数学百大经典例题棱锥.docx

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1、数学百大经典例题棱锥 你的首选资源互助社区 典型例题一 例1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为60，求：棱锥的高；斜高；侧棱长；侧棱与底面所成角 分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置中，由已知量求未知量 解：正六棱锥的底面周长为24 正六棱锥的底面边长为4 在正棱锥S-ABCDEF中， 取BC中点H，连SH，SHBC， O是正六边形ABCDEF的中心 连SO，则SO底面ABCDEF OHBC SHO是侧面与底面所成二面角的平面角，即SHO=60 在RtSOH中，OH=SO=OHtan60=6 同样在SOH中，斜高SH=2OH=43， RtSOH中，SO=6，OB=B

2、C=4 SB=SO2+OB2=213 SO底面ABCDEF，SBO是侧棱与底面所成角， 同样在SOB中，tanSBO=ooo到直角三角形3BC=23，SHO=60o， 2SO33=，SBO=arctan， BO22说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中比如：已知正四棱锥底面边长为a，相邻两侧面所成二面角为120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用o这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为3a，然后利用底面边长和侧棱长在两个2重要的直角三角形中，计

3、算出高为12a，斜高为a 22典型例题二 例2 如图所示，正四棱锥P-ABCD棱长均为13，M，N分别是PA，BD上的点，且 你的首选资源互助社区 PM：MA=BN：ND=5：8 求证：直线MN/平面PBC； 求直线MN与底面ABCD所成角的正弦 分析：要证明MN/平面PBC，只需证明MN内某一条直线平行为此连AN并延长交BC于E，连明MN/PE若能证明MN/PE，则PEO即与平面PBCPE可考虑证为直线MN与底面所成的角 解：连AN并延长交BC于E，再连PE BE/AD，EN：AN=BN：ND， 又BN：ND=PM：MA， EN：AN=PM：MA， PE/MN， 又PE平面PBC，MN平面P

4、BC，MN/平面PBC 设O为底面中心，连PO，EO，则PO平面ABCD又MN/PE，则PEO为直线MN与平面ABC所成的角 8及AD=13，得BE=由BE：AD=BN：ND=5：65o，在PBE中，PBE=60，PB=13，8BE=659191132，由余弦定理，得PE=在RtPOE中，PO=，PE=，则8882sinPEP=PO42 =PE7说明：本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算就比较复杂，而平移为求PE与底面所成的角，计算就易得多可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法 典型例题三 例3 斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是直角三角形，C=90，侧棱与底面成60角，点B

5、1在底面的射影D为BC的中点，BC=2cm 求证AB1BC1； 若A-BB1-C为30的二面角，求四棱锥A-B1BCC1的体积 分析：证AB1BC1关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得 解：如图所示， B1D平面ABC， oooAC底面ABC， 你的首选资源互助社区 ACB1D ACBC， AC平面B1BC， ACBC1 B1在底面ABC上的射影D为BC的中点，侧棱与底面成60角， o四边形BCC1B1是菱形， CB1BC1， BC1平面ACB1， BC1AB1 过C作CEB1B，连结AE AC平

6、面BB1C1C， CE是AE在平面BB1C1C上的射影， AEB1B， AEC是二面角A-B1B-C的平面角， AEC=30o 在RtBEC中，EC=BCsin60o=3，AC=ECtanAEC=3tan30o=1 SD2ACCE=1213=3ACE=12， VA-B1BC=VB1-ACE+VB-ACE =13S1DACEB1E+3SDACEEB =13SDACE(B1E+EB) =13SDACEBB1 在RtACE中，ACE=90o可得由 你的首选资源互助社区 =132 323 323 3 = VA-B1BCC1=2VA-B1BC=说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而

7、证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化 典型例题四 例4如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，AC=BC，D、G分别是PA和AB的中点，1PB，AP：AB=1：2 3求证：EG平面CDG； 求截面CDE分棱锥P-ABC所成两部分的体积之比 分析：由PA底面ABC，可以判定平面PAB平面ABC，AB，因为G是AB的中点，且BC=AC，所以CGAB，于是面PAB，CGEG 若证EG平面CDG，只需EG与平面CDG中

