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1、均值不等式教案“均值不等式”复习课教学设计 廖士哲 一、教学分析： “均值不等式”内容在高中代数第五章第5.3节中出现，它是证明不等式及其各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性特点，是高考数学备考的一个重要知识点，在这个专题复习课中，教师要结合学生在新课学习中暴露出来的知识与能力的缺陷，认真设计好复习方案，力争从正反两方面去加深理解，争取在复习中做到较好的效果。 二、目的要求： 系统复习均值不等式及其等价式、特例式、使学生领会其中的三个条件，特别是“”或“”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。 三、重点：熟练运用均值不等式及其推论放缩不
2、等式 难点：求函数表达式与最值时的配凑技巧及“”或“”中“=”成立的条件。 四、教学媒体：投影仪 五、教学设计模式： 知识联系 正例同化 反例顺应 练习强化 第 1 页 共 7页 六、教学过程： 知识联系 12+a222a1a2 aa13+a23+a33 1a2a3 3a a1n+a2n+ann 1a2an naa1+a2a1a2 2a1+a2+a33a1a2a3 3对于n个正数而言，积定值则和有最小值，和定值则积有最大值 nnna1+a2+L+ana 1a2anna1+a2+L+ana1a2ann()(a+a12n111+L+an)+L+ana1a2n 2说明：、a1、a2anR+ 、在的限
3、制下，所有“”或“”中取“=”的充要条件是a1=a2=an 、在应用均值不等式求最值时，控制到项数最多为3项的 、正例同化 例1、如果a、bR+，且ab，求证：a3+ b3a2b+ab2 第 2 页 共 7页 说明：该例题课本上已给出了证法一、证法二这里再用均值不等式探索 另外两种证法。 证法三：a、bR+，且ab 333333 则a3+b3=1 + 1 33 =a2b+ab2 a3+b3 a2b+ab2 证法四：a3+b3=a2b+ab2 a3+b3a2b+ab2 例2、已知：0x13，求函数y=x的最大值 分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，利用二次函数求某一区间的最值 解法一、 分
4、析二、挖掘隐含条件，3x+1-3x=1为定值，且0x1则1-3x3，0；可用均值不等式法 解法二、0x1，1-3x0 3y=x=13x2= 1226例3、求函数y=4sinxcos2x的最值 分析：利用sinx+cosx=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均第 3 页 共 7页 22值不等式求最值 解：y2=16sinxcosxcosx=8 2222222sin2x+cos2x+cos2x83=8*28=64 27272y264，当且仅当2sinx=cosx即tgx=2722时，取“=”号 y大=893 y小=-893 例4、已知：a、b、c都是小于1的正数，求证：b、c、a中至少有一个不大
5、于1 4思路：用反证法，配凑整理后用均值不等式 11证法一、假设b1，c，a 444a、b、c，则 3=+b+c+a 2(1-a)b+2(1-b)c+2(1-c)a2+2+2=3 即33，这是矛盾的，假设不成立，即原结论正确 证法二、假设b，c，a 则bca1 64141414141414 又bca?1-a+b+(1-b)+c+(1-c)+a661=26=1 64 这与是矛盾的 假设不成立，即原结论正确 第 4 页 共 7页 证法三、思路与法1、法2同，但变式方法不同 小结：1、利用均值不等式放缩不等式的常用辅助技巧是添项、拆项 2、利用均值不等式求最值问题的常用辅助技巧是配凑和为定值 、反例
6、训应 例5、求y=sinx+5的最小值，x sinx错解，xsinx0 y=sinx+ ymix=2错因：y=2在的。 正解：xsinx0 又 y=sinx+当且仅当有最小值4 当sinx=1时，ymix=6 例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求1+1的最小值 xy525=25 sinx5 5的充要条件是：sinx=5，即sinxsin2x=5，这是不存5=sinx+1+42+4 sinxsinxsinxsinx14sinx=即sinx=1 时，取“=”号，而此时也sinxsinx错解，1=2x+y22xy xy122即1xy22第 5 页 共 7页 111+2xyxy11222=42即+
7、xy的最小值为42错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条 件是不同的，故结果错。 正解1：2x+y=1 11112xy+=(2x+y)=2+xyxyyxyx2x y+13+22 当且仅当=而 y= 即y=2x时，取“=”号 2x x=12+222+22x+y=1 y=ymix=3+2正解2：正解3：设11+xy11+xy 即此时2 =2x+y2x+y+xy=3+yx2x=t 即 11+xy=t 2tx2-x2+1=0 y=1-2x 再用方程根的分布方法求解 小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条第 6 页 共 7页 件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“”中取“=”成立的诸条件是否相容。 练习强化 分三个层次的练习：堂上练习，课外作业，选做题 第 7 页 共 7页
