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1、数形结合在初中数学解题中的应用数形结合在初中数学解题中的应用 摘要：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化
2、. 关键词：数学，数，形，数形结合 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是知识转化为能力的桥梁，是解题过程中劈山开路、披荆斩棘的宝剑，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于知识的发生、发展和应用的过程中. 初中数学新课程标准中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素数与形.新课程标准把数学的精髓数学思想纳入了基础知识范畴.数形结合是一个数学思
3、想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化. 本文通过实例谈谈数形结合在解题中的应用. 一、 代数问题几何化 初中阶段学到的“数”,包括有有理数,实数，方程,代数式,不等式,函数解折式等.许多代数问题利用几何方法可以很容易的解决，然而由于代数关系比较抽象，若能结合问题中代数关
4、系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径.代数问题几何化是根据数的结构特征，1 借助数轴、借助函数图像、借助几何图形、借助数式的结构特征、借助算法数学的流程图等造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决有关数的问题. 2x-10例1：不等式组的解在数轴上表示为 4-2x0A、 B、 C、 D、 分析：先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法 解：由不等式，得2x2，解得x1， 由不等式，得2x4，解得x2， 数轴表示的正确方法为C， 故选C 例2：计算：1111111+ 2481632641281 21 8分析：如图1，构造面积
5、为1的正方形，则由图形可得. 原式=1-解：1 41 161 641 1281127=128128 例3.若2x、y2为正实数，且图1 x+y=4,x+1+y+1的最小值是多少? 1 32分析：若能考虑到x2+1+y2+1分别是以x、1，y、2为直角边的直角三角形斜边的长，那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题. 解：如图2，线段AB=4，P为AB上一动点，设PA=x，PB=y. CA AB, DBAB,A、B为垂足，且CA=1 , BD=2 ,则PC+PD=x2+1+y2+1，易知当点P、C 、ACPBDD在同一条直线上时 ，PC+PD最小.作CE垂直DB的延长线于E.，易知EC =4，
6、ED =2 +1 =3，故PC+PD=DC=32+42=5， 故x2+1+y2+1的最小值为5. 图2 E 2 x+3x-y-1=0例4. 求方程组的解的个数？ 2x-y+1=0分析：把两个方程分别变形为y=x2+3x-1和y=2x+1， 则方程组的解的个数就变成了抛物线和直线的交点个数了. 解：函数y=x2+3x-1与函数y=2x+1的图像如图3： 根据图像的交点个数就可以判定方程组的解的个数为2. 例5.A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现
7、C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调动总运费最少？ C乡需240吨D乡需260吨A城有200吨B城有300吨图3 吨=260-分析：此题涉及到的已知数据较多，学生容易张冠李戴，造成数据上的混乱，借助如图4进行处理，就可避免这一点. 解：设由A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡吨，从B城运往C乡吨，运往D乡吨，总运费为y元.依题意得： 20y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(x+60)=4x+10040， 由于一次函数的值是随着x的增大而增大，所以当x=0时，y的值最小，此时y=10040. 所以：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨，从B城运往C乡240吨，运往
8、D乡60吨时运费最少，最少运费是10040元. 2x-1-1()例6. 已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的2(x-5)-1值为 A、0 B、1 C、2 D、3 分析：利用二次函数的图象解决交点,在坐标系中画出已知函数3 2x-1-1()的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有y=2(x-5)-1三个的k值 2(x-1)-1解：函数y=的图象如图5： 2(x-5)-1根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个， k=3 故选D. 对于代数问题，往往借助几何图形，靠图形直观来“支持”抽象的思维过程，数与形在一定条件下是可以互相转化的，由数化形是根据数的结构