8、的另一条直线E为PB上一点，且BE=且相交于有CG平垂直就可以了为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系 平面CDE把三棱锥P-ABC分成两部分，显然这两部分具有相同的高线CG所以，只要找到PDE和四边形ABED的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了 证明： PA平面ABC，且PA平面PAB 平面PAB平面ABC，且相交于AB 在ABC中，AC=BC，CG是AB边上的中线 CGABCG平面PAB EG平面PAB，EGCG 利用两个平面垂直的性质定理可以证明CG平面PAB 在RtPAB和GEB中 设PA=x，则AB=2x，PB=3x，BE=32x，BG=x 3232xxBG1B

9、E1=2=3=， PBAB3x62x6GBE=PBA，PABGEB o 你的首选资源互助社区 PAB=90，GEB=90 EGPBDG/PB 利用相似三角形的性质，得到GEB=90 EGDG DGICG=G，EG平面CDG 解：SDPDE=oo1PEPDsinAPB 21PAPBsinAPB 212PD=PA，PE=PB 231PAPBsinAPBSDPAB23= SDPDE1PDPEsinAPB121V三棱锥C-PAB3CGSDPAB3= V三棱锥C-PDE1CGS1DPDE3SDPAB=V三棱锥C-PAB-V三棱锥C-PDE2= V三棱锥C-PDE1截面CDE分棱锥P-ABC为两部分，三棱

10、锥C-PDE与四棱锥C-ABED的体积之比为1：2 典型例题五 例5四棱锥P-ABCD，侧面PCD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，ADC为菱形的锐角求证：PACD；求二面角P-AB-D的大小；求棱锥P-ABCD的侧面积与体积 PACD分析：取CD中点H，侧面PCD底面ABCD，从而可利用三垂线定理转化为证明HACD，线面垂直也为二面角平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形解决 证明：取CD中点H，连PH、AH， PCD是等边三角形，PHCD， 面PCD底面ABCD，PH底面ABCD， 等边PCD的边长为2，CD=2 菱形ABCD的边长为2，

11、又菱形的面积是23， P-AB-D的特殊性来 你的首选资源互助社区 22sinADC=23，sinADC=o3，又ADC是锐角， 2ADC=60，ADC是等边三角形， AHCD，PA在平面AC上射影为HA，PACD 解：CD/AB，由CDHA，CDPA， ABAH，ABPA PAH是二面角P-AB-D的平面角， 在RtPHA中PH=AH=2sin60=3， PHA=45，即二面角P-AB-D的大小为45 由在RtPHA中，可得PA=在RtPAB中，PA=ooo6， 16，AB=2，PB=10，SDPAB=26=6， 2在PDA中，PD=DA=2，PA=6，可得SDPAD=15， 215， 2在

12、PCD中，PC=BC=2，PB=10，可得SDPBC=又正PCD边长为2，SDPCD=322=3， 4S侧=6+215+3=6+15+3， 211S菱形PH=233=2 33PH=3，V=说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等可以举一个类似的例子，四棱锥V-ABCD的高为1，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC所成角为120，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成45角，求棱锥的全面积这里由相交平面VDC与ooVDA都与底面垂直得到VD垂直于底面，利用

13、VD底面ABCD，一方面落实了棱锥的高为VD=1，另一方面几个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为 232+2 3()典型例题六 你的首选资源互助社区 o例6 已知三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC与底面ABC所成角相等，CAB=90，AC=AB=PB=a，D为BC中点，E点在PB上且PC/求AE与底面ABC所成角；求PC到平面EAD的分析：由PA、PB、PC与底面所成角相等可得P点在影为ABC的外心，由于ABC是直角三角形，可以得到ABC，PC/面EAD可转化为PC/DE，E是PB中点，ABC的垂线落实EA与面ABC所成角

14、C到面EAD的距离到，一方面直接找C到面EAD的垂线，另一方面，用等积法距离 解：PA、PB、PC与底面ABC成相等的角，ABC上射影为O，则有PAO=PBD=PCO， PAOPBOPCO， PA=PB=PC且OA=OB=OC， O是ABC的外心 ABC是直角三角形，且O是斜边BC的中点， O点和D点重合，即PD面ABC， PC/截面EAD，过PC的平面PBC与平面EAD交于ED， PC/ED，D是BC中点，E是PB中点， 取BD中点F，则EF/PD，EF平面ABC， EAF为EA与底面ABC所成角 AB=PA=PB=a，AE=截面EAD，距离 面ABC上射PD面找出E到面可从两方面得可求点到

