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1、数学重要结论高考数学常用结论集锦 1.德摩根公式 CU(AIB)=CUAUCUB;CU(AUB)=CUAICUB. 2AIB=AAUB=BABCUBCUAAICUB=FCUAUB=R nnn3. 若=a1,a2,a3Kan,则的子集有2个,真子集有(21)个,非空真子集有(22)个 4.二次函数的解析式的三种形式 一般式f(x)=a2x+b+x(ca0;) 顶点式 f(x)=a(x-h)2+k(a0);零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). 三次函数的解析式的三种形式一般式零点式5.设x1x2a,b,x1x2那么 (x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)=ax3+bx2+c
2、x+d(a0) f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a0) f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是增函数； x1-x2f(x1)-f(x2)(x1-x2)f(x1)-f(x2)00，则f(x)为增函数；如果f(x)0,a1,N0)logaM+logaN=logaMN(a0.a1,M0,N0) M(a0.a1,M0,N0) logaM-logaN=logaNlogmNnn10.对数的换底公式 logaN=.推论 logmb=logab. alogmam对数恒等式a=N n=1s1,11.an=( 数列an的前n项的和为sn=a1+a2+L+an). s-s,n2nn-1log
3、aNan的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(nN*)； 13.等差数列an的变通项公式an=am+(n-m)d 对于等差数列an，若n+m=p+q，(m,n,p,q为正整数)则an+am=ap+aq。 *14.若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数12.等差数列列。如下图所示： S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 14442444314424431442443Sk其前n项和公式 snS2k-SkS3k-S2kn(a1+an)n(n
4、-1)d1=na1+d=n2+(a1-d)n. 2222215.数列an是等差数列an=kn+b,数列an是等差数列Sn=An+Bn 16设数列an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，则有如下性质： = 前n项的和Sn=S奇+S偶 nd，其中d为公差； 2S奇n+1n+1n-1，=a中，S偶=a中，S偶n-122 当n为偶数时，S偶-S奇=当n为奇数时，则S奇-S偶=a中，S奇=S+S偶Sn。 =奇=nS奇-S偶S奇-S偶17若等差数列则an的前2n-1项的和为S2n-1，等差数列bn的前2n-1项的和为S2n-1， anS2n-1。 =bnS2n-118.等比
5、数列等比数列an的通项公式an=a1qn-1=a1qn(nN*)； qan的变通项公式an=amqn-m a1(1-qn)a1-anq,q1,q1s=1-q其前n项的和公式n1-q或sn=. na,q=1na,q=11119. 对于等比数列an，若n+m=u+v(n,m,u,v为正整数)，则anam=auav 也就是：a1ana1an54444644447a,a2,a3,L,an-2,an-1,an =a2an-1=a3an-2=LL。如图所示：1144424443a2an-120. 数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列。如下图所示：
6、 S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 14442444314424431442443Sk21. 同角三角函数的基本关系式 sin. 1+tan22S2k-SkS3k-S2kq+cos2q=1，tanq=sinqcosq，tanqcotq=1 a=1cos2a22. 正弦、余弦的诱导公式 nnp(-1)2sina,n为偶数sin(+a)= n-12(-1)2cosa,n为奇数nnp(-1)2cosa,n为偶数+a)= cos(n+12(-1)2sina,n为奇数cos(a+)=-cosa,sin(a+)
7、=sina即:奇变偶不变,符号看象限,如22sin(p-a)=sina,cos(p-a)=-cosa23. 和角与差角公式 ppsin(ab)=sinacosbcosasinb; cos(ab)=cosacosbmsinasinb; tanatanb. tan(ab)=1mtanatanbsin(a+b)sin(a-b)=sin2a-sin2b(平方正弦公式); cos(a+b)cos(a-b)=cos2a-sin2b. asina+bcosa=a2+b2sin(a+j)(辅助角j所在象限由点(a,b)的象限决定,tanj=24. 二倍角公式 sin2ab ). a=sinacosa. cos
8、2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a. 1+cos2a1-cos2a cos2a=,sin2a=222tana. tan2a=1-tan2a1-tan2a2tana25.万能公式:sin2a=, cos2a= 221+tana1+tanaasina1-cosa26.半角公式:tan =21+cosasina27. 三函数的周期公式 函数y=Asin(wx+j)，xR及函数y=Acos(wx+j)，xR(A,j为常数，且A0，0)的2p2p周期T=；若未说明大于0,则T= |w|wy=tan(wx+j)，xkp+函数p2,kZ(A,j为常数，且A0，0)的周期T=pw
