圆与圆的位置关系.docx

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1、圆与圆的位置关系 春季同步课程 第三讲 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 1.掌握直线与圆的三种位置关系及其相应数量关系的特征，通过分析将直线与圆的各种位置关系转化为相应的数量关系，体会数量分析的研究方法以及量变引起质变的观点. 2.掌握圆的切线的判定定理. 初步掌握圆与圆各种位置关系相应的数量关系的特教学目标 3.理解圆与圆的位置关系及其有关概念，征，会进行“圆与圆的位置关系”、“两圆圆心距与这两圆半径长之和或差的大小关系”这两者之间的相互转化，并能初步运用这些知识解决有关问题. 4.掌握两圆相切和相交的连心线性质定理. 1.直线和圆的位置关系的判定方法和性质. 教学重点 2.两圆的五种

2、位置关系中的圆心距与两圆的半径之间的数量关系. 3.相交、相切两圆的性质及应用. 1.探索直线与圆的位置关系中圆心到直线的距离与半径的大小关系并运用相关结论解决有关问题. 教学难点 2.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系并运用相关结论解决有关问题. 教学方法建议 总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化. 第一部分 知识梳理 一 .直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： 直线l和O相离 dr 此时：直线和圆没有公共点 直线l和O相切 d=r 此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线

3、，唯一的公共点叫做切点 春季同步课程 直线l和O相交 0dr 此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线 O O O l l l 2. 切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质: 与圆只有一个公共点； 圆心到切线的距离等于半径； 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别: 如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. 经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: 当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切. 当已知直线

4、与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. 设两圆的圆心距为O1O2=d，半径为0rR+r 外切：有唯一的公共点，两圆外切d=R+r 相交：有两个公共点， 两圆相交R-rdR+r 内切：有唯一的公共点，两圆内切d=R-r 内含：没有公共点，两圆内含0dR-r ArRrTRrBRrRrR2. 相切两圆的性质 连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质

5、：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. TT3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 注 ：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. AB 第二部分 例题精讲 例 1 如图，已知RtDABC中，C=90，AC=3，BC=4 圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ 圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ 如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求C的半径R的取值范围. 春季同步课程 出题意图：考查直线与圆的位置关系. B C A 解析：利用圆心到直线的距离与半径比较即

6、可得出圆与直线的位置关系. 答案： 解：在RtDABC中，C=90，AC=3，BC=4. 由勾股定理，得AB=5. 设点C到AB的距离为d，则 11ACBC=ABd22 1134=5d2即 2 解得 d=2.4. 2.42，即dR 半径长R为2的C与直线AB相离. 2.44，即dR，半径长R为4的C与直线AB相交. 如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，那么C与直线AB相切或相交. 当R2.4时，C与直线AB有公共点. 针对训练 1 已知RtDABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，以B为圆心作B. 若B与斜边AC只有唯一一个公共点，求B的半径长R的取值范围. 若B与斜边AC没有公共点，

7、求B的半径长R的取值范围. C B A 春季同步课程 例 2 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CACB 求证：直线AB是O的切线 OACB出题意图：考查切线的判定定理. 解析：欲证AB是O的切线,由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证明OCAB即可. 答案： 证明：连结0C 0A0B，CACB 0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线 ABOC 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C AB是O的切线 针对训练 2 如图，AC是O的弦，AC=BC=OC. 求证：AB是O的切线. ACBOOCAB 春季同步课程 例3 如图，已知A、B、C两两外切，且A

8、B=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长. 出题意图： 考查圆与圆的位置关系. 解析：利用外切两圆的圆心距等于半径之和即可. 答案：解：设A、B、C的半径长分别为x厘米、y厘米、z厘米. A、B、C两两外切， AB xy，BCyz，CAzx. 根据题意，得关于x、y、z的方程组 A C B x+y=3y+z=5z+x=6 解得x=2y=4z=1A、B、C的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米. 针对训练 3 如图，O的半径为5厘米，点P是O外一点，OP=8厘米. 求：以P为圆心作P与O外切，小圆P的半径是多少？ 以P为圆心作P与O内切，大圆P的半径是多少？ 春季同步课程 例4

9、 相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，求两圆的圆心距. 出题意图： 考查相交两圆的性质. 解析：两圆相交要考虑两种情况：圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条弦心距之和；圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值. 答案： 解：圆心在公共弦的两侧 O1A=O1B,O2A=O2B O1O2为AB的垂直平分线 ABO1O2，AC=CB AO1=8,AC=3 OC=55 1O2A=5,AC=3 O2C=4 OO12=55+4 圆心在公共弦的同侧 由可得： AO1O2CBOC=55，O2C=4 1OO12=OC1-O2C=55-4 针对训练 4 已知交O1和O2相交于A、B两

