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1、机械优化设计复习题全集一、 填空题 T21. 用最速下降法求f(x)=100 2. 海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。 3. 当迭代接近极值点时，最速下降法会出现锯齿现象，导致收敛速度慢。 4. 外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。 5. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。6. 数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。 7. 海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。 8. 拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。 9. 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。 10. 一维搜索的二次插值法用到了点的函数
2、值，一阶导数和二阶导数信息。 11. 二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。 12. 海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。 13. 外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题 14. 变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵 15. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。 四、 问答题 1凸规划 对于约束优化问题 minf(X) s.t gj(X)0 (j=1,2,3,m) 若f(X)、gj(X)(j=1,2,3,m)都为凸函数，则称此问题为凸规划。 2可行搜索方向 是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。 3设计空间：n个设计变量为坐标所组
3、成的实空间，它是所有设计方案的组合 4.可靠度 5收敛性 是指某种迭代程序产生的序列Xk(k=0,1,)收敛于limXk+1=X* k6.非劣解：是指若有m个目标fi(X)(i=1,2,m)，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)，则将此X*为非劣解。 7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。 8.可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。 五、 问答题 1什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚
4、函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？ 1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩 在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于的数列。惩罚因子按下式递增rk=crk-1(k=1,2,)，式中c为惩罚因子的递增系数，通常取c=510 2共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。 . 对
5、于二次函数，f(X)=1TXGX+bTX+c,从Xk点出发，沿G的某一共轭方2向dk作一维搜索，到达Xk+1点，则Xk+1点处的搜索方向dj应满足(d)(gjTkk+1kg-g，即终点与始点的梯度之差与的共轭方d-g=0XX)k+1kk+1k向dj正交。 3为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？. 答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。 4.写出故障树的基
6、本符号及表示的因果关系。 略 5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。 略 6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。 略 7简述随机方向法的基本思路 答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。 六、 解答题 1试用牛顿法求f(X)=8x12+5x22的最优解，设X(0)=1010。 T初始点为
7、X(0)=1010，则初始点处的函数值和梯度分别为 Tf(X0)=1700 16x1+4x2200，沿梯度方向进行一维搜索，有 f(X)=1404x+10x1201020010-200a0X=X-a0f(X)=-a0=10-140a 101400100 a0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件 fX1=minfX0-afX0aa() =min8(10-200a0)+4(10-200a0)(10-140a0)+5(10-140a0) 22a()=minj(a) j(a0)=1060000a0-59600=0， 从而算出一维搜索最佳步长 a0=59600=0.0562264 106000010-
8、200a0-1.2452830则第一次迭代设计点位置和函数值X=2.1283019 10-140a01f(X1)=24.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。 22试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x1+0.5x2-x1x2-2x1的最优解，设初始点x(0)=-2,4，迭代精度e=0.02。 T221. 求目标函数f(X)=x1+2x2+x1x2+4x1+6x2+10的极值和极值点。 2222. 试证明函数f(X)=2x1+5x2+x3+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点1,1,-2处具T有极小值。 3. 设非线性规划问题 2minf(X)=(x1
9、-2)+x22s.tg1(X)=-x10g2(X)=-x202g3(X)=-x12+x2-10T0用K-T条件验证x()=1,0为其约束最优点。 4. 给定约束优化问题 minf(X)=(x1-3)+(x2-2)2s.tg1(X)=x12+x2-5022g2(X)=x1+2x2-40g3(X)=-x10g4(X)=-x20验证在点x=3,3K-T条件成立。 T5. 用共轭梯度法求函数f(x1,x2)=3212x1-x2-x1x2-2x1的极小点 226. 已知目标函数为f(X)= X1+X2，受约束于 g1(X)=x12+x20 g2(X)=x20 写出内点惩罚函数。 7. 已知目标函数为f(
10、X)=(x1-1)+(x2+2) 受约束于: 22g1(X)=-x2-x1-10g2(X)=2-x1-x20g3(X)=x10g4(X)=x20试写出内点惩罚函数。 8. 已知等式约束问题为： 2minf(X)=x12+4x2+7 s.th1(x)=x1+x2-10=0 试写出外点惩罚函数。 9. 已知目标函数为： 2minf(X)=x12+2x2-2x1+1 s.tg1(X)=3-2x20 试构造两种惩罚项，并写出相应内点惩罚函数。 11、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以
11、及用MATLAB软件求解的程序。 12、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 13、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 14、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 15、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题
12、的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解。 16、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c，高度为h，面积A=64516mm2，斜边与底边的夹角为，见图1。管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系。试按照使液体流速最大确定该管道的参数。写出这一优化设计问题的数学模型。并用matlab软件的优化工具箱求解。 17、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。力缆每米需用材料9kg，3个工时，消耗电能4kWh，可得利润60元；话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kWh，可得利润120元。若每天材料可供应360kg，有300个工时消耗电能200kWh可利用。如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。