15、面的设P在面3a， 2oAB=AC=a且BAC=90，BC=2a 又PB=PC=a，BPC也是等腰直角三角形， PD=122BC=a，EF=a， 224236， aa=426在RtAEF中，sinEAF=EAF=arcsin66，即AE与平面ABC所成角为arcsin 66方法一：PD平面ABC，PDAD 又ADBC，AD平面PBC，ADPB o由PBC是直角三角形，BPC=90，PBPC， EDPC，PBED，PB平面EAD PB=AB=a，PE=1a 2 你的首选资源互助社区 1a 2方法二：ADPD，ADBC，AD平面PBC， 即PC到平面EAD的距离为ADDE，又AD=1112BC=a

16、，DE=PB=a 2222SDADE=12122aa=a， 22281112SDABC=a2，EF=PD=a， 2424SDACD=设C到面EAD的距离为h， SDADEh=SDACDEF，2212ah=a2a 844h=11a，即PC到平面EAD的距离为a 22典型例题七 例7 如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数 分析：从寻找二面角的平面角入手二面角的平面角有时图形中没有给出，需要我们自己作出，有时平面角在图形中已经存在，只需要将其找出来 解：SA平面

17、ABC，BD平面ABC，SABD DE是SC的垂直平分线，DESC，且E是SC的中点 又SB=BC，BESC 又BEIDE=E，SC平面BDE，SCBD 又SCISA=S，BD平面SAC，BDCD，BDDE 从而EDC为二面角E-BD-C的平面角 设SA=a，则AB=a SA平面ABC，SAAB，SAAC，从而BC=SB=2a 你的首选资源互助社区 又ABBC，AC=3a 在RtDSAC中，tanSCA=SAa3，SCA=30， =AC33a又DESC，EDC=60 因此所求的二面角的度数为60 说明：本题是通过三棱锥来考查直线与直线、直线与平面、二面角、解三角形等知识，并考查了空间想像能力和

18、逻辑推理能力解答本题的关键是认定EDC是二面角E-BD-C的平面角这需要具有一定的观察能力和判断能力，而且要给出严格的证明学生很可能发现不了EDC即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使问题复杂化本题所给条件较多，所以恰当地选择所需条件进行论证和计算也是解决本题的一个难点 典型例题八 例8 P是DABC所在平面外的一点，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=3求P到平面ABC的距离 分析：利用三棱锥的性质、体积以及线面关系求解 解法一：PA=PB=PC=3，P在底面ABC内的射影O是DABC的外心又PA、PB、PC两两相互垂直，DABC是等边三角形，O是DABC的重心 如图，在

19、DPOA中，PA=3， 223AO=ABsin60=32=6 332PO=PA2-AO2=32-(6)2=3 解法二：设P点到平面ABC的距离为h PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=3， VA-PBC=119333=， 322AB=BC=AC=32， SDABC=39(32)2=3 42又VA-PBC=VP-ABC， 你的首选资源互助社区 919=3h，h=3 232P到平面ABC的距离为3 解法三：取BC的中点D，连PD、AD PB=PC，AB=AC，ADBC，PDBC， BC平面PAD，BC平面ABC， 平面ABC平面PAD.平面ABCI平面PAD=ADPO平面ABC， 过P作P

20、OAD交AD于OPO就是P到平面ABC的距离 在DPAD中，PA=3，PD=32， 2AD=3336 AB=32=222又APD=90， 32PDPO=PAsinPAD=PA=32=3 3AD62说明：本题难度并不大但是这里所给出的三种方法非常典型方法一利用PA=PB=PC确定P在底面内射影为DABC的外心；方法二利用体积转化的方法；方法三利用面面垂直的性质定理进行垂足定位 典型例题九 例9 如图所示，在三棱锥P-ABC中，底面为直角三角形，两直角边AC=3，BC=4三棱锥侧面与底面所成二面角都为60求此三棱锥的侧面积 分析：本题可利用面积射影定理求解若一棱锥各侧面与底面所成二面角都为a，且已