9、. ppy=sinx的单调递增区间为2kp-,2kp+kZ单调递减区间为 22p3pp2kp+,2kp+kZ，对称轴为x=kp+(kZ),对称中心为(kp,0)(kZ) 22229. y=cosx的单调递增区间为2kp-p,2kpkZ单调递减区间为2kp,2kp+pkZ， 28. 对称轴为xp=kp(kZ),对称中心为kp+,0(kZ) 2ppky=tanx的单调递增区间为kp-,kp+kZ，对称中心为(p,0)(kZ) 222abc31. 正弦定理 =2R sinAsinBsinC22222222232. 余弦定理a=b+c-2bccosA;b=c+a-2cacosB; c=a+b-2abc
10、osC. 11133.面积定理S=aha=bhb=chc. 222111S=absinC=bcsinA=casinB. 222uuuruuuruuuruuur2uuuruuur21uuuruuur1(3)SDOAB=(|OA|OB|)-(OAOB)=OAgOBtanq(q为OA,OB的夹角) 2230. 34.三角形内角和定理 在ABC中，有 A+B+C=pC=p-(A+B)35.平面两点间的距离公式 CpA+B2C=2p-2(A+B). =-222(A(x1,y1)，B(x2,y2). uuuruuuruuur=(x2-x1)2+(y2-y1)2|AB|=ABABdA,B=36.向量的平行与
11、垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 abb=a x1y2-x2y1=0. x1x2+y1y2=0. ab(a0)ab=0P12的分点,l是实数，且1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PPuuuruuurPP=lPP2，则 1x1+lx2uuuruuurx=uuuruuuruuuruuurOP11+l1+lOP2OP=tOP+(1-t)OPOP=. t=12y+ly1+l1+l2y=11+luuuruuuruuur38.若OA=xOB+yOB则A,B,C共线的充要条件是x+y=1 39. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)
12、、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABCx1+x2+x3y1+y2+y3的重心的坐标是G(,). 33uuuruuuruuurx=x+hx=x-hOP=OP+PP (图形F上的任意一点P(x，y)在40.点的平移公式 y=y+ky=y-kuuur平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k). 37.线段的定比分公式 设41.常用不等式： a2+b22ab(当且仅当ab时取“=”号) a+b+a,bRab(当且仅当ab时取“=”号) 2333a+b+c3abc(a0,b0,c0). a-ba+ba+b注意等号成立的条件 a,bRa+ba2+b2ab(a0,b0) (5)1
13、122+ab42.极值定理 已知x,y都是正数，则有 1p，那么当x=y时和x+y有最小值2p； 12如果和x+y是定值s，那么当x=y时积xy有最大值s. 422243.一元二次不等式ax+bx+c0(或0)，如果a与ax+bx+c同2号，则其解集在两根之外；如果a与ax+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，如果积xy是定值异号两根之间. x1xx2(x-x1)(x-x2)0(x1x2)； xx2(x-x1)(x-x2)0(x1 0时，有 xax2a-axax2a2xa或xg(x)g(x)0 f(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或. g(x)g(
14、x)2f(x)0f(x)0. f(x)1时, af(x)ag(x)f(x)0f(x)g(x); logaf(x)logag(x)g(x)0. f(x)g(x)(2)当0aag(x)f(x)0f(x)logag(x)g(x)0 f(x)b0)的参数方程是. y=bsinqabx2y2a2a2)，PF2=e(-x). 56.椭圆2+2=1(ab0)焦半径公式 PF1=e(x+abccx2y2a2x2y256.椭圆2+2=1(ab0)的准线方程为x=,椭圆2+2=1(ab0)的准线方程为abcbaa2y= cx2y22b257.椭圆2+2=1(ab0)的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为 abax
15、2y258.P是椭圆2+2=1(ab0)上一点,F1,F2 是它的两个焦点,F1P F2=ab则P F1 F2的面积=b2tanq2x2y2a259.双曲线2-2=1(a0,b0)的准线方程为x= abcx2y2a2双曲线2-2=1(a0,b0)的准线方程为y= bacx2y2b60. 双曲线2-2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x abax2y2a双曲线2-2=1(a0,b0)的的渐近线方程为y=x babx2y261.P是双曲线2-2=1(a0,b0)上一点,F1,F2 是它的两个焦点,F1P F2=ab则P F1 F2的面积=b2cotq22yo2,yo)或P(2pt2,2pt)或
16、P(xo,yo)，其中 yo2=2pxo. 62.抛物线y=2px上的动点可设为P(2pp263. P(x0,y0)是抛物线y=2px上的一点,F是它的焦点,则|PF|=x0+ 22p264. 抛物线y=2px的焦点弦长l=,其中q是焦点弦与x轴的夹角 sin2q65.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2或 |AB|=|x1-x2|1+k2=消去y得到ax2D1+k2|a|. y=kx+b2若.则|AB|=|y1-y2|1+uuururABmurrur(m为平面a的法向量). 70.直线AB与平面所成角b=arcsinuuu|AB|m|(b1,b2,b3)）.