10、点，P是连心线O1O2与O2的交点，PA、PB的延长线分别O1于点C、D. 求证：AC=BD CAPBD 春季同步课程 例5 如图，直线PQ交O1与O2内切于点P，经过O1上点Q的切线与O2相交于A、B两点，O2于点R. 求证：RA=RB PBA出题意图： 考查相切两圆的性质. 解析： 利用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点.本题中过两个圆心作一条直线，则这条之间直线必过点P，然后利用圆中的相关知识即可解答. 答案： 证明：联结O1Q、O2R，作直线O1O2. QRO1与O2内切于点P PO1O2经过点P O1P=O1Q，O2P=O2R O1QP=O1PQ,O2RP=O2PR O1QP=O

11、2RP O1QO2R AQRBAB与O1相切与点Q. O1QAB O2RAB RA=RB 针对训练 5 如图，O1与O2外切于点P，经过O1上点Q的切线与O2相交于A、B两点，直线PQ 春季同步课程 交O2于点R. 求证：RA=RB APBQR例6 在DABC中，AB=AC=6，B=30，点O1、O2在BC上，O1、O2外切于点P. O1与AB相切于点D，与AC相离；O2与AC相切于点E，与AB相离. 求证：DPAC. 设域. ADEO1的半径长为x，O2的半径长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义BPC出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用 解析： 利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关

12、系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，这是个难点，需要多加注意. 答案： 解：联结O1D O1与AB相切于点D 春季同步课程 BDO1=90 B=30 BO1D=60 O1D=O1P 1BPD=O1DP=BO1D=30 2BPD=C=30 DP AC 联结O2E，则O2EAC，作AHBC于H. C=30,O2E=y,sinC=O2E1= O2C2O2C=2y,PC=y+2y=3y 同理BD=3x BH=ABcos30=6BC=63 3=33 2BP+PC=BC 3x+3y=63 y=23-x 当O1与H重合时，当O2与

13、H重合时，O1与AC相切，此时x=O2与AB相切，此时x=33 23 2y=23-x(针对训练 6 33x3) 22在DABC中，BAC=90，AB=AC=22，圆A的半径长为1，若点O在BC边上运动，设BO=x，DAOC的面积为y. 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域. 春季同步课程 以点O为圆心、BO为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，DAOC的面积. ABOC第三部分 优化作业 基础训练题 1. 下列直线中，不能判定为圆的切线的是 A.与圆仅有一个公共点的直线； B.与圆心的距离等于半径长的直线； C.过半径的端点且与该半径垂直的直线； D.过直径的端点且与该直径垂直的直线. 2

14、. 已知O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与O的交点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.无法确定 3. O1的半径为3厘米，O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是 A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 4.已知两圆的直径分别为6cm和10cm，当两圆外切时，它们的圆心距d的大小是 A. d=8cm B. 4cmd8cm D. d=4cm 5.已知线段AB=3cm，A的半径为4cm，若A与B相切，则B的半径为 cm. 春季同步课程 6.如图，AB与 cm. O相切于点C，OA=OB，若O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是 OA

15、7.设CBO的半径为r，圆心O到直线a的距离为d，若d=r，则直线a与O的位置关系是 . 8.两圆的直径分别为3+r和3-r，若它们的圆心距为r,则两圆的位置关系为 . 9.已知O1、O2的半径长分别是3cm、5cm，如果O1与O2内含，那么圆心距d的取值范围为 . 10.两圆的半径之比为5:3，如果当它们外切时，圆心距长为16，那么当它们内切时，圆心距长为 . 11.已知O1和O2的半径为方程x2-4x+2=0的两个根，若O1O2=2.5，试判断O1和O2的位置关系. 12.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，CDAD，AD+BC=AB. 求证：以AB为直径的 与CD相切. ADOBC 春

16、季同步课程 13.如图，OA=OB=8，OAOB，以O为圆心、OA为半径作AB，O2与以OA为直径的切于点E，与AB相切于F，与OB相切于D，求O1相O2的半径长. BDEF14.如图，已知A是PA，交OAO1、O2的一个交点，点P是O1O2的中点.过点A的直线MN垂直于O1、O2于M、N. 求证：AM=AN. MANP 15.已知O1和O2相交于A、B两点，公共弦与连心线O1O2相交于点G，若AB=48，O1O2的半径r2=40. 的半径r1=30，求DAO1O2的面积. 春季同步课程 提高训练题 1. 已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线与O的位置关系是 A.相切 B.相

