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1、数值分析第五全答案cha第一章 绪 论 1设x0,x的相对误差为d，求lnx的误差。 e*x*-x= x*x*1e* 而lnx的误差为e(lnx*)=lnx*-lnxx*解：近似值x的相对误差为d=er=*进而有e(lnx*)d 2设x的相对误差为2%，求x的相对误差。 解：设f(x)=xn，则函数的条件数为Cp=|nxf(x)| f(x)又Qf(x)=nxn-1xnxn-1|=n , Cp=|n又Qer(x*)n)Cper(x*) 且er(x*)为2 er(x*)n)0.02n 3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指*出它们是几位有效数字：x1=71.
2、0. =1.1021,x2=0.031, x3=385.6, x4=56.430,x5*解：x1=1.1021是五位有效数字； *x2=0.031是二位有效数字； *x3=385.6是四位有效数字； *x4=56.430是五位有效数字； *x5=71.0.是二位有效数字。 *4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1+x2+x4,(2) x1. x2x3,(3) x2/x4*其中x1均为第3题所给的数。 ,x2,x3,x4*解： 121*e(x2)=10-321*e(x3)=10-1 21*e(x4)=10-321*e(x5)=10-12e(x1*)=10-4*(1)e(x1+x
3、2+x4)*=e(x1)+e(x2)+e(x4) 111-4-3-3=10+10+10222=1.0510-3*(2)e(x1x2x3)*=x1x2e(x3)+x2x3e(x1)+x1x3e(x2)111=1.10210.03110-1+0.031385.610-4+1.1021385.610-32220.215*(3)e(x2/x4)*x2e(x4)+x4e(x2)x*24110.03110-3+56.43010-322=56.43056.430=10-54pR3 35计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V=则何种函数的条件数为 RgVRg4p
4、R2Cp=3 4VpR33er(V*)Cpger(R*)=3er(R*) 又Qer(V*)=1 故度量半径R时允许的相对误差限为er(R*)=6设Y0=28，按递推公式Yn=Yn-1-110.33 31783 100计算到Y100。若取78327.982，试问计算Y100将有多大误差？ 解：QYn=Yn-1-1783 100Y100=Y99-Y99=Y98-1783 1001783 1001Y98=Y97-783 100 Y1=Y0-1783 1001783 100依次代入后，有Y100=Y0-100即Y100=Y0-783， 若取78327.982, Y100=Y0-27.982 1*e(Y
5、100)=e(Y0)+e(27.982)=10-3 21Y100的误差限为10-3。 27求方程x-56x+1=0的两个根，使它至少具有4位有效数字。 解：x-56x+1=0， 故方程的根应为x1,2=28783 故 x1=28+78328+27.982=55.982 22x1具有5位有效数字 x2=28-783=128+78311=0.017863 28+27.98255.982x2具有5位有效数字 8当N充分大时，怎样求N+1N1dx？ 21+x解 N+1N1dx=arctan(N+1)-arctanN 1+x2设a=arctan(N+1),b=arctanN。 则tana=N+1,tan
6、b=N. 1N1+x2dx=a-bN+1=arctan(tan(a-b)tana-tanb =arctan1+tanagtanbN+1-N=arctan1+(N+1)N1=arctan2N+N+19正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？ 解：正方形的面积函数为A(x)=x2 2e(A*)=2A*ge(x*). 当x*=100时，若e(A*)1, 则e(x*)110-2 22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm 10设S=12gt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的212gt,t0 22绝对误差增加
7、，而相对误差却减少。 解：QS= e(S*) )=gtge(t*当t*增加时，S*的绝对误差增加 er(S*)=e(S*)S*gt2ge(t*)=1*2g(t)2e(t*)=2*t当t*增加时，e(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。 11序列yn满足递推关系yn=10yn-1-1 (n=1,2,), 若y0=21.41，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：Qy0=21.41 1e(y0*)=10-2 2又Qyn=10yn-1-1 y1=10y0-1 e(y1*)=10e(y0*) 又Qy2=10y1-1 e(y2*)=10e(y1*) e(y2*)=102e(y0*).0e
8、(y10*)=110ey(0*) =101011-0221=1082计算到y10时误差为1108，这个计算过程不稳定。 212计算f=(2-1)6，取21.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？ 113, , ， 99-702。 (3-22)63(2+1)(3+22)解：设y=(x-1)， 若x=612，x*=1.4，则e(x*)=10-1。 2若通过1计算y值，则 6(2+1)e(y*)=-6 =1ge(x*)*7(x+1)6*ye(x)*7(x+1) =2.53y*e(x*)若通过(3-22)3计算y值，则 e(y*)=-32(3-2x*)2ge(x*)6y*ge(x*)*3-2x
9、=30y*e(x*) =若通过1计算y值，则 3(3+22)1ge(x*)*4(3+2x)e(y*)=-3 =61y*e(x*)*7(3+2x) =1.0345y*e(x*)通过1计算后得到的结果最好。 3(3+22)13f(x)=ln(x-x2-1),求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(x-x2-1)=-ln(x+计算，求对数时误差有多大？ 解 x2-1) Qf(x)=ln(x-x2-1), f(30)=ln(30-899) 设u=899,y=f(30) 则u=29.9833 *1e(u*)=10-4 2故 e(y*)- =1*e(u)*30-u1ge(u*)0.0167 310-3若改用等价公式 ln(x-x2-1)=-ln(x+x2-1) 则f(30)=-ln(30+899) 此时， e(y*)=- =1*e(u)*30+u1e(u*)59.9833 810-7
