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1、数学排列组合方法归类排列组合的常见题型及其解法 一. 特殊元素用优先法 把有限制条件的元素称为特殊元素，对于这类问题一般采取特殊元素优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素这类问题常采取特殊元素优先安排的方法。 解法1：因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端1之间的任一位置上，有A4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，1有A55种站法，故站法共有：A4A55480 解法2：因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A52种；第二步再让剩余的4个人站在中间4个位置，有A44
2、种，故站法共有：A52A44=480 二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A66种，然后女生内部再进行排列，有A33种，所以排法共有：A66A33=4320 三. 相离问题用插空法 元素相离问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
3、 解：先将其余4人排成一排，有A44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A53种，所以排法共有：A44A53=1440 四. 定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个m元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Am种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即Ann若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有m种排列方法。 Am 例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？ 1解：不考虑限制条件，组成的六位数有A5其中个位
4、与十位上的数字一定，A55种，所以所求的六位数有： 15A5A5五. 分排问题用直排法 =3002A2 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？ 解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来 第 1 页 共 1 页 处理，不同的坐标共有A99种。 六. 复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例6.
5、 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有 A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 4解：从10个点中任取4个点有C10种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉 七. 多元问题用分类法 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。 例7. 已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合3，2，1
6、，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。 a解：设倾斜角为q，由q为锐角，得tanq=-0，即a，b异号。 b 若c0，a，b各有3种取法，排除2个重复，故有：3327。 若c0，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436。 从而符合要求的直线共有：73643 八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组，1C42C2C11=6，第二步将这三组教师分派到3种中，共有：A22学任教有A33种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：1C42C2C113A3=36。因此共有36种方案。 A22九. 隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将55个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C9 =126 第 2 页 共 2 页