17、离 C. 相离或相切 D.相切或相交 2. 已知DABC 三边分别是a、b、c，两圆的半径r1=a，r2=b，圆心距d=c，则这两个圆的位置关系是 A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 3.两圆的半径长度分别为R和r，两圆心间的距离为d，如果将长度分别为R、r、d三线段首尾相接可以围成一个三角形，则两圆的位置关系是 . 4.两个半径都等于2cm的O1和O2的圆心距O1O2=6cm，则与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆有 个. 5.RtDABC中，B=90，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC,以D为圆心、DB为半径作圆D. 求证：AC是圆D的切线； 求证：AB+EB=AC. A

18、EBCD6. 如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，求tanEAB的值. DCEAB 春季同步课程 7. 如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，AC=CD，D=30. 求证：CD是O的切线； 若O的半径为3，求BC的长 8.如图，已知ABC中，C=90，AC=12，BC=8，以AC为直径作半径作求证：O，以B为圆心，4为B. O与B相外切. COBA9.如图，已知AE是O与A交于B、C两点，A在O上，AD是O的直径，AD交BC于M，O的弦，AE交BC于N.若AM=4cm，AN =6cm，AE=24cm，求O的半径.

19、BMONCDAE 春季同步课程 10.如图，AB为半圆O的直径，P是AB延长线上一点，将线段PA绕点P旋转到与半圆O相切的位置PC，这时切点为E，AC与半圆相交于点D. 求证：sinP=AC； CD若CD=2AD，求CE:EP 的值； 若E是PC的中点，求AD：DC的值. CEDPA综合迁移题 OB1. 如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，以C为圆心，CD的长为半径作圆弧交BC于E，以B为圆心、BE长为半径作圆弧交AB于F，以A为圆心、AF为半径作圆弧恰与弧DE相切.求a的值. bADFBEC 春季同步课程 2. 已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、

20、D，弦CE/DB，连结EB，试判断EB与圆O2的位置关系，并证明你的结论. AEO1B12C3B1DO2F3.在DABC中，BAC=90，AC=3，AB=4，O是BC上的一点，以O为圆心，OC为半径作圆交AC于点D，交BC于点，过作O的切线交AB边于点E，连BD，设OC=x，DBED 的面积为y.求y与x之间的函数关系式. AEDBFOC 春季同步课程 4. 在直角坐标平面内，点A的坐标为，点C的坐标为，直线CMxO为原点，轴点B与点A关于原点对称，直线y=x+b经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD 求b的值和点D的坐标； 设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标； 在

21、的条件下，如果以PD为半径的P与O外切，求O的半径 y 4 C 3 2 B 1 A 1 x D y=x+b M -1 O 春季同步课程 参考答案： 针对训练 1. R=1212或3R4 R3 552. 通过等边对等角和三角形的内角和定理可以推出OAB=90即可得出答案. 3.P1的半径是3cm P2的半径是13cm 4. 利用相交两圆公共弦的定理以及同圆弦心距相等则弦所对的劣弧相等即可得出答案. 5. 利用两圆相切连心线过切点的定理即可解答. 6.y=-x+4(0x4) SDAOC= 基础训练题 1. C 2. C 3. D 4. A 5. 1cm或7cm 6. 41 7. 相切 8. 内切

22、9. 0cmd2cm 10. 4 11. 两圆内含. 12. 证明略. 13. 半径长为2. 14. 证明过程略. 15. 600或168. 171或 62 春季同步课程 提高训练题 1. D 2. A 3. 相交 4. 4 5.证明过程略向AC作垂线，用圆心到直线的距离等于半径来判定直线与圆相切.通过证三角形全等，将边转化，从而可以得出结论.） 6. tanEAB=3 460p3=p 1807. 证明略BC=8. 证明过程略 9. 18cm (提示：由于AMNAED，列出比例式，从而可以求出AD的长，即可算出答案) 10. 证明略 综合迁移题 1. 33-1 54 (提示：两圆外切圆心距等于半径之和，矩形的两边和对角线都为两个圆的半径之3和，因此可通过勾股定理求出a、b的关系) 2. EB与圆O2相切，证明过程略 3.y=-2723215x+x+(0x) 50108225,0）. 64.D 符合条件的点P有三个,分别是，当P时，O的半径为5-25 当P时，O的半径为1 当P时，O的半径为0，即此圆不存在 6