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1、2.1 随机变量及其分布,一、随机变量的概念,二、离散型随机变量的概率分布,三、分布函数,四、离散型随机变量的分布函数,五、连续型随机变量及其概率密度,关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容。这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量。也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样。变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念就是随机变量。,一、随机变量的概念,定义21(随机变量,定
2、义在概率空间(P)上 取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量,在掷骰子的实验中 其出现的点数记为随机变量X 则X作为样本空间 1 2 3 4 5 6上的函数定义为 X(),随机变量举例,检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散变量来描述,简记 r.v.X.,random variable),此映射具有如下特点,表示“某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次”这一事件,为事件A 的示性变量,这样就有,（）,通常将（）记为，,即。,从而可得出：任意事件都可以用一个随机变量表示。相应地，求事件A的概率（）等价于求随机变量 X 等于 1的概率，即（）（）,这样一来，事
3、件的研究就可纳入随机变量的研究之中，所有关于事件的性质和定理都可搬过来用。,=儿童的发育情况,X()身高,Y()体重,Z()头围.,各 r.v.之间可能有一定的关系,也可能没有关系 即 相互独立,随机变量的分类：随机变量,随机变量的特点:,1、X的全部可能取值是互斥且完备的,2、X的部分可能取值描述随机事件,二、离散型随机变量的概率分布,定义22(离散型随机变量)设X是定义在概率空间(P)上的一个随机变量 如果X的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个 则称X是一个离散型随机变量,设X是离散型随机变量 其全部可能取值为xi i1 2 记 P(xi)PXxi,i1,2,(21)则称p(xi)i1
4、2 为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表,定义23(概率分布),概率分布的性质,任何一个离散型随机变量的概率分布p(xi)必然满足下列性质 1 p(xi)0 i1 2(22),例 21 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即,于是X的概率分布为,解,(1)由于,(2)由于,解,PX1,PX3,PX4,PX1PX2PX3,1,PX1PX2PX3,1,0,说明,三、分布函数,定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x),分布函数的性质 随机变量的分布函数必然
5、满足下列性质,若x1 x2 则F(x1)F(x2),(1)单调性,(3)右连续性,F(x0)F(x),若函数Fx)满足上述三条性质 则它一定是某个随机变量X的分布函数,说明,三、分布函数,定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x),分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质,若x1 x2 则F(x1)F(x2),(1)单调性,(3)右连续性,F(x0)F(x),因此 通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数,F(x)PXx,解,当xb时,F(x)PXx0,当xa时,当axb时,F(x)PXx,综上 可得X的分
6、布函数为,四、离散型随机变量的分布函数,X只有两个可能取值 其概率分布为,解,于是 当x0 时 F(x)PXx0,当0 x1时,F(x)PXx,当x1时,F(x)PXx,PX0PX11,综上 X的分布函数为,四、离散型随机变量的分布函数,X只有两个可能取值 其概率分布为,解,课堂练习,设随机变量X的可能取值为0，1，2；且P（x=0）=1/2，P（x=1）=1/6，P（x=2）=1/3。求：P（）=？P（）=？P（）=？并写出分布函数。,离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函
7、数值保持不变 反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率,四、离散型随机变量的分布函数,由于F(x)是一个阶梯形函数 故知X是一个离散型随机变量 F(x)的跳跃点分别为1 2 3 对应的跳跃高度分别为,解,故X的概率分布为,例1:一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量描述废品出现的情况。,解：用表示废品的个数。,1表示产品为废品,0表示产品为合格品。,或P(=k)=(0.05)k(0.95)1-k,(k=
8、0,1),分布函数的图形：,称为两点分布,称为0-1分布,?,例2,解：概率之和应为1,12a+3a+a+2a+a+a,=10a,故 a=0.1,概率表应为,=0.8,=0.6,注意,1，已知P(X)=P1,P2,Pn求F(X),逐层累加2，已知F(X),求P(X)=P1,P2,Pn；逐层递减法,想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫MP4的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意X5年还是X5年零1分钟,五、连续型随机变量及其概率密度,定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得,并称f(x)为X的
9、概率密度函数 简称为密度函数,五、连续型随机变量及其概率密度,定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得,并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数,密度函数的性质,密度函数具有下列性质,(1)f(x)0 x(),说明 反过来 可以证明 一个函数满足上述两个性质 一定可以作为某一连续型随机变量的密度函数,随机变量 X 的分布函数F(x）与密度函数的关系：,如果随机变量 X 的密度函数为 p（x），分布函数,为F（x），则对任意的a，b（ab），有,这一结果的几何意义为：X 落在（a，b中的概率恰,好等于在区间（a，b上由曲线 yp（x）形成的
10、曲边梯,形的面积（图中阴影部分）。,而p（x）的基本性质（2）表明：整个曲线 yp（x）,以下（x 轴以上）的面积为 1。,下面我们来讨论连续型随机变量的一些性质,性质(3)设 F（x）为连续型随机变量 X 的分布函数，,则 F（x）处处连续。,证明 设 x 为任意实数，则：,由 x 的任意性知，F（x）是直线上的连续函数。,此性质是连续型随机变量的重要特征，连续型随机变量,的名称也由此而得。,性质(4)若X是连续型随机变量，则对任意实数a，有,证明 任意h0,即：,在概率论中，概率为零的事件称为零概率事件。它与不可,能事件还是有差别的，不可能事件是零概率事件，但零概率事,件不全是不可能事件。
11、,例如，对连续型随机变量而言，事件Xa是零概率事,件，但这并不意味着事件Xa是不可能事件，因为连续型,随机变量取任何一点都是有可能发生的。,同样，必然事件的概率为1（概率的规范性），但概率为1,时事件不全是必然事件。,在概率论中把概率为1的事件称为几乎必然发生的事件,五、连续型随机变量及其概率密度,定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得,并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数,事件的概率与密度函数的关系,(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为 PXx0(213),(1)连续型随机变量X落于区间(a b上的概率为,连续型随机变量密度函
12、数与分布函数的相互关系,F(x)与f(x)是什么关系？如果已知F(x)or f(x)f(x)or F(x)?,显然，dF(x)/dx=f(x)F(x)f(x)求导;f(x)F(x)求积分,f(x)F(x)方法：函数区间分段+相互逐段求解,X的密度函数为,解,在xa和xb处 F(x)的导数不存在 可补充定义这两点的密度为,练习：设连续型随机变量 X 的密度函数为,试求 X 的分布函数F（x）。,解 当 x0时，,当 0 x1 时，,设连续型随机变量 X 的密度函数为,试求 X 的分布函数F（x）。,当1x2 时，,当x 2 时，,设连续型随机变量 X 的密度函数为,试求 X 的分布函数F（x）。,所以 X 的分布函数为：,