21、知S底，则由面积射影定理知：S侧=S底 cosa 你的首选资源互助社区 解法一：过P作底面ABC的垂线，垂足为I，过I在底面DABC内作AB的垂线，垂足为D，连结PD由三垂线定理知PDAB，PDI为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，即PDI=60又可知I为RtDABC的内心AC=3，BC=4，AB=5，从而ID=RtDPID中，由PDI=60，得PD=2，从而各侧面三角形的高均为2 1S侧=SDPAB+SDPBC+SDPCA=(5+4+3)2=12 2解法二：S侧=SDPAB+SDPBC+SDPCA 3+4-5=1在2134S底SDIBCSDICASDIAB2=+=12 1cos60c

22、os60cos60cos602说明：本题考查了三棱锥的有关概念与性质在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许多重要性质，而这个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，所以常常通过研究这个辅助平面来解决问题解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理 典型例题十 例10 三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A如图所示 (1)求证：侧棱PBAC； (2)求侧面PAC与底面ABC所成的角q的余弦值 分析：(1)折叠与展开是互逆过程，将直角梯形折成三棱锥时，P1AP1B，P2CP2B的关系不变，于是在三棱锥P-ABC中

23、有PBPA，PBPC故PB平面PAC，从而PBAC (2)由(1)可知PB平面PAC，在平面PAC内作PDAC于D，连BD，则PDB即是所求二面角的平面角，且DPBD为RtD，只需求出两条边即可而边长可以考虑在侧面展开图中求解 证明：(1)见上述思路分析 解：(2)作PDAC，则由三垂线定理知BDAC，于是PDB是二面角P-AC-B的平面角，即PDB=q再作AECP1A=P3A=AC=x，3于E，则AE=4，且E是CP3的中点，设PCE中，x2-y2=42在RtDA且由P2C=P得x-y=2y，解得x=32，y=2 CE=EP3C，3=y 你的首选资源互助社区 由P3DAC=P3CAE，得PD

24、=P3D=由PB=2，PD=4228= 332810PD4= ，BD=，知cosq=33BD54所求二面角的余弦值为 5说明：折与展是一对互逆的过程在处理这类问题时应充分注意折叠或展开前后各元素(主要是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变一般来说，位于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化这类问题常用的添辅助线方法是作棱的垂线 典型例题十二 例12 下列命题中，真命题的个数是 (1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥 (2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥 (3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥 (4)侧

25、面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥 A3个 B2个 C1个 D0个 分析：有些同学错解的原因在于未能很好地理解正棱锥的定义以及正棱锥的性质，正棱锥的定义不同于正棱锥的性质，正棱锥的性质可以由其定义结合有关知识推导得到 对照定义，构造反例 如图所示，S-ABC是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等在SB、SC上分别取异于B、C的点B1、C1，连AB1、AC1，则三棱锥S-AB1C1均满足命题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、(2)为假命题命题(3)中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，

26、因此命题(3)也是假命题在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题 综上可知应选D 典型例题十三 例13 .如图，已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，P在底面ABC上的射影为O 求证：O为DABC的外心 你的首选资源互助社区 证明：连结PO、OA、OB、OC，则PO底面ABC PA=PB=PC， AO=BO=CO， O为DABC的外心 说明：(1)同理可证，如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影也是底面三角形的外心 (2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角

27、均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心 典型例题十四 例14 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心 如图，已知三棱锥P-ABC，三侧面PAB、PAC、PBC与底面所成二面角都相等，P点在底面上的射影为O求证：O为DABC的内心 证明：连结PO，则PO平面ABC 在底面上作ODAB、OEBC、OFAC，垂足分别为D、E、F 连结PD、PE、PF 由三垂线定理可得PDAB、PEBC、PFAC PDO、PEO、PFO分别为二面角P-AB-C，P-BC-A，P-AC-B的平面角 又PDO=PEO=PFO，PO=PO=PO， RtDPDORtDP

28、EORtDPFO，OD=OE=OF， O为DABC的内心 说明：(1)同理可证，如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心 (2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成之角均相等或棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内切圆的圆心 (3)不要误论为棱锥顶点在底面上的射影一定在底面多边形的内部，顶点在底面的射影可以在底面多边形的外部，也可以在多边形的一边上 你的首选资源互助社区 典型例题十五 例15 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两