17、 urrurrurrmnmnurrurr 71.二面角a-l-b的平面角q=arccos或p-arccos. 72.设AC是内的任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为q1，AB与AC所成的角为q2，AO与AC所成的角为q则cosq=cosq1cosq2. 73.若夹在平面角为j的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是q1,q2,与二面角的棱所成的角是，则有sin2jsin2q=sin2q1+sin2q2-2sinq1sinq2cosj ; |q1-q2|j180o-(q1+q2)(当且仅当q=90o时等号成立). 74.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，
18、B(x2,y2,z2)，则 uuuruuuruuur222 dA,B=|AB|=ABAB=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1). uuur12275.点Q到直线l距离h=(|a|b|)-(ab)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量|a|uuurb=PQ). uuuruurr|CDn|r76.异面直线间的距离 d=(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，|n|d为l1,l2间的距离). uuuruur|ABn|rr77.点B到平面a的距离 d=. |n|78. l22=l12+l2+l32cos2q1+cos2q2+cos2q3=1 . S
19、79. 面积射影定理 S=cosq(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为q). 80.球的半径是R，则其体积是V81.V锥4=pR3,其表面积是S=4pR2 31=Sh,V柱=Sh, 3=m1+m2+L+mn. 82.分类计数原理N83.分步计数原理N=m1m2Lmn. n！m84.排列数公式 An=n(n-1)L(n-m+1)=.(n，mN，且mn) (n-m)！nmm-1mm-1mm85.排列恒等式 An=(n-m+1)An;An=An-1;An=nAn-1; n-mnn+1nmmm-1nAn=An. +1-An;An+1=An+mAn*86.组合数公式 Cm
20、n=Anmn(n-1)L(n-m+1)n！=(n，mN，且mn). mAmm！(n-m)！12Lm* 87.组合数的两个性质(1) Cn=Cn 88.组合恒等式Cnmmn-m ;(2) Cn+Cnmm-1=Cn+1 m=n-m+1m-1nmmCn;Cn=Cn-1; mn-mCnnm=rnnm-1kk-1=nCnCn-1; kCn-1 m=2;Crnrrr+1+Crr+1+Crr+2+L+Cn=Cn+1. mm=m！Cn . Cr=089.排列数与组合数的关系是：An90.二项式定理 (a+b)n0n1n-12n-22rn-rrnn=Cna+Cnab+Cnab+L+Cnab+L+Cnb ; rn
21、-rr=Cnab(r=0，1，2L，n). m91.等可能性事件的概率P(A)=. n二项展开式的通项公式：Tr+192.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A)P(B) 93.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) 94.独立事件A，B同时发生的概率P(AB)= P(A)P(B). 95.n个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 96.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)97.函数kk=CnP(1-P)n-k. y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x
22、0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是y-y0=f(x0)(x-x0). f(x)0与f(x)为增函数的关系。 f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增，但f(x)0，f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。 f(x)0与f(x)为增函数的关系。 f(x)为增函数，一定可以推出f(x)0，但反之不一定，因为f(x)0，即为f(x)0或f(x)=0。当函数在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件。 99.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 98.导数与函
23、数的单调性的关系 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)正比例函数f(x)=kx(k0) xf(x1+x2)=f(x1)f(x2)；f(x1-x2)=f(x1)f(x2)f(x)=a x1)=f(x1)-f(x2)f(x)=logax ； f(x1x2)=f(x1)+f(x2)；f(x21100.n个数据x1,x2,x3Kxn,则它们的平均数为x=(x1+x2+x3+K+xn), n212222方差s=(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)+K+(xn-x) n 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. (2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.
