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1、微积分1期末模拟考试答案微积分1期末模拟考试 一、填空题 ex-11 lim= ； x0-xex-1exe0lim=lim=-1 x0-xx0-1-12. ( )dx=xsin+x；c (?)dx=xsinx+c?=(xsinx+c)=sinx+xcosx 3. 设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则f(x)有_个极值点; f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)f(x)是关于x的一元二次方程 f(x)=3x2-12x+11,D0，f(x)=0有两个解，有两个极值点. 4. 设f(x)的一个原函数为e，则f(x)dx= ，f(x)dx= 。 f(x)dx=e-x+Cf(x)dx=f
2、(x)+C=(e依题可知：，-x-x+C)+C=-e-x+C5. 函数f(x)=arctanx在0,1上满足拉格朗日中值定理的点x= 。 1,根据拉格朗日定理，f(x)-f(x0)=(arctanx)(x-x0)1+x211p4-p即f(1)-f(0)=(1-0),即=arctan1-arctan0=x=1+x21+x24p f(x)=(arctanx)=6. 设f(x)=sinx, 则f(2x)dx= . f(2x)dx=111f2xd2x=f2x+C=sin2x+C()()222 11+7. 2x+a(x+a)dx .(附加题，可不做) 11111+dx=dx+dx=lnx+a-+C22x
3、+a(x+a)x+ax+a(x+a) 8. 99(2x+3)dx= . (附加题，可不做) 99(2x+3)dx=1199100(2x+3)d(2x+3)=(2x+3)+C2200 二、选择题 1. 设f(x)dx=A、1+x+C，则f(x)= 1-x-22-2x2x B、 C、 、 (x-1)2(x-1)2(x-1)2(x-1)2f(x)=1+x2(1-x)-(1+x)(-1)+C=(f(x)dx)=(x-1)1-x(1-x)222. 设f(x)连续，下列等式错误的是 A、C、(f(x)dx=f(x) B、)f(x)dx=f(x)+C (f(2x)dx)=f(2x) D、f(2x)dx=f(
4、2x)+C 11f(2x)d2x=f(2x)+C 22D: f(2x)dx=3. 设f(x)dx=sinx+C，则xf(x2)dx= A、1sinx+C B、1sinx+C 22C、1sin2x+C D、1sin2x+C 222xf(x)dx=111222f(x)dx=sinx+C=sinx+C222 x4. 设xf(x)dx=sinex+C，则f(lnx)dx= A、sine+C B、sin(lnx)+C C、sinx+C D、lnx+C f(lnx)dx=f(lnx)dlnx=sinelnx+C=sinx+Cx 5. 设函数f(x)在x=x0处取得极大值，则必有。 A.f(x0)=0；C.
5、f(x0)0；B.f(x0)0；D.f(x0)=0或者f(x0)不存在.极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点，换言之， 极值点可能是驻点，也可能是一阶导不存在的点，即f(x0)=0或者f(x0)不存在. 6. 函数f(x)=lnx及其图形在区间(1,+)上( B )。 A. 单调减少上凹; B.单调增加上凸; C. 单调减少上凸; D.单调增加上凹. 11f(x)=,f(x)=-2,得一阶导不存在的点是x=0,当x0时，f(x)0时，f(x)0xx 在(1,+)区间f(x)0，f(x)0,f(x)在(1,+)区间单调增加上凸 二阶导小于0，上凸；二阶导大于0，上凹 7. 如果f(x)=( A
6、 ),那么f(x)=0。 A.arcsinx+arccosx；C.sinx+cosx；B.sec2x+tanx；D.lnx+arccosx.8. 函数y=x-arctanx在(-,+)内 A.单调递增 B.单调递减 C.不单调 D.不连续 9. 设f(x)=x，则x=0是f(x)的 23A.间断点 B.可导点 C.驻点 D.极值点 10. 当被积函数含有x2-a2，可考虑换元，令 A.asint B.atant C.asect D.acost 三、 解下列各题 ex+e-x-21. 求lim； x01-cosxex+e-x-2ex-e-xex+e-xe0+e0lim=lim=lim=2 x01
7、-cosxx0x0sinxcosxcos01ln(1+x)-2. 求lim； x0xx211-x-ln(1+x)x111+x=lim原式=lim=lim=lim=x0x0x02x(1+x)x02(1+x)x22x2 1x3. 求lim(cosx)x02.(附加题，可不做) 1x2lim(cosx)=ex01x2lnlim(cosx)x0=elncosxx0x2lim=e-sinxlimcosxx02x=e-12四、求不定积分 xdx; 1. 1+x令x=t,则x=t2,dx=2tdt,xtdx=tdt21+x1+t 1=1-dt=t-arctant+C=x-arctanx+C21+t 2. x
