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1、向量的概念及基本运算第四章 平面向量 .平面向量知识结构表 向量的概念 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件向量 向量的运算 向量的运用 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学高考数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知
2、识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法. 第
3、1课 向量的概念及基本运算 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 1.出下列命题：若a=b，则a=b；若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形为平行四边形的充要条件；若a=b,b=c，则a=c；a=b的充要条件是a=b且a/b；若a/b，b/c，则a/c。其中，正确命题材的序号是 2. 化简AC-BD+CD-AB得0 3.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=4ab，CD=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形 4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分
4、点， 21若OAa，OBb，则OPa+b， 3312OQa+b (用a、b表示) 33b a B Q P A 第4题 O 例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F， 求证：AB+DC=2EF. 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB和EC ， D C E F A B 例1 由EA+AB=EB和EF+FB=EB可得，EA+AB=EF+FB 由ED+DC=EC和EF+FC=EC可得，ED+DC=EF+FC +得， EA+ED+AB+DC=2EF+FB+FC E、F分别为AD和BC的中点，EA+ED=0，FB+FC=0， 代入式得，AB+DC=2EF
5、 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例2.已知OA,OB不共线，OP=aOA+bOB,求证：A,P,B三点共线的充要条件是a+b=1 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明. 解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数l，使得AP=lAB,即OP-OA=lOB-OA(),OP=(1-l)OA+lOB,OP=aOA+bOB,a=1-l,b=l，a+b=1. 再证充分性：若a+b=1.则AP=OP-OA=(a-1)OA+bOB=bOB-OA=bAB, ()AP与AB共线，A,P,B三点共线. 点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三
6、点共线、直线平行等问题. 1已知向量a和b反向，则下列等式成立的是 A. |a|b|=|ab| B. |a|b|=|a+b| C.|a|b|=|ab| D. |a|b|=|a+b| 2.设四边形ABCD中，有DC=1AB,AD=BC则这个四边形是 2A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： AB+BC+CD， DB+AC+BD， -OA-OC+OB-CO。 解析：原式= (AB+BC)+CD=AC+CD=AD； 原式= (DB+BD)+AC=0+AC=AC； 原式= (OB-OA)+(-OC-CO)=AB-(OC+CO)=AB+0=
7、AB。 4.设x为未知向量， a、b为已知向量，x满足方程2x-(5a+3x-4b)+则x=-1a-3b=0， 29a+b 25.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则111OE=a+b+c 2446如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD3CN,设OA=a,OB=b,试用a,b表示OM,ON,MN 11111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB=(a-b) 3666615142OM=OB+BM=a+b . QCN=CD,ON=CD=OD 6633322211ON=OD=OA+OB=(a+b) MN=ON-OM=a-b 33326解：()()第6题