29、垂直，O为P在底面ABC上的射影 求证：O为底面三角形ABC的垂心 证明：如图，连结PO、AO、BO PAPB，PAPC，且PBIPC=P， PA平面PBC PABC 又PO平面ABC， 由三垂线定理的逆定理知，AOBC 同理，BOAC O点为DABC的垂心 说明：同理可证：如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心 典型例题十六 例16 三棱锥V-ABC的各面积分别为SVAB=3，SVBC=4，SVAC=5，SABC=6，且各侧面与底面所成的二面角都相等，求侧面与底面所成二面角的平面角 分析：首先找出二面角的平面角a，转化到平面中去，然后利用已知条件

30、列有关a的等式 解：如图，作VO平面ABC于O，连结AO、BO、CO 侧面与底面所成的角都相等，设者为a， O为底面DABC的内心， 过O在底面DABC内作ODAB，OEBC，OFAC， 垂足分别为D、E、F；连结VD、VE、VF 由三垂线定理可得VDAB，VEBC，VFAC VDO=VEO=VFO=a 你的首选资源互助社区 SDAOB=11ODODAB，SDVAB=VDAB，而=cosa， 22VDSDAOBOD=cosa，SDAOB=SDVABcosa SDVABVD同理SDBOC=SDVBCcosa，SDAOC=SDVACcosa， SDAOB+SDBOC+SDAOC=(SDVAB+SD

31、VBC+SDVAC)cosa， 即S底面DABC=S侧cosa 6=(3+4+5)cosa， cosa=1p，a= 23侧面与底面所成的二面角为p 3说明：(1)根据本题的推导过程不难得出如下结论：如果三棱锥的三个侧面与底面成等角q，三棱锥的底面积为S底，侧面积为S侧，那么S底=S侧cosq (2)可以进一步证明：如果棱锥的各个侧面与底面成等角q，那么S底=S侧cosq 典型例题十七 例17 如图，已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM=l求经过SO的中点平行于底面的截面DABC的面积 分析：求出底面正三角形的边可得其面积，再利用棱锥截面性质，得截面面积 解：连结OM、OA 在RtDSO

32、M中，OM=l2-h2 因为棱锥S-ABC是正棱锥，所以点O是正三角形ABC的中心 AB=2AM=2OMtan60=23l2-h2， 你的首选资源互助社区 SDABC=33AB2=43(l2-h2)=33(l2-h2) 442据一般棱锥截面的性质，有 SDABCSDABC332h1(l-h2) =2=SDABC=4h4说明：过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面 典型例题十八 22例18 如图，已知棱锥V-ABC的底面积是64cm，平行于底面的截面面积是4cm，棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是O1、O，过O1O的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积 分析：顶点到已知截面的距离h1与原

33、棱锥高h的关系，可由已知截面面积与底面积的量的关系得到，从而各截面对应的高与原棱锥的高的关系可以求出，再运用一般棱锥截面性质可以求得各截面面积 解：设棱锥的高为h，其顶点到已知截面之距VO1=h1，OO1的三等分点为O2、O3， h11h4由已知得12=，1=，h1=h h44h64O1O=VO-VO1=h-213h=h， 44131h=h 34411h1113VO2=h+h=，VO3=h+h+h=h 4424444而O1O2=O2O3=O3O，则O1O2=O2O3=O3O=设过O2、O3的截面面积分别为S2、S3，底面面积为S则 11S2S=(h)2h2，S2=S=16(cm2) 2439S

34、3S=(h)2h2，S3=64=36(cm2) 416两截面的面积分别为16cm和36cm 22 你的首选资源互助社区 说明：本题还可以求得以V为顶点，分别以过O1的截面、过O2的截面、过O3的截面为底面的棱锥，以及原棱锥的侧面积之比，这四个棱锥的侧面积之比依次为 S锥1S锥2S锥3S锥4=4163664=14916 典型例题十九 例19 正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形求内接三棱柱的全面积 分析：如图所示三棱柱的上底面DDEF与正三棱锥的底面DABC相似，它们的相似比等于POPO设三棱柱的棱长为x，则有x4-x=，得出x=2，S全=2SDEF+S侧 44x4

