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1、小波变换课件 第1章 Haar小波第1章Haar小波分析 1.1简介 (近距离-小尺度） (远距离-大尺度) 1.2 平均与细节 l 设x1,x2,x3,x4是一个信号序列。定义它的平均和细节： a1,0=(x1+x2)/2找出了x1、x2和a1,0、d1,0的关系。 d1,0=(x1-x2)/2这里，a1,0是原信号前两个值x1、x2的平均。又叫低频成分，反映前两个值x1、x2的基本特征或粗糙趋势；d1,0反映了x1、x2的差别，即细节信息，又叫高频成分。 a1,1=(x3+x4)/2找出了x3、x4和a1,1、d1,1的关系。 d1,1=(x3-x4)/2同样，a1,1是原信号后两个值x3
2、、x4的平均，d1,1反映了x3、x4的细节。 我们把a1,0,a1,1,d1,0,d1,1看作是对x1,x2,x3,x4实施了一次变换的结果。 变换还可以往下进行： a0,0=(a1,0+a1,1)/2 =(x1+x2)/2+(x3+x4)/2)/2 =(x1+x2+x3+x4)/4 a0,0是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；d0,0=(a1,0-a1,1)/2。 经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示： a0,0,d0,0,d1,0,d1,1 该序列叫做原序列的小波变换，a0,0,d0,0,d1,0,d1,1叫做小波系数。 还可以反过来表示： x1=a1+d1,0这是
3、用a1,d1,0来恢复原信号x1、x2； x2=a1-d1,0x3=a2+d1,1用a2,d1,1来恢复原信号x3、x4。 x4=a2-d1,1也就是反变换。 l 小波变换过程的塔式算法： 例如，x1,x2,x3,x43，1，2，4 最终的小波变换为a0,0,d0,0,d1,0,d1,1=,3122,1,-3 1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar尺度函数 1 f(t)=f0,0(t)f(t-1)=f0,1(t)f(t-k)=f0,k(t) 0 1t01t0tkk+1 0不压缩：不位移 位移一个单位 位移k个单位 f(2t)=f1,0(t)P-81f(2(t-1/2)=f(2t-1)=f(
4、t)1,1f(2jt-k)=fj,k(t)1/2j0t1t01/2P-9t1/20j(k+1)/2jk/2压缩1/21倍，不位移 压缩1/21倍，位移一个单位 压缩1/2j倍，移位K个单位 一般 fj,k(t)=f(2jt-k)，k=0,1,2,.,2j-1 u 几个术语 1） 支撑，函数fj,k(t)不为零的区间，上例中为2） 支撑的宽度，Haar尺度函数的宽度为1/2j。 3） j为分辨率，j越大，尺度越小，分辨率越高。 4） 1/2j=2-j为尺度。 k2j,k+12j。 (2).Haar小波函数f(t) u Haar小波函数与尺度函数的关系 y(t)=y0,0(t)=f1,0(t)-f
5、1,1(t) t)y(t)=y0,0(y(t-1)=y0,1(t)y(t-k)=y0,k(t)(2k+2)/2=k+11 t01/2013/22tt02k/2=k(2k+1)/2=k+1/2v 不平移、不压缩； 平移一个单位 ； 平移 K个 单位。 y(2t)=y1,0(t)y(2(t-1/2)=y(2t-1)=yt1,03/42y(2(t-2k/2)=y(2t-k)=yt1,k1/41/20t01/21t02k/22(2k+1)/22(2k+2)/212tv 不平移，压缩1/21倍； 先平移一个单位，再压缩1/21倍， 平移个K单位，再压缩1/21倍。 u H aar小波函数的一般形式： y
