数学百大经典例题算术平均数与几何平均数.docx

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1、数学百大经典例题算术平均数与几何平均数 你的首选资源互助社区 典型例题一 例1 已知a,b,cR，求证a2+b2+c2ab+bc+ca. 证明： a2+b22ab， b2+c22bc， c2+a22ca， 三式相加，得 2(a+b+c)2(ab+bc+ca)，即a+b+cab+bc+ca. 222222说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握 典型例题二 例2 已知a、b、c是互不相等的正数， 求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc 证明：b2+c22bc，a0， a(b2+c2)2abc 同理可得：b(a2+c2)2abc，c(a2+b2)2abc 三个同向不等式相

2、加，得 a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)6abc 222222说明：此题中a、b、c互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立特别地，a=b，bc时，所得不等式仍不取等号 典型例题三 例3 求证a2+b2+b+c+22c+a222(a+b+c) 22分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式a+b2ab，并能由2(a+b+c)这一特征，思索如何将a+b2ab进行变形，进行创造” 证明：a+b2ab， 两边同加a+b得2(a+b)(a+b) 22222222222即a+b(a+b)22 你的首选资源互助社区 a2+b212a+b22(a+b) 同理可得：b2+c22222(b+c)， c

3、+a22(c+a) 三式相加即得a2+b2+b+c+22c+a222(a+b+c) 典型例题四 例4 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 解：a,bR+， ab=a+b+32ab+3，令y=y3，或y-1 y2=ab9， ab的取值范围是9,+). 说明：本题的常见错误有二一是没有舍去y-1；二是忘了还原，得出ab3,+)前者和后者的问题根源都是对ab的理解，前者忽视了ab0.后者错误地将y2视为ab 因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之 ab，得y-2y-30， 2典型例题五 例5 求y=6x+1x+4222的最大值 的最小值，并求

4、出取得最小值时的x值 22求函数y=x+4x+12若x0,y0，且x+y=2，求x+y的最小值 6x+1x+422解：y=6x+1(x+1)+322=26x+1+3x+12623=3. 即y的最大值为3. 你的首选资源互助社区 当且仅当x+1=4x+1223x+12时，即x2=2 x=2时，取得此最大值 4x+14x+122y=x2+=x+1+2-1224-1=3 y的最小值为3，当且仅当值 222=x+1，即(x+1)=4，x+1=2，x=1时取得此最小 x+y2xy 2(x+y)(x+y)即x+yx+y=2 x2+y22 即x2+y2的最小值为2 当且仅当x=y=4时取得此最小值 2222

5、222(x+y)22说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件 典型例题六 例6 求函数y=1-2x-3x的最值 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件如：x0，应分别对x0,x0时，2x0,3x0，又2x当且仅当2x=，即x=62时，函数2x+有最小值26. ymax=1-26. 当x0,-3x3x0，又(-2x)(-3x)=6， 3x当且仅当-2x=-，即x=+62时，函数-(2x+)最小值26. ymin=1+26. 典型例题七 你的首选资源互助社区 例7 求函数y=x+10x+922的最值 分析：y=(x+9)+1x+922=x+9+21x

6、+922 1x但等号成立时x2=-8，这是矛盾的！于是我们运用函数y=x+函数y=t+(t3)的最值 t1在x1时单调递增这一性质，求解：设t=2x+93， =t+1t2y=x+10x+92 1t13当t3时，函数y=t+故原函数的最小值为3+递增 =103，无最大值 典型例题八 例8 求函数y=x+5x+422的最小值 1t1t分析：用换元法，设t=x+42，原函数变形为y=t+(t2)，再利用函数y=t+(t2)的2单调性可得结果或用函数方程思想求解 解：解法一： 设t=x+42，故y=2x+5x+422=t+1t(t2). 设t2t12，y1-y2=(t1-t2)+(1t1-1t2)=(

7、t1-t2)t1t2-1t1t2 由t1-t22，得：t1t2-10，故：y1ab，不能直接求最大值，可以利用恒等变形2(a-b)+4ab，当a-b之差最小时，再求原函数的最大值 典型例题九 11例9 a0,b0,a+b=4,求a+b+的最小值 ab22分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值 解：由a+b=4,，得a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab. 又a2+b22ab,得16-2ab2ab，即ab4 11a+b+ab2211a+b+ab2222=44+ab4244+422=252. 2511故a+b+的最小值是 2ab说明：本题易出现如下错解： 1111a+b+

