复习资料高等数学.docx

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1、复习资料高等数学高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 一、基本概念 1多元函数 知道多元函数的定义 n元函数：y=f(x1,x2,L,xn) 会求二元函数的定义域 1：分母不为0； 2：真数大于0； 3：开偶次方数不小于0； 4：z=arcsinu或arccosu中|u|1 会对二元函数作几何解释 2二重极限 xx0yy0limf(x,y)=A 这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的 理解二重极限的定义 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； 会证二元函数的极限不存在 3多元函数的连续性 理解定义：limf(P)=f(P0) PP0知道一切多元初等函数在其

2、定义域内连续的结论； 知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1偏导数 理解偏导数的定义 f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)z=lim xDx0Dxf(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)z=lim yDy0Dy知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系 求偏导数法则、公式同一元函数 2高阶偏导数 理解高阶偏导数的定义 注意记号与求导顺序问题 2z2z=二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关： xyyx3全微分 知道全微分的定义 若Dz=f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0)可表示成ADx+BDy+o(r)，则z=f(x,y)在点(x0,y0

3、)处可微；称ADx+BDy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dz=ADx+BDy 知道二元函数全微分存在的充分必要条件： 函数可微，偏导数必存在； ，B=；dz=yxyx偏导数存在，不一定可微 偏导数连续，全微分必存在 求方向导数、梯度 三、多元复合函数与隐函数求导法则 1多元复合函数的求导法则 zzuzv=+ xuxvxzzuzv=+ yuyvy对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数的求导法要熟练掌握 掌握多元复合函数的二阶偏导数的求法 2隐函数的求导公式 一个方程的情形 若F(x,y)=0确定了y=y(x)，则Fdy=-x； dxFyFyFxzz=- 若F(x,

4、y,z)=0确定了z=z(x,y)，则=-，xFzyFz方程组的情形 若F(x,y,z)=0y=y(x)能确定，则由 G(x,y,z)=0z=z(x)dydzF+F+F=0yzx dxdxdydzGx+Gy+Gz=0dxdx 可解出dydz与；dxdx)=0F(x,y,u,v uv若确定了u=u(x,y)，v=v(x,y)，像上边一样，可以求出，xxG(x,y,u,v)=0及uv， yy四、多元函数微分法的应用 1几何应用 空间曲线的切线与法平面方程 1：曲线G：x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)，t=t0时，G上相应点(x0,y0,z0)处的切线方程：x-x0y-y0z-z0 =j(t

5、0)y(t0)w(t0)法平面方程：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0 2：曲线G：y=j(x)x-x0y-y0z-z0，则点(x0,y0,z0)处的切线方程： =1f(x0)y(x0)z=y(x)法平面方程：(x-x0)+f(x0)(y-y0)+y(x0)(z-z0)=0 3：曲线G：F(x,y,z)=0，则点P(x0,y0,z0)处的切线方程为 G(x,y,z)=0x-x0FyFzGyGz=Py-y0FzFxGzGx=Pz-z0FxFyGxGyP法平面方程：FyGyFzGz(x-x0)+PFzGzFxFx(y-y0)+GxGxPFyGy(z-z0)=

6、0 P空间曲面的切平面与法线方程 1：曲面S：F(x,y,z)=0，点(x0,y0,z0)处的切平面方程为： Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0 法线方程：x-x0y-y0z-z0= FxFyFz2：曲面S：z=f(x,y)，在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0) 法线方程为：2极值应用 x-x0y-y0z-z0= fxfy-1z=0x求一个多元函数的极值：先用必要条件，求出全部驻点，z=0y再用充分条件求出驻点处的zxx，zyy与zxy

7、；AC-B20，A0时有极小值； AC-B20时无极值 求最值 1：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2：有实际意义的最值问题 条件极值 求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法 如：u=f(x,y,z)在条件j1(x,y,z)=0与j2(x,y,z)=0下的极值时，取 F(x,y,z;l1,l2)=f(x,y,z)+l1j1(x,y,z)+l2j2(x,y,z) Fx=0F=0y解方程组Fz=0，求出x，y，z j=01j2=0则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大值点 第九章 重积分 一、二重积分 1 定义：f

8、(x,y)ds=llimf(x,h)DsD0(n)i=1iiDni2 几何意义：当f(x,y)0时，曲顶柱体体积 f(x,y)ds表示以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量 3 性质 1：2：kf(x,y)ds=kf(x,y)ds DDf(x,y)g(x,y)ds=f(x,y)dsg(x,y)ds DDD3：若D=D1+D2，则4：f(x,y)1时，f(x,y)ds=f(x,y)ds+f(x,y)ds DD1D2f(x,y)ds=sDD 5：若在D上j(x,y)y(x,y)，则 j(x,y)dsy(x,y)dsDDf(x,y)dsDf(x,y)d

