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1、微积分A复习举第十章 多元函数微分学及其应用 距离;领域;外点;边界点;开(闭)集.区域;有界闭区域.基本概念多元函数极限连续;偏导数;全微分方向导数;梯度求复合函数的偏导偏导数的计算一个方程所确定的隐函数求隐函数的偏导方程组所确定的隐函数曲线的切线与法平面几何应用曲面的切平面与法线定义极值存在的必要条件极值与最值极值存在的充分条件应用 条件极值最值方向导数: 导数沿任一方向的变化率梯度 gradf=f,fxy22x2+y2多元函数微分及其应用例1 求极限 lim(x+y)x0y0lnrr01rlim22解： 令 x+y=r， 则原式=limr=er0r0rlimrlnr=e=1 x2y2例2
2、 考察极限lim22 x0xy+(x-y)2y0 1 x2y2x4=lim4=1 解：当x,y沿y=x趋于零时，lim22x0xy+(x-y)2x0xy=xx2y24x4=lim4=0, 当x,y沿y=2k趋于零时， lim22x0xy+(x-y)2x04x+x2y=2xx2y2所以极限lim22不存在. x0xy+(x-y)2y0xy,x2+y202例3 证明z=f(x,y)=x+y2在点(0,0)连续,偏导数存在，但不可微. 0,x=y=0证明 x+y0时， 0f(x,y)22x2+y22x2+y2yz0.当变量x,y,z分别增加一个单位时, 哪个变uxyz量对u的影响最大? 分析: 由偏
3、导数的几何意义可知,uuu,分别表示函数 u=u(x,y,z)在点 (x,y,z)xyz沿x轴方向, 沿y轴方向, 沿z轴方向的变化率. 因此，只需求出u的三个偏导数加以比较即可。所给函数为隐函数形式。 解：在所给方程两端分别对x,y,z求偏导数, 可求出三个偏导数。由于 2 1u1uu2uu2uu2-2=-2 可得 =。 同理可得 =,=。 uxxxx2yy2zz2uuuu2u2u2由于 xyz0 ，因此xyz0,222 ， 0， 所以由极值的充分条件知f(x,y)在(x0,y0)处没有极值，这与f(x,y)在(x0,y0)处取极大值矛盾，所以f(x,y)必在D的边界上取最大值. 同理，f(
4、x,y)必在D的边界上取最小值. 反证法条件极值的必要条件、充分注：此题用到了 最值定理极值与最值的关系例14 在曲面z=1-x-y的第一卦限部分里求一点，使曲面在该点的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小，并求此体积. 分析: 首先求出切平面在三个坐标轴上的截距a,b,c. 则四面体的体积为格朗日乘数法求最小值. 解：(1) 设点M0(x0,y0,z0)为曲面上一点，则在M0的切平面方程为 2x0(x-x , -y+(z-0z)= 00)+2y0(y0)即2x0x+2yy0+z=(2-z0) 或 221abc.然后用拉6xyz+=1 2-z02-z02-z02x02y0所以a=2-z02-z0，b=，c=2-z0 2x02y0 7 1(2-z0)3 (2) 四面体的体积为 V= 24x0y0(2-z)3(3) 令 L=+l(x2+y2+z-1) xyLx=0L=0y由 Lz=0x2+y2+z=1解得 x=yz=2-6x2 1x=y=2故所求点为 (12,12,192)，最小体积为 V=16. 8