6、j,k(t)=y(2jt-k)，k=0,1,.,2-1 j位移k个单位，压缩2j倍。 (3). 分段常数函数 也可将序列x1,x2,x3,x4看成分段常数序列。 用尺度函数和小波函数描述分段常数函数 f(t)=x1X0.1/4(t)+x2X1/4,1/2(t)+x3X1/2,3/4(t)+x4X3/4,1(t) 写成 12,022,132,242,3=14444444244444443 f(t)可用尺度函数伸缩平移的线性组合表示xf(t)+xf(t)+xf(t)+xf(t)重写 x1f2,022,132,242,3144424443144424443a1,0=(x+x)/2a1,1=(x3+x
7、4)/212(t)+xf(t)+xf(t)+xf(t) d1,0=(x1-x2)/2d1,1=(x3-x4)/2f(t)=144424443a1,0f1,0(t)+a1,1f1,1(t)+d1,0y1,0(t)+d1,1y1,1(t) 再求平均和细节得a0,0和d0,0故得 a0,0f0.0(t)+d0,0y0,0(t)d1,0y1,0(t)+d1,1y1,1(t) 14444244443a0,0=(a1,0+a1,1)/2d0,0=(a1,0-a1,1)/2注释：序列x1,x2,x3,x4可由尺度函数和小波函数的系数来表示，既a0,0,d0,0,d1,0,d1,1 为x1,x2,x3,x4的
8、小波变换。 , 1.5 小波变换的计算 设x1,x2,x3,x4是长度为2n的离散序列，记为an,0,.,an,2n-1。 函数fn(t)展开为 fn(t)=an,0fn,0(t)+.+an,2n-1fn,2n-1(t) 将函数fn(t)做一次小波分解，得 fn(t)=1444444442444444443概貌，用fn-1(t)表示构成小波变换系数的一半dn-1,y0n-1,0(t)+.+dn-1,2n-1-1yn-1,2n-1-1(t) 重复分解多次，可得fn(t)在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。 归一化尺度函数和小波函数 归一化又叫做标准化或规范化，计算方法如下： ff=u,u=1
9、,f=f,f,f2=f,f=ffdt=*fdt2j fj,k(t)=f(2tk-，)k=0,1,.,2-1 jfj,k(t)2(k+1)/2j(k+1)/2j=k/2fj,k(t)dt=j2k/2dt=j12jfj,k(t)=12j=2-j/2标准化尺度函数 f(2t-k）f(2jt-k）j/2j =2f(2t-k） -j/22fj,k(t)j仍记为 fj,k(t)=2j/2f(2jt-k） 同理，可得标准化Haar小波函数 y(t)=2j,kj/2j y(2t-k）u 标准化二尺度方程 f(t)=2-1/2f(2t)+2-1/2f(2t-1) -1/2-1/2f(2t)-2f(2t-1)y(
10、t)=2注释： 标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量，从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等，既 2n-12n-1k=0an,k22-1n=an-1,kk=02+k=0dn-1,k2 如何从an,0,.,an快速计算小波变换系数： n,2-1 重写式 fn(t)=an-1,0fn-1,0(t)+.+an-1,2n-1-1n-1,2n-1-1f(t)+dn-1,0yn-1,0(t)+.+dn-1,2n-1-1yn-1,2n-1-1(t) 现将式二端在0:1范围内对fn-1,k(t)做内积，得 10fn(t)fn-1,k(t)dt=an-1,kfn-1,k(t)
11、dt 012012 =an-1,kfn-1,k(t)dt=an-1,k (1-26) 注释： 这里正交性保证了式右边只有一项内积不为零；尺度函数的标准化保证了积分结果为1。 再将式,即fn(t)=an,0fn,0(t)+.+an,2n-1fn,2n-1(t)代入,左边得 10an,0fn,0(t)+.+an,2n-1fn,2n-1(t)fn-1,k(t)dt 注释： 10an,02n/2f(2t)+an,12nn/2f(2t-1)+.2nn-1/2f(2n-1t-k)dt =an,02n/22n-1/2f(2nt-k)f(2n-1t-k)dt+.=an-1,k 01若设k=0，则fn(t)fn
