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1、数学物理方程考点集合5月22日一分离变量法 uu-a2uxx=0(0x0)u(x,0)=j(x),u(x,0)=y(x) u(0,t)=0,u(l,t)=0x令u(x,t)=X(x)T(t), 代入得： T+laT=0X+lX=0 X(0)=0,X(l)=01 当l0,X(x)=0,u(0,t)0,排除。 22 l0，X(x)=C1cos而X(x)=-lC1sinlx+C2sinlx+lxlx,lC2cos则: C2=0,C1cos得ll+C2sinC2=0,C1cos(2n+1)p2lll=0 ll=0,而C1不能为0，则：C1cos2ll=0,l=(2n+1)p(n=0,1,2,.),l=
2、,得到：2l(2n+1)p2lx。Xn(x)=C1cosTn+3(2n+1)pa4l2222Tn=0(2n+1)pat+Bnsin(2n+1)pa其通解为：Tn(t)=Ancos于是得到：un(x,t)=Ancos2l(2n+1)pa2lt+Bnsin2l(2n+1)pa2lt(2n+1)p2ltcos x，4u(x,t)=(2n+1)pa(2n+1)pa(2n+1)pAcost+Bsintcosx, nn2l2l2ln=0(2n+1)pAcosx=j(x),(0xl)n2ln=05 (2n+1)pa(2n+1)p(Bcosx=y(x),(0xl)n2l2ln=0(2n+1)px在区间上的正交
3、性得： 由函数系cos2ln=02l(2n+1)pAn=j(x)cosxdx， l02ll4(2n+1)pBn=y(x)cosxdx 0(2n+1)pa2luu-a2uxx=0(0x0)第二类：u(x,0)=j(x),ut(x,0)=y(x) u(0,t)=0,u(l,t)=0xx令u(x,t)=X(x)T(t), 代入得： T+laT=0X+lX=0 X(0)=0,X(l)=02 1 l0l, 4u(x,t)=A0+5B+0A0=B0=1l1(2n+1)pa(2n+1)pa(2n+1)pAcost+Bsintcosx, nn2l2l2ln=0 npanpBncosx=y(x),(0xl)ll
4、2lnpAcosx=j(x),(0xl)nln=0n=0由傅立叶展开系数得： l0lj(x)dx，An=l0j(x)coslnplxdx， nplxdx l0y(x)dx，Bn=npa20y(x)cosuu-a2uxx=0(0x0)第三类：u(x,0)=j(x),u(x,0)=y(x) u(0,t)=0,u(l,t)=0x令u(x,t)=X(x)T(t), 代入得： T+laT=0X+lX=0 X(0)=0,X(l)=02当l0,X(x)=0,u(0,t)0,排除。 l0，X(x)=C1cos而X(x)=-lC1sinlx+C2sinlxlx,lx+lC2cos则: C2=0,C1cosll+
5、C2sinll=0 2 C2=0,C1cosll=0,而C1不能为0，则：C1cos2ll=0,得l=(2n+1)p2l(2n+1)p(n=0,1,2,.),l=,得到：2l(2n+1)p2lx。Xn(x)=C1cosTn+(2n+1)pa4l2222Tn=0(2n+1)pa2l(2n+1)pa2l其通解为：Tn(t)=Ancos于是得到：un(x,t)=Ancost+Bnsint+Bnsin(2n+1)pa2lt(2n+1)pa(2n+1)p tcosx，2l2lu(x,t)=(2n+1)pa(2n+1)pa(2n+1)pAcost+Bsintcosx, nn2l2l2ln=0(2n+1)p
6、Acosx=j(x),(0xl)n2ln=0 (2n+1)pa(2n+1)p(Bcosx=y(x),(0xl)n2l2ln=0(2n+1)p由函数系cosx在区间上的正交性得： 2ln=02l(2n+1)pAn=j(x)cosxdx， 0l2ll4(2n+1)pBn=y(x)cosxdx (2n+1)pa02l有限长杆上的热传导 2u2u=a,0x02txu(l,t)+hu(l,t)=0.t0 u(0,t)=0,xu(x,0)=j(x),0xlu(x,t)=X(x)T(t)，代入得到X(x)T(t)=aX(x)T(t)2X(x)T(t)2即：=2=-l,T(t)+laT(t)=0,X(x)+l
7、X(x)=0X(x)aT(t)(l,t)u(0,t)=X(0)T(0)=0，+hu(l,t)=X(l)T(t)+hX(l)T(t)=0x 3 所以：X(0)=0,X(l)+hX(L)=0下面分析可得到：1.l=0时，X(x)=0,X(x)=c+dx,X(0)=c=0,X(x)=dx,X(x)=d,X(l)+hX(l)=d+hdl=0,因为hl0,所以d=0.于是c=d=0。2.l0时，X(x)=cosX(x)=dsin也就是tan-ll-de-l,-ll+(hd-d-l)e-=0lx+dsinll+llhllx,x(0)=c=0,ll)=0,hsin1hllx,d(hsinll=-lh=-lc
8、os,舍ll+lcosll=0,ll=u,-=a,得到tanu=au,令y=tanu,y=au,ll=un,(n=1,2,3,),则：l=(Xn(x)=DnsinTn(t)+(unl),(n=1,2,3,),2unlx,(n=1,2,3,),-(unalunal)Tn(t)=0,(n=1,2,3,),Tn(t)=Ane2)t2,(n=1,2,3,),un(x,t)=n=1Xn(x)Tn(t)=n=1Dne-(unal)t2sinunlx,(n=1,2,3,),j=ln=1Dnsinunlx,又sin0lunllxsinunlxdx=0(mn),l令sin0unlxdx=ln(m=n),sin0
