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1、文科线性代数复习线性代数复习总结 第一章：行列式 一、概念全排列与逆序数. 行列式：不同行不同列元素乘积的代数和 二、性质 1、 经转置行列式的值不变 2、 某行有公因子k，可以把k提到行列式外 3、 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 4、 两行互换行列式变号 5、 某行的k倍加到另一行，行列式的值不变 三、展开式 1、Dn=naj=1nijAij Dn=aijAij i=1n2、aj=1ijAkj=0a12Mb2M(ki) aijAiki=1n=0(kj) a11M3、b1Man1a21MMMMMLLa1nMMLLMMMbn=b1Ai1+b2Ai2+LbnAin.其中Aij
2、是aij中aij的代数余子式. Man2LLannLa1nMMMa2nM=b1A1j+b2A2j+LbnAnj. Mb2MMa11Lb1an1LbnLann四、计算 1、化成上三角或下三角行列式 2、利用行列式的性质 3、利用行列式的展开式 4、用矩阵的性质,A,B为n阶方阵，则有kA=kA, AB=AB. nACA0A0=AB =AB, =AB,其中A,B是方阵. 0BCB0B5、用特征值A=Pli 第二章：矩阵 一、初等变换： 1、初等矩阵：单位阵经过一次初等变换所得的矩阵 2、初等矩阵P左乘A所得PA就是对A作了一次与P同样的初等行变换；初等矩阵Q左乘A所得AQ就是对A作了一次与Q同样的
3、初等列变换 3、任何矩阵都可以通过一系列初等行变换变成行阶梯型与行最简型矩阵 二、逆矩阵 1、证法：n阶方阵A可逆A0R(A)=n$B,使得AB=EA的特征值全不为零 -12、求法：用定义，找矩阵B,使得AB=E，则A=B (2) 初等变换法AEEA (3) 用伴随矩阵法A-1()(=r-1) 1*A, AA*=A*A=AE A-1A 用分块矩阵法B-1A-1=r;-1BB-1A-1=A-1B-1 3、矩阵方程AX=BX=AB ABEAB ()()AXB=CX=A-1CB-1 三、矩阵的秩 1、计算：用初等变换法，用定义法 2、性质 A为mn矩阵，则有R(A)minm,n R(AB)minR(
4、A),R(B);如果A可逆，则有R(AB)=R(B). (3) A为n阶方阵，则有R(A)=nA0;R(A)nA=0. 四、矩阵运算的性质 (1)ABC=A(BC)=(AB)C (2)lA=Al,lAB=AlB=ABl.(其中l是数) (3)(AB)T=BTAT (4)(AB)=B-1A-1. (5)A-1-1()=(A)TT-1(6)A,B为n阶方阵，则有kA=knA, (7)方阵的幂 五、特殊矩阵 AB=AB. 伴随矩阵，正交矩阵AA=AA=E，对称矩阵，反对称矩阵，对角矩阵 TT第三章：向量 一、线性表示 向量b可由向量组a1,a2,Lam线性表示 存在数k1,k2,L,km使得，b=k
5、1a1+k2a2+Lkmam 方程组x1a1+x2a2+Lxmam=b有解 R(a1,a2,Lam)=R(a1,a2,Lam,b) 二、线性相关与线性无关 1、向量组a1,a2,Lam线性相关存在不全为零的数k1,k2,L,km使得，k1a1+k2a2+Lkmam=0. 2、向量组a1,a2,Lam线性无关如果k1a1+k2a2+Lkmam=0,则有k1=k2=L=km=0. 3、向量组a1,a2,Lam线性相关方程组x1a1+x2a2+Lxmam=0有非零解） R(a1,a2,Lam)m(=m) 其中A=(a1,a2,Lam) 4、向量组a1,a2,Lam，如果A=(a1,a2,Lam)是方
6、阵，则a1,a2,Lam线性相关A=0A0. 三、最大无关组与向量组的秩 概念 求法：求向量组a1,a2,Lam的秩及其最大无关组，令A=(a1,a2,Lam)，然后对矩阵A进行行初等变换，化到行阶梯型，求出A的秩r，向量组的秩也是r。 四、向量组的等价:互相表示 五、向量的正交，x=(x1,x2,L,xn);y=(y1,y2,L,yn), TT()x与y正交x,y=xTy=0. 第四章：线性方程组 一、基本结论 1、Ax=O只有零解R(A)=n ；Ax=O有非零解R(A)n 2、如果A是n阶方阵，则Ax=O只有零解A0 ；Ax=O有非零解A=0. 3、Ax=b）有唯一解R(A)=R(A,b)
7、=n Ax=b有无穷解R(A)=R(A,b)n Ax=b无解R(A)R(A,b) 4、如果A是n阶方阵，则Ax=b有唯一解A0. 且有xj=列式A中把第j列改为常数列，其他不变. 二、基础解系，解得结构 1、定理，Ax=O的秩R(A)=rn,则Ax=O得基础解系恰有n-k个线性无关的解向量. 2、求Ax=b的解，求导出组Ax=O的基础解系与Ax=b的一个特解 3、解的性质 若a1,a2是Ax=b的解，则a1-a2是Ax=O的解； 若a是Ax=b的解，h是Ax=O的解，则a+h是Ax=b的解. AjA,其中Aj是系数行第五章：特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 1、定义Ax=lx,(x0)
8、(x0)， 2、求法：(1)特征值：用定义Ax=lx,特征方程A-lE=0 (2)特征向量：用定义Ax=lx,(x0) 基础解系法，求方程组(A-lE)x=O的基础解系 3、性质：不同特征值的特征向量线性无关 A=Pli l是A的特征值，j(x)是多项式，则j(l)是j(A)特征值. A是可逆矩阵，l是A的特征值，则二、矩阵的相似 1、定义A与B相似PAP=B -11l是A的特征值 -12、性质：如果A与B相似，则有 R(A)=R(B);3、可对角化 A=B;A-lE=B-lE. A可对角化A有n个线性无关的特征向量 R(A-liE)=n-ni，其中li为ni重特征值 4、基本结论：如果A有n个不同的特征值，则A可对角化 A是实对称矩阵，则则A可对角化 5、实对称矩阵隐含的信息 与对角阵相似 相似变换矩阵P可以是正交阵 不同特征值的特征向量必正交 特征值必是实数 k重特征值必有k个线性无关的特征向量