9、特征，造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，借助几何图形可以使代数问题更简单，更直观;数形结合是寻找解决问题途径的种思维方法. 图5 二、 几何问题代数化 初中阶段学到的“形”可以是点线，面，角，三角形，四边形，圆等，更多的“形”体现在函数图象方面.几何问题代数化是将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除图形的推理部分，使要解决的形的问题转化为对数量关系的讨论. 借用代数方法解决,解题方法就易于寻找，解题过程也变得比较简便，因为几何题显然由形较直观，但若遇到已知和结论之间相距较远的问题，解题途径常常不易找到，因而用代数方法解题，思维就比较明确，有规律，因此也就容易找到解题方法
10、。 例7.如图6,已知电线杆AB垂直于地面，它的影子恰好在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45角，A=60, CD4m, BCAD(46-22 m，求电线杆AB的长 )BC图6 EF分析: 设法将AB转化到直角三角形中去解. 解:延长AD交地面于E，过D作DFCE，垂足为F 4 QDCF=45o，A=60o，CD=4mCF=DF=22(m)，EF=DFtan60o=26(m)又QAB3=tan30o=BE333BE=46-22+22+26=62(m)33AB=()例8. 如图7，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR、BOP、CRQ的面积分别是S1=1、S2=3、S3=1，求正方形
11、OPQR的边长. 分析:正方形OPQR的边OR与ABC的边BC平行,OP、RQ都与BC边上的高AD平行,这都可以构成相似三角形,从而用比例来解题,但是本题利用面积列方程会更加简单点. 解: 设正方形OPQR的边长为x，作ABC的BC边上的高AD，交OR于F . 2在RtAOR中，由S1=1，OR= x，得AF=. x62同理BP=，QC= xx由SABC= S1+ S2+ S3+S正方形OPQR，得 16222+x+x+=1+3+1+x2xxxx=2 AOS1FS2BP图7 RS3DQC例9.如图8.点C为AB的中点,以BC为一边作正方形BCDE,以BD为半径,点B为圆心作圆,与AB及其延长线
12、相交于H、K. 求证:AHAK=2AC2. 分析:本题用几何方法当然可以证明,但是比较麻烦,若把它转化成代数问题来解决,就显得简捷了. AHC证明:设BC=x,则AC=BC=x,BD=2x DEBKQAH=2x-2x,AK=2x+2x =2x=2AC AKAK=试确定三角形的形状. 分析:本题通过因式分解,利用完全平方式即可解决. 5 2图8 例10. 已知：三角形三边长a、b、c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0， 解：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 (a-b)+(b-c)+(a-c)=0 a=b，b=c，c=a 即a=b=
13、c 此三角形是等边三角形. 例11.如图9.已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b,P为AB边上的一动点,直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值. 分析:设AP=x,把AP、BQ分别用x的代数式表示,即可用不等式222a2+b22ab或a+b2ab来求最小值. 解:设AP=x QVPBQVVPADDACBQBQPBBQa-x=,=ADPAbxabBQ=-bxAP+BQ=x+abab-b2x-bxxP图9 =2ab-bab当且仅当x=,即x2=ab,x=ab时,AP+BQ取最小值2ab-b. x例12.如图10,VO的直径AB与弦CD相交于点P,且PA=5,PB=1,APC=60o
14、,求弦CD的长. 分析:根据图形的特点,把有关数据集中到直角三角形中,借助勾股定理或三角函数,把几何计算转化为代数运算. 解:过点O作OECD于点E,则CE=ED,连接OC. AB=3. QPA=5,PB=1,AB=5+1=6,且OC=A2AB-PB=3-1=2 OP=2在RtVOPE中，OE=OPsin60o=3. 在RtVOCE中，CE=OC-OE=3-22DOPECB()32=6 图10 CD=2CE=26 对于几何问题，利用数理的严谨性，利用数轴、坐标系、不等式、面积、距离、角度、勾股定理、三角函数、线段比例等把几何问题转化成代数问题.通过观察图形或绘制，挖掘图形中蕴含的数量关系,用代
15、数的方法达到几何计算和证明的目的 6 三、 结束语 仅有数的分析或形的直观都不易单独解决的问题.数形结合既具有数学学科的鲜明特点,又是数学研究的常用方法.数形结合是解决具体问题的“向导”.数形结合作为一种思维策略，常可以作为寻求解法的一个思路，或在思路受阻时寻求出路的突破口.数形结合最大的特点就是模型化，直观化，几何方法具有直观、形象的优势，用简单直观的图形代替冗长的代数推理.代数方法具有解答过程严密、规范、思路清晰，避呆板单调解法之短. 数与形在内容上互相联系，方法上互相渗透，在一定条件下互相转化. 数形结合是数学中基本而又重要的思想，是解答数学题的的一种常用方法与技巧.数学家华罗庚曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非.”可见数形结合能扬数之长、取形之优,使得数与形珠联璧合、相映生辉. 参考文献： 1 李勇新、滕文凯等编著 中学数学教材教法M XX年6月第2版 东北师范大学出版社出版 2 王银篷 浅谈数形结合的方法J. 中学数学 , 2004,(12) 3 刘焕芬 巧用数学结合思想解题J. 数学通报 , 2005,(01) 4 吴松年 新课程有效教学疑难问题操作性解读 M，2007-8 教育科学出版社 5XX年全国各地中考题 6广州市教育局教研室 XX年广州市初中毕业生学业考试指导书数学M，XX年3月第二版 广东省出版集团 7