9、unlxj(x)dx=Dnsinn=10unlxsinunlxdx=DKlk则:Cn=1lnl0j(x)sinunlxdx。 圆域内的拉普拉斯方程： 一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数 f (x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布 22uu222+=0,x+ya22yxu|x2+y2=a2=f(x,y), x=rcosqy=rsinq 4 21u1u(r)+=0,0ra,0q2p22rrrrqu(a,q)=f(q), u(r,q)=u(r,q+2p),u(0,q)+u(r,q)=R(r)F(q),代入得:RF+2RFrR2+1r2RF=0,FF.即rR+rR=-所
10、以:rR+rR-lR=0,F+lF=0.又因为:|R(0)|+,F(q+2p)=F(q).现在分析:1.l0,令l=x,x=li,F(q)=cod2lq+dsinlq,因为：F(q+2p)=F(q),所以：l=n,n=1,2,又由Fn(q)=c,l=0,则：ln=n,n=1,2,3,Fn(q)=cncosq+dnsinq,n=1,2,3,当n=0时，有:rR0(r)+rR0(r)=0,且|R0(0)|+,舍r=e,则t=lnr,R0(r)=代入得到：dR0dtk2t22dR0dr=1dR0rdt,R0(r)=1r2(dR0dt2-dR0dr),=0,R上积分,得到:1P-1m(x)(1-x)P
11、n(x)dx-121P-1n(x)(1-x)Pm(x)dx= 2m(m+1)-n(n+1)Pm(x)Pn(x)dx-1左边=(1-x)Pm(x)Pn(x)-Pn(x)Pm(x)|-1=0211所以m(m+1)-n(n+1)Pm(x)Pn(x)dx=0-11又因为nm,所以：Pm(x)Pn(x)dx=0-12.归一性 10 当m=n时,11.n=0时,P20(x)dx=2,-112.n=1时，P21(x)dx=2,-1313.假设n=m时，P2x)dx=2n(成立，则：-12n+11P2m(x)dx=2-12m+1;11(m+1)P2m+1(x)dx=(2m+1)Pm(x)-mPm-1(x)Pm
12、+1(x)dx-1-111=(2m+1)Pm+1(x)Pm(x)dx-mPm-1(x)Pm+1(x)dx;-1-1用n=m+1代换，用Pm+1代入得：原式=2m+112m+3-1(m+2)Pm+2(x)+(m+1)Pm(x)Pm(x)dx =+3=2(m+1)2(m+1)+1,得证。2mdxxJ1(x)=xJ0(x),ddxJ0(x)=-J1(x).五贝塞尔函数的正交性和归一性 1.正交性 (n)n)Jm1m(2m(n)(n)3mn(Rr),Jn(Rr),Jn(Rr),.,Jn(mRr)在上关于权函数R(n)(n)0,当mrJmmkn(=0Rr)Jn(mRr)drk时2R2J2n+1(m(n)
13、当m=k时m),由r2P(r)+rP(r)+(lr2-n2)P(r)=0,两边除以r得到：rP(r)+P(r)+(lr-n2r)P(r)=0,将上面两式合写可得到：dr)2dr(rdP(dr)+(lr-nr)P(r)=0,通解为AnJn(r)+BnYn(r). 11 r正交，即：因为n阶贝塞尔函数时相应贝塞尔方程的特解，所以：(n)(n)(n)2mmmmmmddn2Jn(r)+r-r)=0, (1) rJn(drdrRRrR(n)(n)2mk(n)2mkmkddnJn(r)+r-r)=0,(2)rJn(drdrRRrR(1)xJn(mk(n)Rr)-(2)xJn(Rmm(n)Rr),并对差从0
14、到R积分得到：(n)(n)(n)(n)mmmk2mmmk2只有0解，则原方程有唯一解22 。u22u2t建立能量不等式：+a(x)dxe(yWtW0u22u2即：+adx0,txWt左边=0，即：+a(22+ajx)dx+2Ktfdxdt,2ux)=0，2u|t=0=0,所以u=0=0，所以u为常数。又七GRONWALL不等式的证明 非负函数G(t)在0,t上连续可微，满足：dG(t)dtG(0)=0,对t0,T,1c(ectcG(t)+F(t),则G(t)-1)F(t) 13 证明：et-ctdG(t)dt-ct-cedtt-ctG(t)e-ct-ctF(t),两边积分得：0deG(t)td
15、t-cte0-ctF(t)dteG(t)|0te0F(t)dtte-ctG(t)-et-c0G(0)e0-ctF(t)dtte-ctG(t)e0-ctF(t)dtF(t)e0-ctdttF(t)e0-ctdt=F(t)(ct1c-1ce-ct),两边同乘ect,得：e-ctG(t)e1cect(1-e-ct)F(t)，1ctGF(t)，得证。c三位波动方程的泊松公u(M,t)=14pat式：dS+14paMSatj0atSatMj1atdS.勒让德多项式： ddy2(1-x)+n(n+1)y=0dxdx贝塞尔多项式：rP(r)+rP(r)+(lr-n)P(r)=0222能量不等式：u22u2t+a(x)dxe(yWtW02+ajx)dx+22Ktfdxdt2达朗贝尔公式：u(x,t)=12j(x+at)+j(x-at)+12ax+aty(h)dhx-at 14