9、sD6：若f(x,y)在闭区域D上连续，且mf(x,y)M，则 msDf(x,y)dsMsD D7：若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(x,h)D，使 f(x,y)ds=f(x,h)sDDy4 二重积分的计算法 在直角坐标系中 1：若积分区域D为X-型区域 y=j2(x)axb D：j(x)yj(x)21则化为先y后x的二次积分：bOay=j1(x)bX-型区域xDf(x,y)dxdy=dxaj2(x)j1(x)f(x,y)dy2：若积分区域D为Y-型区域 ydcyd D：y(y)xy(y)21则化为先x后y的二次积分： dcx=y1(y)cOY-型区域x=y2(y)f(x,y)dxdy

10、=Ddyy2(y)xy1(y)f(x,y)dx 在极坐标系中 f(x,y)=f(rcosq,rsinq),ds=rdrdq 1：极点在D外： D：则有 aqbj1(q)rj2(q)bj2(q)1(bf(rcosq,rsinq)rdr Of(x,y)ds=adqjqDa极点在D外)r2：极点在D的边界上： aqb D：0rj(q)则有 bj(q)0bf(rcosq,rsinq)rdr OarDf(x,y)ds=dqa极点在D的边界上3：极点在D内： 0q2p D：0rj(q)则有 2p0Df(x,y)ds=dqj(q)0Of(rcosq,rsinq)rdr 极点在D内r在计算二重积分时要注意：

11、1：选系：是直角坐标系还是极坐标系； 若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有x+y或两个积分变量之22比yx、时，一般可选择极坐标系 yx2：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴对称时，应配合被积函数对于y的奇偶性 4：若f(x,y)=f1(x)f2(y)，积分区域D:分的乘积 二、三重积分 1 定义：naxb,则二重积分可化为两个定积cydf(x,y,z)dv=llimf(x,h,V)DvW0(n)i=1iiii2 物理意义：以f(x,y,z)为密度的空间体W的质量 3 性质

12、 4 三重积分的计算法 在直角坐标系中 1：若W为：zz=z2(x,y)(x,y)Dxyz1(x,y)zz2(x,y)此处Dxy为W在xOy面上的投影， Oz=z1(x,y)yDxyz=z1(x,y)与z=z2(x,y)分别为W的 下界面和上界面方程，则 xWz2(x,y)f(x,y,z)dxdydz=f(x,y,z)dzdxdy z1(x,y)DxyC1z0C22：若W为： (x,y,z)D0z0此处Dz0为用平面z=z0截W时所得的截面面积， 则zC2Dz0z0Wf(x,y,z)dxdydz=dzf(x,y,z)dxdy C1Dz0C2C1O在柱面坐标系下 yxaqb若W为：j1(q)rj

13、2(q)，则 z(r,q)zz(r,q)21Wf(x,y,z)dxdydz=dqabj2(q)j1(q)rdrz2(r,q)z1(r,q)f(rcosq,rsinq,z)dz 在球面坐标系中 a1qa2b1jb2若W为：，则 r(q,j)zr(q,j)21f(x,y,z)dxdydz=aWa21dqdjb1b2r2(q,j)r1(q,j)f(rsinjcosq,rsinjsinq,rcosj)r2sinjdr注：1：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求； 2：三重积分的计算也有选系、选序的问题； 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合； axb4：若W是长方体：cyd，而f(x,y,z)

14、=f1(x)f2(y)f3(z)，则三重积分化ezf为三个定积分的乘积 三、重积分的应用 1 几何应用 求面积：sD= 求体积：ds DWf(x,y)ds，dv D2 求曲面面积：若S：z=f(x,y)，S在xOy面上的投影为Dxy，则S的面积为：A=Dxyzz1+dxdy xy22 物理应用 求质量：m=m(x,y)ds；m=m(x,y,z)dv DW 求重心：x=11；xm(x,y)dsy=ym(x,y)ds mDmD1在均匀情况下，重心公式可变形为：x=sDxds；y=D1sDyds D同理，可得到空间体W的重心坐标 求转动惯量： Jx=y2m(x,y)ds；Jy=x2m(x,y)ds；

