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1、圆形有界磁场问题的分类及解析圆形有界磁场问题的分类及解析 1、对心飞入问题 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少? 解析：如图2所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。 可证三角形CaOCbO，则CbO90，电子离开磁场时速度的反向延长线经过O点。 r由几何关系可知tan2R 12v2又有eU2mvevBmR
2、1三式联立解Br2mUetan2 点评：粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场，必沿半径方向飞出磁场。 2、圆心出发问题 一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面，在xOy平面上，磁场分布在以O点为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x轴正方向。后来粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30，P到O的距离为L，如图3所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。 解析：如图4所示，粒子在磁场中轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。粒子从A点离开磁场区，设轨迹半径为r。则 rLrsin303r v2又q
3、vBmr 3mv可求得BqL 3磁场区域的半径R2rcos303r 3L 点评：画轨迹时可先画一个完整的圆，然后分析粒子从圆周上哪一点离开，速度方向才会与题意相符，只要找到了离场点，问题就能解决了。 3、最长时间问题 如图5所示，在真空中半径r3.010-2m的圆形区域内，有磁感应强度B0.2 T，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度v01.0106 m/s，从磁场边界直径abq的a端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向。若该束粒子的比荷m1.0108C/kg，不计粒子重力。求粒子在磁场中运动的最长时间。 v0解析：如图6所示，由qv0BmR mv0得RBe5.010
4、-2 mr 要使粒子在磁场中运动的时间最长，应使粒子在磁场中运动的圆弧最长，即所对应的弦最长。则以磁场圆直径为弦时，粒子运动的时间最长。 2m设该弦对应的圆心角为2，而TqB， 22m则最长运动时间tmax2TqB r3又sinR5，故tmax6.510-8s。 点评：粒子穿过圆形磁场时，以磁场圆直径为弦时，粒子运动时间最长，偏转角最大。 24、最小半径问题 如图7所示，一带电质点，质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布
5、在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。 1解析：质点在磁场区中的轨迹弧MN是4圆周。 v2mv由qvBmR得轨迹半径RBq 在通过M，N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。 122mv故所求的圆形磁场区域的最小半径为，r2MN 2R2qB， 所求磁场区域如图8中实线圆所示。 点评：粒子穿过圆形磁场时，若轨迹是确定的，则以轨迹圆弧对应的弦为直径时，磁场圆最小。 5、会聚一点问题 如图9所示x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x
6、轴正方向发射出一束具有相同质量m，电荷量q(q 0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0y 0。 点评：一束带电粒子以平行的初速度v垂直射入圆形匀强磁场，若带电粒子的轨道半径与磁场圆半径相同，则这些带电粒子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点。 6、平行离开问题 电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射人时速度方向不同，速度大小均为v0。，如图11所示。现在某一区域加方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求荧光屏上光斑的长度。 解析：这些电子只有从O点进入圆形匀强磁场，偏转后才
7、能成平行线离开磁场，如图12所示。初速度沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P；初速度沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q。 v 0mv0设电子轨迹半径为R，则ev0BmR 即RBe。 mv0荧光屏上光斑的长度PQ=R=Be 点评：速度大小相等的一束带电粒子从圆周上同一点沿不同方向垂直射入圆形匀强磁场，若粒子的轨道半径与磁场圆半径相同，那么所有粒子成平行线离开磁场，而且与磁场圆在入射点的切线方向平行。 27、最小面积问题 如图13所示，ABCD 是边长为a的正方形。质量为m，电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意
8、点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； (2)此匀强磁场区域的最小面积。 解析：(1)让平行粒子束射入圆形匀强磁场，若轨道半径与磁场圆半径a相同，则这些带电粒子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点A。 v 0mv0由ev0Bma 得所加匀强磁场的磁感应强度大小Bea，方向垂直于纸面向外。 1(2)如图14所示，以D为圆心、a为半径的4圆周与电子最上边轨迹CEA圆弧所围的区域，就是所求的最小磁场区域。其面积为 12122 S=24 a2 a21a点评：此题也属会聚一点问题，圆形磁场内刚好能覆盖粒子轨迹范围的部分，就是所要求的磁场最小面积。 28、
