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1、数学建模 漏斗中水流出的时间问题漏斗中水流出的时间问题 探究容器内水的流出时间与水流量的关系，有助于现实生活中人们利用时间来控制水库水流量，以达到有计划的放水供应城市用水。接下来我们就来探究一下漏斗中水流出的时间问题。 一、模型假设 1、 水在漏斗底端小孔流出时，由于水属于非粘性液体，从流体力学的观点看，可忽略出水口对水的张力，故在出水口的水的运动可看作有初速度的自由下落。 2、 设漏斗的顶部大圆半径为R，底出口孔圆半径为r，漏斗高H，重力加速度为g=9.8ms；在漏水过程中漏斗中轴线竖直并且静止。 2二、模型建立 要求漏斗中的水流完所需要的时间，得先求出出水口的水流速度，在流出的瞬间，由于重
2、力势能的作用，瞬时将重力势能转化为动能，假设漏斗底端离水平面高度为S，当Dt时间内水位下降了Dh时，由动能定理得 12mgS+(H-Dh)=mgS+mv 2所以水流出的初速度为v=2g(H-Dh) 在水位下降Dh时，此时漏斗的水平面圆半径为r，则在这Dt时间内，漏斗中水减少的体积为 p32RC1=RL-p3r(L-Dh)，其中2DhrL为补充圆锥后的高，LL-Dh=RrL=DhRR-r L所以C1=p3(R2+Rr+r)Dh 2又在出水口流出的体积为C2=prDl，因为C1=C2 所以p3(R222+Rr+r)Dh=prDl 2式子左右同时除以Dt得p(R+Rr+r)Dh3DtDlDt222=
3、prDlDt2当Dt0时DhDt=htht，而=lt=v，所以式子进一步得到 p3(R2+Rr+r)2=pr2g(H-Dh) RDhr(R+Rr+r)(H-Dh)DhHR-rR-r222h=32grt H又=r=R-Dh(R-r)Hr所以式子化为 223R(R-r)Dh(R-r)Dh2+3R-2HH(H-Dh)12h=32grt 令(H-Dh)=kDh=H-k 2222213R(R-r)(H-k)(R-r)(H-k)2+所以3R-2kHH22(H-k)=32grt 222213R(R-r)(H-k)(R-r)(H-k)23R-+2kHH2(-2k)k=32grt 22223R(R-r)(H-k
4、)(R-r)(H-k)2-23R-+2HH2k=32grt 222242(R+Rr-2r)k(R-r)k2-2(R+Rr+r)+2HH2k=32grt 三、结果分析 H00H(H-Dh)=kDhk所以式子两边同时积分 0H222242(R+Rr-2r)k(R-r)k2-2(R+Rr+r)+2HHk=0T032grt 2223252(R+Rr-2r)k(R-r)k2-2(R+Rr+r)k+23H5H=32grt 0H2T46R+28Rr+16r1522H=32grT 2T=46R+28Rr+16r452gr222H 、当R=r时，T=2Hg，此时做的是自由落体运动； 、当r0时，T=+，即是水永远流不出来。