8、2a+2babab222211=4+4=8，故a+b+的最小值是8 ab22错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有a=1和b=1，但在a+b=4的条件下，这两个式子不会同时取等号排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾 典型例题十 例10 已知：a,b,cR，求证：+bca+acb+abca+b+c 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明 证明：bca+acb2abcab2=2c,即bca+acb2c. 你的首选资源互助社区 同理：bca+abc2b,acb+abc2a acabbc2+2(a+b+c). bcabca+acb+abca+b+c. 说明：证明本题易出现的

9、思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式a+b2ab的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性 典型例题十一 例11设a、b、c、d、eR，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值 分析：如何将a2+b2与a+b用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键算术平均数与几何平均数定理a2+b22ab两边同加a2+b2之后得a+b解：由a+ba+b+c+d16-e22222222212(a+b) 212(a+b

10、)，则有 1222(a+b)+(c+d)165165. . 2214(a+b+c+d), 214(8-e)0e65时，e最大值当a=b=c=d=说明：常有以下错解： 16-e2=a2+b+c+d2222(ab+cd)4abcd， 8-e=a+b+c+d44abcd 故(16-e)4222abcd,(8-e422)abcd 4两式相除且开方得16-e(8-e)410e165 错因是两不等式相除，如21,1不等式a+b2212，相除则有22 12(a+b)是解决从“和”到“积”的形式从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222 你的首选资源互助社区 a+b12(a+b)或2a2+b2212(a+b

11、) 典型例题十二 例12 已知：xy0，且：xy=1，求证：x2+y2x-y22，并且求等号成立的条件 分析：由已知条件x，yR+，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有x-y，无法利用xy，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现(x-y)+x+y21(x-y)型，再行论证 证明：Qxy0,x-y0.x+yx-y22又Qxy=1, =(x-y)+2xyx-y2=(x-y)+2x-y2(x-y)2(x-y)=22. 等号成立，当且仅当(x-y)=2(x-y)2时 (x-y)=2,x-y=22,x+y2=4. Qxy=1,(x+y)=6, x+y=6. 2由以上得x=6+222,y=6-2

12、22即当x=6+2,y=6-2时等号成立 说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式要注意灵活运用均值不等式 典型例题十三 你的首选资源互助社区 例13 已知x0，y0，且x+2y+xy=30，求xy的最大值 分析：由x+2y+xy=30，可得，y=30x-x2+x230-x2+x，(0x30) 2故xy=(0x30)，令t=30x-x2+x 利用判别式法可求得t的最大值，但因为x有范围0x30的限制，还必须综合韦达定理展开讨论仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求

13、解 解法一：由x+2y+xy=30，可得，y=30x-x2+x2230-x2+x(0x0，b0，c0， 2bca，即1-aa1c2bca2abc 同理-12cab，-1， 111-1-1-18 abc当且仅当a=b=c=13时，等号成立 说明：本题巧妙利用a+b+c=1的条件，同时要注意此不等式是关于a、b、c的轮换式 典型例题十五 例15 设a、b、cR+，求证：a2+b2+b+c22+c+a222(a+b+c) 222222分析：本题的难点在于a+b、b+c、c+a不易处理，如能找出a2+b2与a+b之间的关系，问题可得到解决，注意到： a+b222ab2(a+b)(a+b)2222(a+

14、b)a+b， 22则容易得到证明 证明：Qa2+b22ab，2(a2+b2)a2+b2+2ab(a+b)2， 2222于是a+b22a+b= (a+b)同理：b+c2222(b+c)，c+a22222(c+a) 三式相加即得：a2+b2+b+c22+c+a22(a+b+c) 说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于a、b、c的轮换式因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性 典型例题十六 例16 已知：a、bR a2+求证：+b22a+b2a+2b2ab21a+1b 你的首选资源互助社区 分析：要证明的这一串不等式非常重要，a+b222称为平方根，a+b2称为

15、算术平均数，ab称为几何平均数，21a+1b称为调和平均数 证明：2a+b222222a+b12- =(a-b)0422a+b22a+b 2Qa、bR a2+b22a+b2，当且仅当“a=b”时等号成立 2Qa+b2-a+2a+22b1=(a-42 b)02a+b2QQb，等号成立条件是“a=b” ab=14(a-a+2a+2ab-b-b21a+1b=2 b)0，2ab，等号成立条件是“a=b” 2aba+b(a+b)ab-2aba+bab-= =ab(a+b-2ab)a+b=ab(a-a+bb)20 ab21a+1b，等号成立条件是“a=b” 说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有