15、Jo=Jx+Jy DD同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量 第十章 曲线积分与曲面积分 一、曲线积分 1定义： 第一类曲线积分：f(x,h)Dsf(x,y)ds=limlL0iii=1ini物理意义：曲线的质量 第二类曲线积分： P(x,h)DxP(x,y)dx+Q(x,y)dy=limlL0iii=1ni+Q(xi,hi)Dyi P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzL=limP(xi,hi,Vi)Dxi+Q(xi,hi,Vi)Dyi+R(xi,hi,Vi)Dzil0i=1n物理意义：变力沿曲线所作的功 2性质： L=+ L1L2L+第一类：第二类：f(x,y)

16、ds=f(x,y)ds L-L+=- L-两类曲线积分的联系 Pdx+Qdy=(Pcosa+Qcosb)ds LL其中cosa，cosb是曲线上点(x,y)处切线的方向余弦 LL3计算法 x=j(t)，atb，则 L：y=y(t)f(x,y)ds=afj(t),y(t)Lbj2(t)+y2(t)dt P(x,y)dx+Q(x,y)dy=Pj(t),y(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dt Lbax=x注意：L为y=f(x)时，取L为，axb y=f(x)4格林公式及其应用 格林公式：Pdx+Qdy=LQPx-ydxdy D注意：1：P，Q在D上具有一阶连续偏导数； 2：L是单连域D的

17、正向边界曲线； 3：若D为多连域，先引辅助线，后再用格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 设P，Q在单连域G内有一阶连续偏导数，A，B为G内任意两点，则以下四个命题等价： 1：LABPdx+Qdy与路径L无关； C2：对于G内任意闭曲线C有Pdx+Qdy=0； 3：在G内，Pdx+Qdy为某函数u(x,y)的全微分； 4：QP=在G内处处成立 xy(x,y)二、曲面积分 1定义： 第一类曲面积分 f(x,h,V)DSf(x,y,z)dS=limlS0iiii=1ni物理意义：曲面S的质量。f(x,y,z)=1时，第二类曲面积分 dS=SSSrrvdS=Pdydz+Qdzdx+RdxdySS

18、=limP(xi,hi,Vi)(Dsi)yz+Q(xi,hi,Vi)(Dsi)xz+R(xi,hi,Vi)(Dsi)xyl0i=1n2性质 S=+ S1S2第一类：第二类：fdS=fdS S+S-S+=- S-两类曲面积分的联系 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Pcosa+Qcosb+RcosgdS SS其中：cosa，cosb，cosg是曲面S上点(x,y,z)处法线的方向余弦 3计算法 第一类：若曲面S：z=z(x,y)，S在xOy面上的投影为Dxy，则 f(x,y,z)dS=SDxyzzfx,y,z(x,y)1+ydxdy等等 x22第二类： S前、后P(x,y,z)dydz=Px(

19、y,z),y,zdydz DyzS右、左Q(x,y,z)dzdx=Qx,y(x,z),zdzdx DxzS上、下R(x,y,z)dxdy=Rx,y,z(x,y)dxdy Dxy4高斯公式及其应用 Q(x,y,z)、R(x,y,z)设空间区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P(x,y,z)、在W上具有一阶连续偏导数，则有 PQRPdydz+Qdzdx+Rdxdy=x+y+zdxdydz SW注：1：S是W的边界曲面的外侧； 2：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式 5通量与散度、环流量与旋度 通量：F=rrvndS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy SS散度：divv=rPQR+

20、 xyz环流量：Pdx+Qdy+Qdz=Atds GG旋 rir度：rotA=xPrjyQrk zR第十一章 无穷级数 一、常数项级数 1 基本概念 定义：形如un=1n=u1+u2+L+un+L的无穷和式，其中每一项都是常数 部分和：Sn=ui=1ni 常数项级数收敛limSn存在 n 和S=limSn n注：发散级数无和 余项：当limSn=S时，称级数rn=nui=1n+i为原级数第n项后的余项 2 基本性质 kun=1n与un=1n敛散性相同，且若un=1n=S，则kun=kS； n=1 若un=S，vn=s，则(un+vn)=s+s 推论1：若推论2：若uun收敛，与vnn发散，则(

21、unn+vn)必发散； nv都发散，则(u+vn)不一定发散 在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同 收敛级数加括号所得级数仍收敛于原来的和； 若级数un=1n收敛，则必有limun=0 n3 几个重要的常数项级数 等比级数aqn=1n-1a|q|1时收敛，0p1时发散）； pnn=1 倒阶乘级数n!收敛 n=114 常数项级数的审敛法 正项级数的审敛法 设un=2n与vn=1n均为正项级数 1：un=1n收敛Sn有界； 2：比较法 若un=1n收敛，且unvn，则vn=1n收敛 un推论1：若lim=l，0l+，则vn与un具有相同的敛散性 nvn=1n=1n推论2

