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1、向量和三角恒等式基础平面向量知识点总结 1、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 平行向量：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点：共起点 三角形不等式：a-ba+ba+b 运算性质：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；a+0=0+a=a 坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则C a b a+b=(1x+,2x1y+y)2 B
2、 3、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则A a-b=AC-AB=BC a-b=(1x-,2x1y-y)2 设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则AB=(x1-x2,y1-y2) 4、向量数乘运算： 实数l与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作la la=la； 当l0时，la的方向与a的方向相同；当l0时，la的方向与a的方向相反； 当l=0时，la=0 运算律：l(ma)=(lm)a；(l+m)a=la+ma；la+b=la+lb () 坐标运算：设a=(x,y)，则la=l
3、(x,y)=(lx,ly) 5、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数l，使b=la 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b0，则当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、bb0共线 6、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ()()R1、R2的坐标分别是(x1,y1)，7、分点坐标公式：设点R是线段R1R2上的一点，当R1R=lRR2(x2,y2)，时，点R的坐标是x1+lx2y1+ly2, 1+l1+l8、平面向量的数量积： ab=abcosqa0,b0,0q180零向量与任一向量的数量积为0 性质：设a和b
4、都是非零向量，则abab=0当a与b同向时，ab=ab；当a与()b反向时，ab=-ab；aa=a2=a或a=aaabab 运算律：ab=ba；(la)b=lab=alb；a+bc=ac+bc 坐标运算：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2 若a=(x,y)，则a=x+y，或a=2222()()()x2+y2 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0 设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，q是a与b的夹角，则cosq=abab=x1x2+y1y2x+y2121x+y2222二、练习 r311. 设
5、a=(,sina)，b=(cosa,)，且a/b，则锐角a为 23A30 B60 C75 D45 2.P是ABC所在平面上一点，若PAPB=PBPC=PCPA，则P是ABC的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 00003.在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC 分别为a、b，则AH= 2424a-b Ba+b 55552424 C-a+b D-a-b 55554.已知ABC的周长为9，且sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为 1212 A- B C- D 4343 A5.与向量a =(12,5)平行的单位向量为 6.
6、已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120求： (a-2b)(a+b)； |2a-b|； 7.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时， ka+b与a-3b垂直？ ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 31答案：1. D =sinacosa,sin2a=1,2a=900,a=450。 232.D PAPB=PBPC=PCPA，则由PAPB=PBPC得 PB(PC-PA)=0,即PBAC=0,PBAC，同理PABC,PCAB，即P是垂心。 3B 过E作EGBA交AF于G，EG=334CF=DF，AH=AF。 225224.A a:b:c=3:2:4 ,a+b+c=9
7、,a=3,b=2,c=4,用余弦定理即得。 x+y=1125125125()x,y5. ( , )或( , ) 设单位向量坐标为，则，解之得坐标为( , )1313131313135x=12y125或( , )。 13136. . 解：由题意可得|a|2=16，|b|=4，ab=-4 (a-2b)(a+b)=a-ab-2b=12； |2a-b|=2(2a-b)=4a-4ab+b=221 2227.ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) (ka+b)(a-3b)， 得(ka+b)(a-3b)=10(k-3)-4(2k+2)
8、=2k-38=0,k=19； (ka+b)/(a-3b)，得-4(k-3)=10(2k+2),k=-， 此时ka+b=(-131041,)=-(10,-4)，所以方向相反。 333 三角恒等变换 一、和角公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=tana+tanb1-tanatanbtan(a-b)=tana-tanb1+tanatanb二、二倍角公式 sin2a=2sinacosa cos2a=c
9、os2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 22tan2a=2tana 21-tana二、例题 例一、cos12cos18-sin12sin18= 解：原式=cos12+18例二、sin ()=cos30=3 2p12-3cosp12= p1p3ppp=2sin-=-2sin=-2 解：原式=2sin-cos1221221234例三、若tana=p1，则tana+= 42 1+1p4=2tana+=3 p141-tanatan1-142tana+tan例四、tan(a+b)= p2p1p,tanb-=，则tana+= 5444p21tan(a+b)-tanb-pp4=54=3 解