16、利于处理某些复杂不等式的证明问题本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法 典型例题十七 你的首选资源互助社区 例17 设实数a1，b1，c1，a2，b2，c2满足a1a20，a1c1b1，a2c2b2，求证2(a1+a2)(c1+c2)(b1+b2) 22分析：由条件可得到a1，a2，c1， c2同号为方便，不妨都设为正将求证式子的左边展开后可看出有交叉项a1c2和a2c1无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证 证明：Qa1a20,a1,a2同号 同理，由a1c1b1，a2c2b2知a1与c1同号，a2与c2同号 a1，c1，a2，c

17、2同号不妨都设为正 (a1+a2)(c1+c2)=a1c1+a2c2+a1c2+a2c1 22b1+b2+2a1c2a2c1 =b1+b2+2a1c1a2c2 b1+b2+2b1b2 =b1+b2+2|b1b2| b1+b2+2b1b2=(b1+b2)， 2222222222222即(a1+a2)(c1+c2)(b1+b2) 说明：本题是根据题意分析得a1，c1，a2，c2同号，然后利用均值不等式变形得证换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法 实际上，由条件可知a1，c1，a2，c2为同号，不妨设同为正又a1c1b1，a2c2b2，4a1c14b1，4

18、a2c24b2 22222不等式a1x+2b1x+c10，a2x+2b2x+c20对任意实数x恒成立，两式相加得(a1+a2)x+2(b1+b2)x+(c1+c2)0，它对任意实数x恒成立同上可得：(a1+a2)(c1+c2)(b1+b2) 2222典型例题十八 例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱 你的首选资源互助社区 笆围成，篱笆总长为36m问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？ 分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x，y，即求xy的最大值注意条件4x+6y=36的利用 解：设每间羊圈的长、宽分别为x，y，则有4x+6y=36，即2x

19、+3y=18设S=xy Q18=2x+3y22x3y=26xy, xy272,即S272上式当且仅当2x=3y时取“” 9x=,2 y=3.922x=3y,此时2x=3y=18,羊圈长、宽分别为m，3m时面积最大 说明：(1)首先应设出变量，将题中条件数学化才能利用数学知识求解；(2)注意在条件2x+3y=18之下求积xy的最大值的方法：直接用不等式18=2x+3y22x3y，即可出现积xy当然，也可用“减少变量”的方法：12x+18-2xy=(18-2x)S=xy=x(18-2x)=2x(18-2x)336622x=18-2x时取“=” 1112，当且仅当典型例题十九 例19 某单位建造一间

20、地面面积为12m的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m，房屋侧面的造价为800 元/m2，屋顶的造价为5800元如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系从已知条件看，矩形地面面积为12m2，但长和宽不知道，故考虑设宽为xm，则长为函数关系了 解：设矩形地面的正面宽为xm，则长为y=3x1200+312x8002+5800 12x12x22m，再设总造价为y由题意就可以建立m；设房屋的总造价为y根据题意，可得： 你的首选资源互助社区 =3600x+57600x+58

21、00 =3600(x+16x)+580036002x16x+5800 =28800+5800=34600(元) 当x=16x，即x=4时，y有最小值34600元 因此，当矩形地面宽为4m时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元 说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立 典型例题二十 例20 某单位决定投资3200元建一仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45

22、元，顶部每1m2造价20元计算： (1)仓库底面积的最大允许值是多少？ (2)为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系 解：设铁栅长为xm，一堵砖墙长为ym，则有S=xy. 由题意得40x+245y+20xy=3200.应用算术平均数与几何平均数定理，得 3200240x90y+20xy=120=120xy+20xyS+20S,(*) S+6S160, 即：(S-10)(S-10)0. QS+160,S-100, 从而：S100. 2因此S的最大允许值是100m，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=1

23、00，由此求得x=15，即铁栅的长应是15m 说明：本题也可将y=Sx代入式，导出关于x的二次方程，利用判别式法求解 典型例题二十一 你的首选资源互助社区 例21 甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元 把全程运输成本y元表示为速度vkm/h的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：这是XX年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质的应用也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀

24、试题 解：依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h，全程运输成本为 vy=asv+bv2ssv=s(aav+bv) 故所求函数为y=s(+bv)，定义域为v(0，c) b由于s、a、b、v都为正数， 故有s(avav+bv)s2abbv， 即s(+bv)2sab av当且仅当=bv，即v=ab时上式中等号成立 若ababc时，则v=ab时，全程运输成本y最小； 当c，易证0vc，函数y=f(v)=s(av+bv)单调递减，即v=c时，ymin=s(ac+bc) 综上可知，为使全程运输成本y最小， 在ababc时，行驶速度应为v=ab； 在 c时，行驶速度应为v=c 你的首选资源互助社区