8、4-x2dx; p令x=2sint,t0,则4-x2=2cost,dx=2costdt23. x4-x2dx=2sint2costdt=2sintdt=-2cost+C=-4-x2+C2cost 34x(2x+e+cos5x)dx; 1414x1原式=2xdx+edx+cos5xdx=x+e+sin5x+C245 34x4. 2xlnxdx; 原式=1131313133132lnxdx=xlnx-xdx=xlnx-x+C=xlnx-x+C333339 ()5. dx; 3+2xt2-3dx1令3+2x=t,则x=,dx=tdt,=tdt=t+C=3+2x+C2t3+2x 6. dxx(1+x2
9、); dxx111122=-dx=lnx-d1+x=lnx-1+x+C()22x(1+x2)21+x2x1+x 7. xx-92dx;(附加题，可不做) p令x=3sect,t0,则x2-9=3tant,dx=3secttantdt28. 3sectdx=3secttantdt=3sec2tdt=3tant+C=x2-9+C3tantx2-9 arcsinxxdx;(附加题，可不做) 2xarcsinxarcsint令x=t,则x=t,dx=2tdt,dx=2tdttx =2arcsintdt=2tarcsint-21d-(1-t2)t2dt=2tarcsint-21-t21-t2 1d-(1
10、-t2)2=2tarcsint+21-t2+C=2tarcsint-21-t2 =2xarcsinx+21-x+C1+x+x2dx;(附加题，可不做) 9. 2(1+x)1+x+x2x11122dx=1+dx=x+d1+x=x+ln1+x+C()()2(1+x2)1+x221+x2 210. 2sinxdx(附加题，可不做) 令x=t,则x=t2,dx=2tdt,2sin2xdx=2sin2t2tdt=2t(1-cos2t)dt=2tdt-tdsin2t=t2-tsin2t+sin2tdt1=t-tsin2t+sin2tdt=t-tsin2t-cos2t+C2 221=x-xsin2x-cos
11、2x+C2 11. 设函数f(x)的一个原函数为lnx，求不定积分xf(x)dx。(附加题，可不做) 依题得：f(x)dx=lnx+C,f(x)=(1f(x)dx=，xf(x)dx=xdf(x) x)=xf(x)-f(x)dx=1-lnx+C=-lnx+C 五、应用题 1. 求函数y=lnx的单调区间与极值、凹凸区间、拐点与渐近线。 x1-lnx函数y的定义域为(0，+)，y=得驻点x=e和导数不存在的点x=0(舍去) x232lnx-32y=,令y=0，得x=e x3x (0，e) + e 0 极大值点 极大值(e，e) 32e 0 32(e，+) + 321-lnx x22lnx-3y=
12、3xy=y=lnx x单调递增 上凸 y=1 e单调递减 上凸 拐点 单调递减 上凹 limy=limxlnxlnx=0,limy=lim= xxx0x0x水平渐近线是y=0,垂直渐近线是x=0，没有斜渐近线. 综上所述，函数y=lnx+)，极大值点的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，x331是x=e，极大值是y=，没有极小值，凹区间是(e2，+)，凸区间是(0，e2)，拐点是e32x=e，水平渐近线是y=0，垂直渐近线是x=0. 2. 设厂商生产某产品的总成本函数为C(Q)=2Q+0.4Q+1，总收益函数为R(Q)=18Q-0.6Q(单位：万元)，其中Q为产量。*以税率t对该产品
13、征税，厂商以最大利润为目标. (1)以税率t纳税后，求厂商获得最大利润时的产量和单价以及征税收益T； (2)t为多少时，征税收益最大？ 利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)-tQ =(18Q-0.6Q2)-(2Q2+0.4Q+1)-tQ=-2.6Q2+17.6Q-tQ-1 L(Q)=-5.2Q+17.6-t,令L(Q)=0得唯一驻点Q=17.6-t，又L(Q)=-10 5.2R(Q)17.6-t415.2-3t17.6t-t2 Q=是最大值点，此时P=18-0.6Q=，T=5.2Q265.217.6t-t28.8-t,T=,令T=0得唯一驻点t=8.8,又T=-10 T=5.22.6t=8.8
14、时，征税收益最大. 3. 设厂商生产某产品的总成本函数为C(Q)=3Q+1，总收益函数为R(Q)=7Q-0.2Q2(单位：万元)，其中Q为产量。*以税率t对该产品征税，厂商以最大利润为目标. (1)以税率t纳税后，求厂商获得最大利润时的产量和单价以及征税收益T； (2)t为多少时，征税收益最大？ 利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)-tQ =(7Q-0.2Q2)-(3Q+1)-tQ=-0.2Q2+(4-t)Q-1 L(Q)=-0.4Q+4-t,令L(Q)=0得唯一驻点Q=20-5t，又L(Q)=-0.40 2Q=R(Q)20-5t是最大值点，此时P=7-0.2Q=0.5t+5，T=10t-2.5t2 2QT=10t-2.5t2,T=10-5t,令T=0得唯一驻点t=2,又T=-50 t=2时，征税收益最大.
