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1、大学应用数学习题III主要解题方法 1求函数极限方法 (1) 利用极限存在的充分必要条件求极限 例1 求下列函数的极限： lim解： x-2x-4x-2x-4x-2x-4222x2=lim-x2x2lim-2-x(x-2)(x+2)x-2(x-2)(x+2)=-14x2lim+=lim+x2=14, 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在 1+a,x0,1+x, 当a为何值时，f(x)在x=0的极限存在. 解： 由于函数在分段点x=0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点x=0处的左极限与右极限于是，有 x0lim-f(x)=lim-(xsinx01x2+a)=lim-(xsinx01x
2、)+lim-a=ax0， 为使limx0x0lim+f(x)=lim+(1+x)=1， x0f(x)存在，必须有lim+f(x)=lim-f(x)， x0x0因此 ，当a=1 时， limf(x)存在且 limf(x)=1 x0x0 利用极限运算法则求极限 例2 求下列函数的极限： (1)lim2x-3x+12x1解： (2)lim2x-3x+122x1=lim(2x-3)x12lim(x+1)x1=- 21limxx-9x-5x+62解：当x3时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用00商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则 原式=limx3 (3) x
3、-9x-5x+622=lim(x-3)(x+3)(x-3)(x-2)x3=limx+3x-2x3=6 lim(x121-x2-11-x) 211-x21-x2解：当x1时，1-x2,的极限均不存在，式-11-x呈现-型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则即 原式=lim(x121-x2-11-x)=lim2-(1+x)1-x2x1=lim(1-x)(1-x)(1+x)x1=lim11+xx1=12 利用两个重要极限求函数的极限 例4 求下列函数的极限： limcosx-cos3xx2x0解： 分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限 原
4、式=lim2sinxsin2xx2x0=limsinxxx0lim(4xsin2x2x)=14=4 limx(1-1x2)x(-x)2原式=lim(1-x1x2)(-1x)=e0=1 用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。 利用函数的连续性求极限 例6 求下列函数的极限 limx2x+sinxe2x21+x2=2解： 因为所以 x+sinxex1+x22是初等函数，在x4+sin2e2处有定义， limx+sinxe2x21+x2=5. 2判断函数连续性的方法 例 7 讨论函数 x, x0f(x)=在点x=0处的连续性 1,
5、x0xsinx 解 由于函数在分段点x考虑在分段点x因而有limx0=0处两边的表达式不同，因此，一般要=0处的左极限与右极限 -f(x)=lim-x=0,lim+f(x)=lim+xsinx0x0x01x=0， 而f(0)=0，即 lim-f(x)=lim+f(x)=f(0)=0x0x0， =0处连续 由函数在一点连续的充要条件知f(x)在x练习： 1、limA. x-1x-1=。 x1-1 B. 1 C. 0 D. 不存在 2、当x0时，下列变量中是无穷小量的有。 A. sin1x B. sinxx C. 2-x-1 D. lnx3、下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有。 A. lgx
6、(x0+) B. =lgx(x1) C. x32x+1(x+) D. 1ex(x0) -4、limx1sin(x-1)x-12。 12A. 1 B. 2 C. 0 D. 5、函数f(x)在点x0处有定义，是f(x)在该点处连续的。 A. 充要条件 B. 充分条件 C. 必要条件 D. 无关的条件 6、设A. ex, x0ff(x)=，若limx0ax+b, x0(x)存在, 则必有( ) . a=0,b=0 B. a=2,b=-1 C. a=-1,b=2 D. a为任意常数,b=1 7、若函数f(x)在某点x0极限存在，则. f(x)在x0的函数值必存在且等于极限值 f(x)在x0的函数值必存
7、在，但不一定等于极限值 f(x)在x0的函数值可以不存在 如果f(x0)存在则等于极限值 8、如果xx+0limf(x)与limxx-0f(x)存在，则. limxxf(x)存在且limf(x)=f(x0) xx00limxxf(x)存在但不一定有limf(x)=f(x0) xx00limxxf(x)不一定存在 limf(x)一定不存在 xx009、无穷小量是. 比0稍大一点的一个数 一个很小很小的数 以0为极限的一个变量 0数 10、点x=1是函数x1连续点 间断点 11、方程x4-(0,12x-1=0至少有一个根的区间是. ) (12,1) (2,3) (1,2) 12、设f(x)=x+1-1x0x0x=0，则x=0是函数f(x)的. 间断点 连续点
