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1、圆的渐开线圆的渐开线 一、教育目标 (一)知识教学点 了解圆的渐开线的概念，掌握圆的渐开线的参数方程 (二)能力训练点 初步掌握选择合理参数建立曲线参数方程的方法，能画出有关渐近线 (三)学科渗透点 了解数学在工业设计中的应用，培养精益求精的科学技术态度 二、教材分析 1重点：圆的渐开线及其参数方程，如何选择合理参数建立曲线的参数方程 2难点：渐开线形成过程，渐开线型齿轮的工业设计原理 3疑点：选择参数的基本要求的可靠性 三、活动设计 1活动：讨论、演示、问答、制图 2教具：投影仪、圆的渐开线演示仪(可自制)、尺规 四、教学过程 (一)齿轮传动的设计原理 齿轮广泛应用于机械传动中，齿形设计不好
2、，传动不平稳，机体抖动，噪音大，齿轮磨损大 投影： 若在从动轮的齿M和齿N之间插入主动轮的齿P，使传动平稳、磨损少，那么，齿P与齿M的接触应具备什么样的特性，请大家思考讨论(图3-6) 学生1答： 齿P与齿M从B1与B接触开始，两齿外沿无滑动(磨损少)地辗动至A1与A，此时，下两齿刚好开始咬合(平稳无抖动) 开线型设计 (二)演示渐开线形成过程 什么叫渐开线，请看演示： 把一无弹性的细绳绕在一个固定的圆盘上，铅笔系在绳的外端，把绳拉直，然后绕圆盘逐渐展开，保持细绳始终与圆相切，笔所画出的曲线，即细绳端点的轨迹，叫做圆的渐开线，圆盘就叫渐开线的基圆 根据教材第118页图3-4知基圆半径在齿轮内外
3、半径之间，能无滑动地辗动而传动的原因，正是渐开线形成过程中的渐开原理 (三)建立圆的渐开线参数方程 曲线已经生成，以下求其方程，先请大家思考，如何建立坐标系？ 学生2答： 设基圆圆心O，绳端点的初始位置A，以OA为x轴，O为原点，建立直角坐标系(图3-7) 设基圆半径为r，设M(x，y) 再思考，能否直接列出M点坐标x，y间的关系？ 学生3答： 尚不能列出 既然不能列出x、y间的直接关系，那么就考虑建立渐开线的参数方程这首先就需要选定一个参数，而参数的选择必须具备一参对一点的条件，也就是参数能制约整个运动系统根据这一要求，请大家考虑可以设哪些几何量为参数 学生4答： 可能会出现： |MB|=t
4、、xOB=等各种设参方法，不妨设xOB=0为参数 作MEOx于E，BCOX于C，MDBC于D，则MBD= 圆的渐开线方程即： 注：(1)整个系统仅由基圆半径一个条件确定，r是常数，(0)是参数，故此式可作为一个公式，只要已知基圆的半径，就可以写出圆的渐开线在如图所示的坐标系中的参数方程 (2)能否消参？若消，则 其普通方程比参数方程复杂多了，不利于计算从这里就看到，参数方程对某些曲线有比普通方程更优越的特点 (3)可以把基圆换成其它图形，就可以得到其它图形的渐开线，所以，圆的渐开线是渐开线的一个特例不仅如此，还有很多生产、生活中常用的曲线，本书均未介绍，高中阶段也不作较高要求因为如需要，都可从
5、数学手册中查到，但要掌握选择参数的基本要求，便能建立曲线的参数方程 (四)练习 打开教材第119页，看第1题，读题 请大家作图 学生5板演 如图3-8所示 圆都内切，故它们彼此连结得很光滑 能否建立正方形渐开线的各段弧统一的参数方程呢？ 学生6答： 可以圆心周期性地变，半径成等差数列递增，可设绳子与模轴所成有向角r0为参数 但是，没有这种必要 (五)小结 (1)圆的渐开线、基圆、圆的渐开线的参数方程 (2)选择参数的基本要求 五、布置作业 已知基圆的直径是225mm，以基圆圆心和圆的渐开线起始点的连线为原点，圆心为原点建立坐标系： (1)画出圆的渐开线 (2)求圆的渐开线的参数方程 (3)求圆
6、的渐开线与射线y=112.5(x0)的交点的集合 解：(1)略 交点集合为 六、板书设计 渐开线的形成及特性(Forming and Feature of Involute Profile) 一、渐开线的形成(Forming of Involute Profile) 如右图所示，当一 直线 BK 沿一圆周作纯滚动时，直线上任意点K的轨迹AK就是该圆的渐开线，这个圆称为渐开线的基圆，半径为，直线BK叫做渐开线的发生线；角叫做渐开线AK段的展角。 二、渐开线的特性(Involute Feature) 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度 渐开线上任意点的法线恒与基圆相切 发生线与基圆的切点也就是渐开线在点K的曲率中心，线段BK为曲率半径。渐开线欲接近基圆的部分，其曲率 半径欲小。在基圆上其曲率半径为零 渐开线的形状取决于基圆的大小，相同展角处，基圆半径愈大，曲率半径也愈大，当基圆半径为无穷大，其渐开线变为一条直线,故齿条的渐开线变为直线的渐开线 基圆内无渐开线 三、渐开线方程式(Involute Equation) 渐开线函数： 渐开线的极坐标参数方程式： 当用直角坐标来表示渐开线时，其方程式为：