12、-1,k(t)dt=fn(t)fn-1,0(t)dt 0011重叠部分 f(2t)f(2 所以， nn-1t-0) n-1n110f(2tf)(2tdt) nt01/2n1/2n-1 =1/20f(2n-1t)f(2t)dt=n1/2n0dt=12nf(2nt-1)f(2n-1t-0) 所以， 1/n2-1n1/2 f(2t-1f)(2tdt)dt=1=1212nnn-1重叠部分 = =因此， 1/2n-1n1/2n-1-12n122nt01/2nn-2nn-11/2n-1n-11/20nan,02n/22n-1/2f(2t)f(211nnt)dt+n1/2n-1n1/2an,12n/22n-
13、1/2f(2t-1)f(2t)dt =an,02n22+an,1211n22=an,0+an,12=an-1,0 an,)/2 即 an-1,0=(an,+01 一般有， an-1k=(an, = an,2k/注释： 1）归一化后，fj,k(t)=2j/2f(2jt-k) 2）关于积分 +an,k2n-1， k=0,1,2,.,-2 )/2k,+2112+an,2k+1/2 101fn-1,k(t)dt=n-12102n-1/2f(2n-1t-k)dt t-k) 2 =20f(22n-1t-k)12n-1d(2n-1 同理，有小波系数 dn-1,k=(an,-a2k)/n,+2k12 , k=
14、0,1,2,.,-2 n-11 = an,2k/2-an,2k+1/2 1.7 小波变换的滤波器组实现Mallat算法 1.7.1 离散序列的巻积 已知序列 a=a0,a,a,.m.a,12 b=b,b,b,.k.b,012做巻积的两个序列的长度不一定相等。 1）由巻积公式求巻积： ,l=a( +)m11 ,l=b(+)k记a*b为a与b巻积后得到的新序列，(a*b)n为第n个元素，则 (a*b)n=a0bn+a1bn-1+.+an-1b1+anb0=akbn-k kl(a*b)=l(a)+l(b)-1 例11 b=b0,b1,b2,b3=0.1，1，0.1，-1 k=3， a=a,a1,a2
15、=1,0.1,-1 m=2 ；000求卷积和。 简便算法 从下面序列最右边一项开始，分别与 上面序列各项相乘，直到下面序列最 左边一项完成同样相乘，再按列相加。 这种方法结果序列下标是原两序列下 标位的代数和确定的。利用这种方法， 卷积和可一次计算出来，而且下标确 定简单。 用MATLAB 实现： a=0.1,1,0.1,-1; b=1,0.1,-1; y=conv(a ,b) ans = 0.1-10.1-1-0.1-1-0.110.010.10.01-0.10.110.1-1110.10.11.010.1-1.99-0.21 0.1000 1.0100 0.1000 -1.9900 -0.
16、2000 1.0000 滑尺法 两序列0点对齐，计算对应元素乘积并求和得y(0)； 下列向右滑动一位，再计算各对应元素乘积并求和， 得y(1)； 直到所有n0情况下对应元素乘积再 求和等于零为止。回到两序列0点对齐位置，向左 滑动一位，计算各对应元素乘积并求和得y(-1)；再 .a.-2a-1a0a1a2b0b1b2.b-2b-1向左滑动一位，, 直到所有n0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。这种方法最大优点是结果的下标确定直观，但计算稍复杂。 2）z域中的巻积 例12a=a0,a1=3,2，b=b0,b1,b2=1,2,-1 将序列中的每一项转换为z-1的多项式，得 a=a0,a1=3,2
17、a(z)=kaz=3+2z k-k-1 b=b=,b,b1,2,-1b(z)=012a*ba(z)b(z)=-1bzk-k=1+2z-1-z-2(a*b)kzk-1-k) a(z)b(z)=(3+2z)(1+2z-z-2 =3+(2+6)z-1+(-3+4)z-2-2z-3 =3+8z-1+1z-2-2z-3 所以，a*b=3，8，1，-2。 1.7.2 二通道滤波器组 高频成分(细节) S受污染信号 w0低频成分(近似或概貌) 虚线左：分析滤波器 1)信号通过两路互补对称的 滤波器后,整个频带被划分为 二，得到近似和细节二路信 号。每路信频宽带是原来的 一半。 2)若原始信号由1000个点,