22、：若limnun=l，则nun=1n发散； 若limnun=l，则npun=1n收敛 3：比值法 若limun+1nunr1时r=1时uuun=1n=1n=1n收敛发散 待定nn4：根值法 r1时nr=1时 交错级数的审敛法 莱布尼兹定理：若交错级数uuun=1n=1n=1n收敛发散 待定nn(-1)n=1n-1un满足： 1：unun+1 2：limun=0 n则(-1)n=1n-1un收敛，且其和Su1，|rn|un+1 任意项级数的审敛法 1：若limun0，则nun=1n发散； 2：若|un=1n|收敛，则un绝对收敛； n=13：若二、函数项级数 1 基本概念 |un=1n|发散，

23、un收敛，则un条件收敛 n=1n=1 定义：形如un=1n(x)=u1(x)+u2(x)+L+un(x)+L； 收敛点、发散点、收敛域、发散域； 部分和：Sn(x)=u(x)； ii=1nn 和函数：在收敛域上S(x)=limSn(x)=2 幂级数 定义： 性质 1：若un=1n(x) a(x-x)n0n=0n，当x0=0时有：an=0nxn； an=0n； x在x0处收敛，则当|x|x0|时，anxn发散 nn=0n的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间()ax-xn0n=02：幂级数(x0-R,x0+R)，两端点是否属于收敛域要分别检验 3：在an=0nxn的收敛区间(-R,R)内，此级

24、数的和函数S(x)连续 收敛区间的求法 1：不缺项时，先求r=limnan+11，得收敛半径R=； ran再验证两端点，则收敛域(x0-R,x0+R)收敛的端点 2：缺项时，先求limun+1(x)=r(x)，解不等式r(x)1得x的所属区间nu(x)nx1xx2，再验证端点x1，x2，则收敛域(x1,x2)收敛的端点 3 幂级数的运算 幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算 幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即 an=0nx=S(x)，|x|R，则有： nnnn-1ax=ax=nax=S(x)，|x|R； ()nnnn=0n=0n=0x0xxannanxd

25、x=anxdx=nxn+1=S(x)dx，|x|R 00n=0n=0n+1n=04 函数展开为幂级数 充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则 f(x)=n=0f(n)(x0)(x-x0)nlimRn(x)=0 nn! 唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)=an=0n(x-x0)n，则其系数 an=1(n)f(x0)， n! 展开法： 1：直接法 2：间接法 利用几个函数的展开式展开 xne=，(-,+) n=0n!xx2n+1x2n-1n-1sinx=(-1)或(-1)，(-,+) (2n+1)!(2n-1)!n=0n=1nx2ncosx=(-1)，(-,+

26、) (2n)!n=0n1=xn，(-1,1) 1-xn=0xn+1ln(1+x)=(-1)，(-1,1 (n+1)n=0n(1+x)5 傅立叶级数 m=1+m(m-1)(m-2)L(m-n+1)nx，(-1,1) n!n=1a0 定义：如果三角级数+(ancosnx+bnsinnx)中的系数an，bn是由尤拉2n=1傅立叶公式给出，即 an=bn=1p1pf(x)cosnxdx，n=0,1,2,L； -pf(x)sinnxdx，n=1,2,L pp-p 则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数 收敛定理 设f(x)是周期为2p的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单

27、调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数 f(x)a0+(ancosnx+bnsinnx)收敛于f(x-0)+f(x+0)2n=12 函数f(x)展开为傅立叶级数的方法： 1：求f(x)的傅立叶系数； 2：将1中的系数代入三角级数式； 3：写出上式成立的区间 正弦级数与余弦级数 x为连续点x为间断点 a0称bnsinnx为正弦级数；称+ancosnx为余2n=1n=1弦级数 若在-p,p上，f(x)为奇函数，则有an=0，其正弦级数为bn=1nsinnx，bn=p2p0f(x)sinnxdx，； 若在-p,p上，f(x)为偶函数，则有bn=0，其余弦级数为2pa0； +ancosnx，an

