr证明：向量a+b与a-b垂直；当2a+b=a-2b时，求角a 已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosa,sina)，且0a uuuruuuruuuruuur若OA+OC=7，求OB与OC的夹角； 若ACBC，求tana的值 已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cosa,3sina) uuuruuuruuuruuur若a(-,0)且AC=BC，求角a的值； uuuruuur2sin2a+sin2a若ACBC=0，求的值 1+tanarr 已知向量
9、a=(cosx,sinx),b=(2,rr82)，若ab=，且x|a| B s0)和直线l:x=-1，B是直线l上的动点，AOB的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程. y B C O A x l 如图，设点A,B为抛物线y2=4px(p0)上非原点O的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ yA O B M x 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 14 已知射线OA、OB的方程分别为y=33x(x0)，y=-x(x0)，动点M、33N分别在OA、OB上滑动，且MN=43。 uuuruuur若MP=PN，求P点的轨迹C的方程； 已知F1(-4
10、2,0)，F2(42,0)，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件uuuruuuurPF1PF2=0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1,-3)，N(5,1)，若点C满足uuuruuuuruuurOC=tOM+(1-t)ON(tR)，点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点； 求点C的轨迹方程； 求证：OAOB； 在x轴正半轴上是否存在一定点P(m,0)，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 15 uuuruuur
11、 已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长uuuuruuuruuuuruuurMP到点N，且PMPF=0,PM=PN 求点N的轨迹； uuuruuur直线l与N的轨迹交于A、B两点，若OAOB=-4，且46AB430，求直线l的斜率k的取值范围 rrrr a=(x,y+2),b=(x,y-2),a+b=8, 求M(x,y)的轨迹C； uuuruuuruuurl()过点作直线与曲线交于A,B两点，OP=OA+OB，是否存在直线l使OAPB为矩形 已知a=，b=， 求点R的轨迹C的方程； 若直线l： y=kx+m (m0)与曲线C交于A、B两点，D，且有|AD|=
12、|BD|，试求m的取值范围 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 16 题型六：在代数中的应用 已知x2+y2+z2a2+b2+c2=(ax+by+cz)，且x，y，z，a，b，c为非零实()()2数，求证xyz=。 abc 已知a1-b2+b1-a2=1，求证a2+b2=1。 已知a，b，cR，且a+2b+3c=6，求证a2+2b2+3c26。 求函数y=5x-1+10-x的最大值。 求函数y=x-3+10-9x2的最大值。 求函数y=x2+4+(3-x)2+9的最小值。 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 17 设xi为正实数，且x1+x2+x2003=200
13、3，试求y=x1+x2+x2+x3+x2002+x2003+x2003+x1的最小值。 已知a，b，c，dR，求y=a2+(1-b)+b2+(1-c)222+c+(1-a)的最小2值。 设a、b、c、d均为正数，求证a2+b2+c2+d2(a+c)2+(b+d)2 若a+b+c=1，求证：a2+b2+c21 3L，an和b1，b2，L，bn都是正数，则 求证：若a1，a2，a3，a12+a22+L+an2+b12+b22+L+bn2(a1+b1)2+(a2+b2)2+L+(an+bn)2 求函数y=x-3+10-9x2的最大值。 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 18 求函数y=x2+x+1-x2-x+1的值域。 已知x0,y0，且x+y=1，求2x+1+2y+1的最大值 11 已知x0,y0，且x+y=1，求证：(1+)(1+)9。 xy 求证：(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) 设任意实数x，y满足|x|1，|y|(a3+b3)2 智康高中数学.板块四.平面向量的应用.题库.学生版 19