18、 通过两路互补对称的滤波 器后,共得到2000个点，存 在信息冗余。 3）增加抽样器可减少滤波器 w0 分析滤波器 综合滤波器 h2an2hxngyn2dn2g输出数据冗余。2表示2抽取，信号带宽减半，采样率减半，不引起信息丢失。 虚线右：综合滤波器用来恢复原信号。 h,h低通滤波器； g,g高通滤波器。 二元下抽样： 用2表示，每隔一个元素抽取一个，定义算子D： 若x=.,x-2,x-1,x0,x1,x2,.，那么二元下抽样序列为 Dx=.x-2,x0,x2,. 或 分析滤波器实现Haar小波分解 对于任一长度为2n的输入序列an=an,0,.,an,2n-1，利用求平均和细节的方法，可得低
19、频分量和高频分量： adn-1=an-1,0,an-1,1.,an-1,2n-1 n-1= dn-1,0,dn-1,1.,dn-1,2n-1 其中， an-1,k=(an,2k+an,2k+1)/dn-1,k=(an,2k-an,2k+1)/2 k=0,1,.,-2 2 k=0,1,.,-2 n-1n-111小波变换的滤波器组算法，就是输入序列对滤波器系数作巻积。为此先将原信号序列补零扩展成无穷序列，再作巻积。 an,2n-2+an,2n-1an,2n-1an,0an,0-an,1an,1+an,2na*h=.,0,.,0,. 22222-an,2n-1an,2n-1,22,0,.0 an,2
20、an,0an,0-an,1an,1-an,2na*g=.,0,., 222 0从而， n-21000个 h2an-1500个 angdn-12500个 图1-15 用分析滤波器实现Haar小波变换 0an,2n-2+an,2n-1an,0+an,1an,1+an,2nD(a*h)=.,0,.,0,. 222an,2n-2-an,2n-1an,0-an,1an,1-an,2nD(a*g)=.,0,.,0,. 22202）用综合滤波器实现Haar小波重构 先作上抽样，再与滤波器作巻积。 0UaUdn-1=.,0,an-1,0,0,an-1,1,0,.,0,an-1,2n-1-1,0,. ,0,.
21、n-1=.,0,dn-1,0,0,dn-1,1,0,.,0,d0n-1,2n-1-1 于是， 0(Uan-1aaan-1,0an-1,0an-1,1an-1,1n-1,2n-1-1n-1,2n-1-1)*h=.,0,.,0,. 222222dddn-1,0dn-1,0dn-1,1dn-1,1n-1,2n-1-1n-1,2n-1-1)*g=.,0,.,0,. 2222220(Udn-1Haar小波重构计算公式为 an,2k=(an-1,k+dn-1,k)/an,2k+1=(an-1,k-dn-1,k)/2 k=0,1,.,-2 2 k=0,1,.,-2 n-1n-111图116 用综合滤波器实现
22、Haar小波重构 例1.4输入信号f=a,b，用Haar小波滤波器组算法实现信号的小波分解和重构。首先将有限信号通过两端补零的方法，将f嵌入一个无限长的信号0,0,a,b,0,0,中， 12121212, g=g-1,g0=-1212 h=h-1,h0=,h=h0,h1=, g=g0,g1=12,-12 h=h1，h0=1111, g=g1,g0=-, 2222h=h0，h1= 1,1, g=g0,g1= 1,-1 (a) h=h1，h0=1,1, g=g1,g0=1,1 1111h=h0，h1= ，, g=g0,g1= ， 2222 (b) 11h=h-1,h0=,， g=g-1,g0=1,-1 22=-h=h0,h-1= 1，1， g=g0,g111, 22 图18 例1.5 设信号f=4，-2，1，3，用Haar小波滤波器组, 实现信号的小波分解与重构。 图19 4，-2，1，3的小波滤波器组的小波分解与重构 图19
