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1、哈工大离散数学dit应用计算机数学试题A 1.设S=1，23，4，并设A=SS，在A上定义关系R为： (c,d)R(a,b)，a+b=c+d， 证明：R是等价关系；计算等价类。 证： (1) (2) (a,b)A，a+b=a+b显示成立，故(a,b)(a,b)R，即R自反； (a,b),(c,d)A，若(a,b)，(c,d) Ra+b=c+dc+d=a+b(c,d),(a,b)R，即R对称的。 (a,b),(c,d),(e,f(3) )A，若(a,b)，(c,d) 且R且(c,d),(e,f)Ra+b=c+dc+d=e+fa+b=e+f(a,b),(e,f)R，即R是传递的。由(1)、(2)、
2、(3)可知，R是A上的传递关系。 2.设A=1,2,3，R是A的幂集2=f,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3上的二元关系且R=(a，b)ab，则R不满足下列哪些性质？为什么？ (1)自反性；(2)反自反性；(3)对称性；(4)反对称性；(5)传递性。 A答：R不满足：自反性，反自反性，反对称性，传递性。 R满足：对称性 -1-1-13.设f：XY，C，DY， 证明：f=fDf 证：f-1(CDD)=ff-1f-1(CD)(DC)=f-1-1(CD)f-1(DC) (C)f(D)f-1(D)f-1 (C)-1(C)Df-1(D) 4.设f：XY，g：YZ，证明： 若f与g都是可逆的
3、，则gof也是可逆的; 求gof的逆。 证：(1)f,g可逆，故f,g都是一一对应，于是gof也是一一对应，从而gof也是可逆的。 (2)gofo(f-1og-1)=g(fof)g-1-1=gog-1=Iz(f-1og-1)o(gof)=f-1f-1o(g-1og)of=IX故(gof)-1og-1。 5叙述关系的传递闭包的定义；并给出如下关系的传递闭包。 设X=a，b，c，d，R=，。 答：(1)设R是X上的二元关系，所有包含R且具有传递关系的交称为关系的传递闭包。 (2) R+=(a,b),(b,a)(b,c)(c,b)(c,a)(a,c)(a,a),(b,b)(c,c)(d,d) 6.若
4、G是一个恰有两个奇度顶点u和v的图，则G连通的G+uv是连通的。 证：显示成立 假设G不连通，则G有K个分支：G1,G2,Gk，由题意u与v不在一个分支上，于是含有u(或v)的顶点的分支只有一个奇度数顶点与握手定理的推论矛盾。于是，G连通的。 7.证明:完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条哈密顿回路和一条哈密顿路。 证：在k9中，vV,degv中所有边后，vV，degv掉C2后，vV,degv=4=8p2,p2,故必有一条哈密顿回路C1；k9去掉C1=6故也必有一条哈密顿回路C2；在k9C1中去，于是对任一对不相邻顶点u和v，L。而C1，C2，L彼此无公共degu+degv=8p-1，故此时
5、必有一条哈密顿路边。 8.设T是一个有p个顶点的正则二元树，求T的叶子数，其中p奇数。 解：设T有n个叶子，故有(p证：对顶点p进行归纳。 -n)2=p-1,即n=p+129.设G是一个没有三角形的平面图。证明：G是4可着色的。 当p=1,2,3,4时显示成立。 假设当p=k时，G是4-可着色的。 当p=k+1时，由于G是一个没有三角形的平面图，故$vV，使得degv于是Gv=G1，便是一个具有3，k个顶点的没有三角形的平面图，从而G1是4-可着色的。由于degv的一个4-可着色。 3，故在G中用不与v相邻接的其它颜色给v着色便得G10.是否存在每个顶点的度数3且只有7条边的简单平面连通图？请
6、证明。 证：假设存在这样的简单平面图，则由p-q+f=2，有 p+f=2+q=9LLLL(1) 而由vVdegv=2q,3p2q,pf423q=143；由nf=2q,3f2q,f23q=143；p,f为整数，故p,，于是p+f8与(1)矛盾。 11.叙述并证明平面连通图的欧拉公式。 欧拉公式：若有p个顶点q条边的平面连通图G有f个面，则p-q+f=2。 证：对面f的个数进行归纳：当f=1时，G没有内部面，所以G中没有圈，故G是树。因此p=q+1，故p-q+f=2成立。 假设对一切有不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式成立，往证若G是一个有f个面的(p,q)连通图时欧拉公式也成立，其中f2。因为
7、f2，所以G至少有一个内部面，从而G中有圈，它围成一个内部面。从G中到掉这个圈中任一条边x，则G-x就是一个(p,q-1)平面连通图且有f-1个面。于是p-(q-1)+(f-1)=2,即p-q+f=2，因此在G中欧拉公式成立。 12.证明:4阶群或者是4阶循环群C4,或者是klein四元群K4。 证：设G是一个4阶群，则G中元素的阶可知是1，2和4。 若G中包含阶为4的元a，则G=(a)=e,a,a,a23，即G是4阶循环群C4；若G中没有阶为4的元，则除单位元e外，其它元素的阶均为2，即G=e,a,b,c-1且a2=b2=c-12=e-1，于是，=(y*x)-1x,yG,x2=y2=e，即x
8、=x,y=y-1。因为x*y=x*y=y*x，所以G是可交换群，故G是Klein四元群的K4。 13.对于12阶循环群G=(a),则 (1)G有多少个子群?分别写出来。 (2)全部生成元是什么? 解：6个子群 G1=e;G2=e,g2466;G83=e,g,g48;G14=e,g,g,g36119; G5=e,g,g,g,g,g10;G6=e,g,g,L,g2 生成元为有4个 g=g;g2=g5;g3=g7;g4=g1114.设G是群,对于元素aG有一个有限阶r,k是一个整数,则 (1)a=ek为r的倍数. (2) r小于或等于群G中元素个数,即rG。 k证：(1) ak若k是r的倍数，则$m，使得km=rm，于是于是有：=akrm=(amr+tr)m=er=et，若akmtt=e，则$m,t，使得kt=mr+t(0tr)=ee=a=a=(a)ma=ea=ea=a，因为0tr，r是满足ar的最小正整数，所以t=0。因此k=mr，即k是r的倍数。 =aj(2)考察e,a,ar-1这r个元素，它们两两不相同。否则，设ai0ijr-1，两边同乘a-i，则有aj-i=ai-i=e。由于0j-ir，这与a的阶为r矛盾，又因为e,a,ar-1是G中的r个不同的元素，所以G中至少有r个元，即rG。