35、-xDEPD=解：设三棱柱的棱长为x，由于三棱柱的上底面DDEFDABC，则有，即=，44ABPAx=2，SDEF=12xsin60=3，S三棱柱侧=3x2=12， 2S全=2SDEF+S三棱柱侧=23+12 典型例题二十 例20 如图(1)设正三棱锥P-ABC的底面边长a，侧棱长为2a，过A作与PB、PC分别交于D和E的截面，当截面DADE的周长最小时，求截面的面积 你的首选资源互助社区 分析：因为截面DADE的三个顶点都在正三棱锥的侧面上，现若沿侧棱PA将棱锥展开，则截面DADE的周长为最小时，就是线段AA的长，如图(2)所示 解：将正三棱锥P-ABC沿侧棱PA展开，当截面DADE的周长为

36、最小值时，其周长即是展开图中线段AA之长 在侧面展开图中，AB=BC=CA，且ABC=ACB 四边形ABCA是等腰梯形，AA/BC，PBC=BDA=PAB， PBPB=2BA，BA=2BD DABDDPBA，BDBA=AB33a，又DEBC=PDPB，DE=a 2411a AA=AD+DE+EA=4在三棱锥中，取截面DADE的边DE的中点为H， PD=PB-BD=AD=AE，AHDE，AH=AD2-HD2=a2-(3a255)=a， 88SADE=13552DEAH=a 264说明：本例中，求侧面展开图中AA之长时运用了平面几何知识，过程较为简明若在三角形PAA中，由PA=PA=2a，计算出A

37、PA的余弦后，再用余弦定理求AA之长，就麻烦得多了 典型例题二十一 例21 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a，过BC作截面DBC垂直侧棱PA于D，且此截面与底面成30的二面角，求此正三棱锥的侧面积 分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱锥的一些线面关系，把要求的斜高转化到直角三角形中，解直角三角形 你的首选资源互助社区 解：如图，作PO底面ABC于O P-ABC为正三棱锥， O为底面正三角形ABC的中心，连结AO交BC于M，连结PM， 则AMBC，PMBC， BC平面APM，BCDM， AMD为截面DBC与底面ABC所成二面角的平面角， AMD=30 PA平面DBC，PADM，PAM=60

38、 正三角形ABC的边长为a，AO=33a，MO=a 36在RtDPAO中，PO=AOtan60=3a3a 3在RtDPOM中，PM=PO2+OM2=a2+(3239a)=a， 66S侧=1393923aa=a 264说明：(1)在多面体中，求边长、侧棱长、高和斜高等长度以及距离、角等等，要充分注意各多面体的概念，在多面体中首先画出所求元素，其次根据不同情况作出辅助线，然后加以解决 典型例题二十二 例22 棱锥的底面是等腰三角形，这等腰三角形的底边长为12cm，腰长为10cm，棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45，求这个棱锥的侧面积 AB=AC=10cm，BC=12cm，VBC、VCA已知三棱锥

39、V-ABC的底边是等腰三角形，侧面VAB、与底面ABC所成的二面角都是45 求棱锥V-ABC的侧面积 你的首选资源互助社区 解法1：作点V在底面DABC上的射影O，如图， 则O是底面DABC的内心，作OEAB于E点，连接VE， 则VEAB，故VEO是侧面与底面所成的二面角的平面角，VEO=45， 112102-62SDABC内切圆半径OE=D=2=3， 1l(12+10+10)21其中l=(AB+BC+CA)，SD是DABC的面积 2斜高VE=S侧=2OE=32， 1VE(AB+BC+CA)=482 2即棱锥V-ABC的侧面积为482cm 解法2：还可用面积射影定理：由于棱锥的侧面与底面所成的二面角均为45， 1221210-6S底故S侧=2=482 cos4522说明：(1)求棱锥侧面积，关键是求各个侧面三角形的高，即斜高，要熟悉三角形的面积公式如SD=1111ah；SD=absinC；SD=lr，l=(a+b+c) 2222(2)在棱锥中，若侧棱相等或侧棱与底面的夹角相等，则该点在底面的射影是底面多边形的外心；若斜高相等或侧面与底面的夹角相等，则该点在底面的射影为底面多边形的内心 典型例题二十三 例23 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 A1 B2 C3 D4 你的首选资源互助社区