28、=f(x)cosnxdx，02n=1p若f(x)是定义在0,p上的函数，要求其正弦级数，可先对f(x)进行奇延拓； x0,pf(x)奇延拓：F(x)= -f(-x)x-p,0偶延拓：F(x)=x0,pf(x)f(-x)x-p,0)对于周期为2l的函数的展开情况与上边类似 第十二章 微分方程 一、基本概念 1 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 2 微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数叫微分方程的阶 3 微分方程的解： 满足微分方程的函数叫微分方程解； 若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解； 确定了通解中任意常数

29、以后所得的解叫微分方程的特解 4 初始条件：用来确定通解中任意常数的条件叫初始条件 二、一阶微分方程的解法 一阶微分方程的形式通常记为： F(x,y,y)=0或y=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 常见一阶微分方程有： 1 可分离变量微分方程 能化成g(y)dy=f(x)dx的一阶微分方程叫可分离变量的微分方程通常有 dy=g(y)f(x)或M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0， dx分离变量，两边积分可得通解 2 齐次微分方程 一阶方程dyyy=f(x,y)中的f(x,y)可表示成的函数，即f(x,y)=j，dxxxydydu=u+x代入原方程便得可分离

30、变量微分方程 ，则xdxdx则称此方程为齐次方程 解法：令u=3 一阶线性微分方程 形如dxdy+P(x)y=Q(x)或+P(y)x=Q(y)的方程叫一阶线性非齐次微分dydx方程。Q=0时，为一阶线性齐次微分方程 -P(x)dxdy+P(x)y=0的通解为y=ce dxdy+P(x)y=Q(x)的通解为： 用常量变易法得dx-P(x)dxP(x)dxdx+c y=eQ(x)e4 贝努利方程 形如dy+P(x)y=Q(x)yn的方程叫贝努利方程 dxn1-n解法：两边同除以y，令y=z，便得一阶线性非齐次微分方程 5 全微分方程 若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0满足PQ=，即Pdx

31、+Qdy为某二元函数yxu(x,y)的全微分，则称此方程为全微分方程 其通解为：u(x,y)=yxx0xP(x,y0)dx+Q(x,y)dy=C或y0yu(x,y)=Q(x0,y)dx+P(x,y)dy=C y0x0三、可降阶的高阶微分方程 1 y(n)=f(x)型 接连n次积分，可得此方程的含有n个相互独立的任意常数的通解 2 y=f(x,y)型 令y=p，则y=的通解 3 y=f(y,y)型 令y=p，则y=dp，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程dxdpdpdydp=p，代入原方程，得到一阶微分方程dxdydxdypdp=f(y,p)解此一阶微分方程，得到y=p=j(y,C

32、1)，然后分离变量并积分dy便可得此方程的通解 四、线性微分方程解的结构 y+p(x)y+Q(x)y=0 y+p(x)y+Q(x)y=f(x) 称为二阶线性齐次微分方程，称为二阶线性非齐次微分方程 1：若y1，y2是的两个解，则线性组合C1y1+C2y2也是的解 2：若y1，y2是的两个线性无关的解，则y=C1y1+C2y2就是的通解 3：若y1，y2是的两个解，则y=y1-y2就是的一个解 4：若y是的通解，y是的一个特解，则y=y+y就是的通解 5：若中的f(x)=f1(x)+f2(x)，且y1是y+p(x)y+q(x)y=f1(x)的特解，y2 是y+p(x)y+q(x)y=f2(x)的

33、特解，则y*=y1+y2就是的特解 五、二阶线性常系数微分方程 1 齐次：y+py+qy=0 其特征方程为：r+pr+q=0 1：若r1，r2为的不等二实根，则的通解为：y=C1e1+C2e2 2：若r1，r2为的相等二实根，则的通解为：y=(C1+C2x)e1 3：若r1,2=abi为的一对共轭复根，则的通解为： rxrxrx*2y=eax(c1cosbx+c2sinbx) n阶的略 2 非齐次 y+py+qy=f(x) 相应齐次方程为：y+py+qy=0 方程的通解y=的通解y+一个特解y *y已解决，这里关键是求y*： 1：若f(x)=elxPm(x)，其中Pm(x)为x的m次多项式，此时令y*=xkelxQm(x)，这里Qm(x)为系数待定的m次多项式 0当l不是特征方程的根时k=1当l是特征方程的单根时 2当l是特征方程的重根时2：f(x)=elxPl(x)cosbx+Pn(x)sinbx Qm(x)、Rm(x)此时令y*=xkelxQm(x)cosbx+Rm(x)sinbx，此处m=maxl,n；是两个m次系数待定的多项式，k= 0当lib不是特征根时1当lib是特征根时