9、先散后聚问题 某平面内有M，N两点，距离为L，从M点向此平面内各个方向发射速率均为v的电子，请设计一种匀强磁场分布，使得由M点发出的电子都能汇聚到N点。要求画出匀强磁场分布图，并加以必要的说明，电子质量为m，电荷量为e。 解析：加上四个磁感应强度B大小相等的圆形匀强磁场，磁场方向如图15所示，磁场圆半径Rmv要和轨迹圆半径相等，故要满足RBe的条件，而且2RL。(矩形M1 N1N2 M2。区域外的磁场可向外围区域扩展) 点评：此题是平行离开和会聚一点问题的综合，需要较好的空间想象能力。 9、回归起点问题 如图16所示，半径为R的圆筒形区域内，分布着磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一
10、带正电的微粒从圆筒壁上小孔A点沿半径方向射入磁场，且初速度方向垂直于磁场方向。若该微粒与筒壁碰撞时不损失电荷量，并能以大小相等的速度反向弹回，问初速度大小满足什么条件时，微粒能回到A点，并求出微粒回到A点所经历的时间。已知微粒质量为m，电荷量为q，不计微粒重力。 解析：如图17所示，设微粒经n1次碰撞，飞行n段圆弧后回到A点， 2设AOC，则2nn， 微粒轨迹半径r=RtanRtan， nv2qBR再由qvBmr可得初速度满足vmtann的条件时，微粒能回到A点，其中n取大于2的整数。 设微粒回到A点所经历的时间为t，周期为T，圆弧AB 对应圆心角ACB， 22r2mn则2n，TvqB，t2T
11、 三式联立可得：t(n-2)mqB 点评：由于微粒轨迹有无数种可能，关键是理清几何关系找到通式。 10、粒子束缚问题 如图l8所示，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径R10.5m，外半q径R21.0m，磁感应强度B1.0 T，方向垂直纸面，若被束缚的带电粒子的比荷为m4107 C/kg，中空lI区域中带电粒子具有各个方向的速度，试计算： (1)粒子沿环状半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度； (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 解析：(1)如图19(a)所示，粒子沿圆弧AD运动时，刚好没有出
12、磁场外沿，C点为轨迹的的圆心， v2对直角三角形OAC，由勾股定理有(R2r)Rr，与qvBmr联立可求得粒子不能穿越2212磁场的r最大速度为v1.510 7m/s。 (2)如图19(b)所示，当沿内圆切线方向射入磁场的粒子也飞不出磁场外沿时，所有粒子都v2不能穿越磁场。由几何关系有2r=R2R1，再由qvBmr，可解得所有粒子不能穿越磁场的最大速度为v=1.0107 m/s。 点评：应分析粒子的可能轨迹，从中找到刚好不出磁场的临界轨迹。 11、循环运动问题 如图20所示，三个圆半径分别为R，2R，3R，中心圆和外环区域分布着相同的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，内环是无磁场区。
13、从圆心O点沿着纸面射出一带正2qBR电的粒子，初速度大小v2m，问此粒子能否逃出两个磁场的束缚冲出圆环外？若能，请求出粒子从圆心到冲出圆环所需的时间。若不能，请求出粒子完成一次周期性运动的时间。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。 v2mv2解析：由qvBmr求得粒子的轨迹半径rqB2R，粒子从O点沿纸面向不同方向射出时，1轨迹不同，但轨迹形状是一样的。如图21所示，粒子先完成4圆周到A点离开磁场，沿AB做匀速直线运动，在B点进入外环磁场。容易判断粒子没有冲出外环，而是做了半个圆周运动后到1E点回到里侧无磁场区，E到F做匀速直线运动，从F点进入圆形磁场，做4圆周运动后回到O点，完成一
14、次周期性运动。 设ABCDEFd，在OBD 中， 由勾股定理有(rd)2+r2(2R)2，解得d142R， 2d(272)m则从A到B的时间为：tABv； 2qB2r2m粒子在磁场中做圆周运动的周期为：TvqB， 故粒子完成一次周期性运动的时间为：tT2tAB(2272)mqB点评：分析粒子的入场点和出场点从而确定轨迹是关键。 12、电磁综合问题 XX年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图22所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m，电荷量为q，在加速器中
15、被加速，加速电压为U。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。 (1)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比； (2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间； (3)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm，fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。 解析：(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为rl，速度为v1， 12v11则qU2mv1，qv1Bmr解得r1B122mUq 1同理，粒子第2次经过狭缝后的半径r2B4mUq ，则r2r121。 12v22m(2)设粒子到出口处被加速了n圈，有2nqU2mv，qvBmR，TqB，tnT， BR2解得t2U qB(3)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f2m qBm1当磁感应强度为B时，加速电场的频率应为fBm2m粒子的动能Ek2mv2 vmq2BmR2当fBmfm时，粒子的最大动能由由Bm决定qvmBmmR解得Ekm2m 当fBmfm时，粒子的最大动能由由fm决定vm2fmR解得 Ekm22mfm R2 222点评：要综合运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律，尤其要理清电场、磁场的相互制约关系，才能正确求解。