10、：tana+=tan(a+b)-b-=2122p441+1+tan(a+b)tanb-544例五、计算：sin 解：原式中的cospppp-3xcos-3x-cos+3xsin+3x 4364pppp+3x=cos-3x=sin-3x 6323 sinpppp-3x=sin-+3x=cos+3x 4424pppp+3xcos-3x-sin-3xsin+3x 4334故原式可化简为：cospppp=cos+3x+-3x=cos+3434 =cosp432-6=4cosp-sinp4sinp3 例六、求值：tan22+tan38+3tan22tan38 解：tan22+tan38=tan22+38
11、故原式=3 例七、求值()(1-tan22tan38)=3-3tan22tan38 1ppp-sin2= sin4-cos4= 212881-tan275= tan15+cot15= tan75解：原式=11p32p 1-2sin=cos=212264 原式=sin2p8+cos2pp22p2p2p2p cos-sin=cos-sin=cos=8888842 原式=122=-23 tan752tan75tan1501-tan2751-tan275sin15cos15sin215+cos21522+=4 原式=cos15sin15sin15cos152sin15cos15sin30例八、化简：1
12、-sin30 解：原式=1-2sin15cos15=sin215+cos215-2sin15cos15 =(sin15-cos15)2=sin15-cos15 由于sin15-cos150，故上式可化简为-sin15-cos15=cos15-sin15 例九、已知cosq= 解：由于q-()3p，q-,0，求sin2q,cos2q,tan2q 52344p,0，故q为第四象限角；又cosq=，得sinq=-,tanq=- 55323424sin2q=2sinqcosq=2-=- 5525cos2q=2cos2q-1=187-1=- 25258-2tanq3=24 tan2q=1-tan2q1-
13、1679例十、若sina+ 解：令b=a+p1p=cos2a+，则= 333p3，原式可化简为sinb=21 3故cos2b=1-2sinb= 7 9 例十一、已知sin a2+cosa2=3，那么sina= 3a1a解：将已知条件两边完全平方，得到sin+cos= 223 进一步化简得到sin即1+sina=22a2+cos2a2+2sina2cosa2=1 312sina=- 33例十二、化简下列各式： 2y=3cosx+sinxcosx；y=sinx+cosx 22y=23sinxcosx+2cosx-1；y=cosxcosx+23sinx-sinx ()2解：y=3cosx+sinxc
14、osx 原式=31+cos2x1133+sin2x=sin2x+cos2x+ 22222 =sin2x+p3 +32y=sinx+cosx 原式=22p2sinx+cosx=2sinx+ 2242y=23sinxcosx+2cosx-1 原式=3sin2x+cos2x=2sin2x31p+cos2x=2sin2x+ 2262y=cosxcosx+23sinx-sinx 原式=cosx-sinx+23sinxcosx=3sin2x+cos2x=2sin2x+22()p 6例13、已知函数f(x)=sinxcosx-3sinx+23 2求f(x)的最小正周期及fp； 12求函数f(x)在-pp,的
15、值域； 44求函数的单调区间； 练习： 11. 化简：sin(a+b)cosa-sin(2a+b)-sinb 2352. ABC中，已知cosA=,sinB=,求sinC的值 513 p3p1233.ba0,0，|)的 一段图象(如图)所示. 求函数的解析式； 求这个函数的单调增区间。 y3-/6O-35/6/3x 12 a=4,|b|=3,(2a3b)(2a+b)=61, 19已知a+b的值； 求ab的值； 求a与b的夹角q； 求20.已知a=(3sinx,cosx)，b=(cosx,cosx)，记f(x)=ab 写出函数f(x)的最小正周期； 若x-pp,时，函数g(x)=f(x)+m的最
16、小值为2，试求出函数g(x)的最大值并指出x取63何值时，函数g(x)取得最大值。 13 参考答案 一.选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C A B B D D B A D 二.填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11、_x|x2k+，kZ_ 12、_-3_ 13、_3_ 14、_2_ 15、 -1，3 _ 16、_0_ 三、解答题(本大题共5小题，共52分) 17、 解：由分析可知2=+1分 3由于，可得到+，-0 422410 C 54，sin=-4分 513sin2=sin+ =sincos+cossin1分 53124=+
17、- 513513cos=162分 6518、 解：由图可知A=3，1分 T=5pp2p，故=21分 -(-)=，又T=66wy3所以y=3sin(2x+)，把(-故-p6,0)代入得：0=3sin(-p3+j) p3+j=2kp，j=2kp+p3-/6O-35/6/3x，kZ2分 |，故k=1，j=y=3sin(2x+由题知-解得：kp-p3，1分 p3)1分 p2+2kp2x+p3p2+2kp，1分 5ppxkp+2分 12125p故这个函数的单调增区间为kp-p,kp+，kZ。1分 121219、 解：由(2a3b)(2a+b)=61得4a-4ab-3b=611分 22a=4,|b|=3得
18、a=16，又由b=91分 代入上式得64-4ab-27=61，ab=-62分 cosq=故q=14 |a+b|2=a+2ab+b=16+2(-6)+9=132分 故|a+b|=131分 20、 221，BH=CG=1 2112当0x时，在AMN中，MAN=45，故MN=AM=x，y=x2分 221311111当x时，y=+(x-)=x-2分 228222831113122当x2时，y=(1+2)-(2-x)=-(x-2)2分 222242112x(0x)221131故y与x的函数关系式为y=x-(x)2分 82223312-(x-2)+(x2)242定义域为(0,22分 解：由四边形ABCD是
19、等腰梯形知GH=1，AH=GD=21、 解：f(x)=ab=3sinxcosx+cos2x1分 31+cos2xp1sin2x+=sin(2x+)+2分 22622p=p1分 T=|w|2p5p8p11pp(2)x - 1212121212p3pp0 2x+ 2 622=sin(2x+y p6) 0 1 0 -1 0 1 23 21 21- 21 2 y 21 xO -13分 15 p1p得到y=sinx，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为(+)626p1p1个单位得到y=sin(2x+)+2分 y=sin(x2+最后再向上平移)6262p1pppp5pg(x)=f(x)+m=sin(2x+)+m，x-,，2x+-, 6263666p13sin(2x+)-,1，g(x)m,+m，2分 622y=sinx向左平移m=2，1分 37+m=1分 22ppp7当2x+=即x=时g(x)最大，最大值为。1 6232gmax(x)= 16
