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1、模糊逻辑与模糊控制,Fuzzy Logic&Fuzzy Control,模糊逻辑,Fuzzy Logic,模糊逻辑,通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确的信息的方法和工具。模糊逻辑本身并不模糊，它并不是“模糊的”逻辑，而是用来对“模糊”（现象、事件）进行处理的，以达到消除模糊的目的。,Q：从一堆沙粒中取出一颗沙，剩下的仍然是一堆；再取一粒，剩下的还是一堆；一直取下去，最后还剩一粒沙，那它还算是一堆吗？如果这不能算一堆，那何时停止取沙，剩下的才能算一堆呢？,二值逻辑&经典集合论：此题无解（现实中所有在实践上连续变化的事物和现象都存在这种矛盾）多值逻辑&模糊集合论：很简单，随着每取走一粒
2、沙，沙堆在“堆”的集合中的隶属度越来越小，它从1开始，慢慢减少到0.8、0.6、0.2直到0。,波兰逻辑学家 J.Lukasewiez 在1920年首先扩展出了三值逻辑。用1表示真，0表示家假，另外1/2表示可能性。在二值逻辑中一旦插入第三个逻辑值，那就可以插入任意多个逻辑值，这就构成了多值逻辑。实际上这就是模糊逻辑的亚结构。通过多值逻辑就可以表示一个命题的真的程度，这就为更精确地进行逻辑判断提供了基础和条件。,特点：,是多值逻辑，是对二值逻辑的扩展元素可以部分地属于一个集合命题可以“亦此亦彼”、“非此非彼”,论域 U,集合 A,集合 B,集合 C,x,y,z,论域U中的模糊子集A是以隶属函数
3、A表征的集合。A由以下映射确定：A:U0,1,uA(u),模糊集合：,A：模糊子集 A 的隶属函数A(u)：u 对 A 的隶属度，表示论域 U中的元素 u 属于其模糊子集 A 的程度，在 0,1 闭区间内可取连续值。A(u)越接近1，u 隶属于 A 的程度越高，A(u)的取值变为 0,1 时，A(u)就蜕化成普通集合的特征函数，A就蜕化成普通集合。,例：分别用普通集合和模糊集合定义“儿童”，论域 U=0，10，年龄用 x 表示。,1,10,6,CA(x),3,9,1,10,6,A(x),普通集合：模糊集合：,表示方法:设论域 U 中的模糊集合A，有:A(x1)=0.85;A(x2)=0.75;
4、A(x3)=0.98;A(x4)=0.30;,向量法：A=0.85,0.75,0.98,0.30,Zadeh法：,相等：当且仅当A(xi)=B(xi)，则AB子集：若A(xi)B(xi)，则AB空集：若 U上的所有元素A(xi)0，则A为空模糊集全集：若 U上的所有元素A(xi)1，则A为全集设A、B为两个模糊子集，对于任意x,有,运算：,余集：A(xi)B(xi)1则B称为A的余集，记为并集：C=AB，C(xi)=max(A(xi),B(xi)=A(xi)B(xi)交集：C=AB，C(xi)=min(A(xi),B(xi)=A(xi)B(xi),水平截集定义：给定论域 U上的模糊集合A，对于
5、任意实数 0，1，由A(x)的元素组成的一个普通集合，称为模糊集A的 水平截集。一般记作A，称为阈值。如：“高个子”是模糊集合，“1.80m以上的人”却是普通集合,A(x),A(x),支集,截集,例：有一项工程分为两阶段，第一阶段大约68天可完成，第二阶段大约912天可完成。若设第一阶段68天完成的可能性分别为0.9,1,0.2；第二阶段912天完成任务的可能性分别为：0.3,1,0.9,0.1，试问工程最有可能在哪几天完成？解：如用区间数表示，则为 6，8+9，12=6+9，8+12=15，20即共需15 20天可完成全部任务，有：可得 若取=0.9作水平截集，则工程最有可能在1618天完成
6、,隶属函数：,三角形隶属函数：梯形隶属函数：,高斯隶属函数（正态分布）：,钟形隶属函数：,隶属函数参数化：,以钟形函数为例：,a,b,c,的几何意义如图所示。,改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。,确定隶属函数：1.模糊统计法：2.主观经验法：3.神经网络法：4.二元对比法：,直接根据经验判断给出典型函数模型,利用神经网络学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络学习自动调整。,两个概念之间相互对比，逐渐调整而得。,确定隶属函数的基本原则：,1.表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合。通常某一模糊概念的隶属函数的确定应从最适合这一模糊概念的内容入手，然后向两边延伸。即延伸时其隶属函数
7、的值必须单调递减，不能出现波浪。,2.变量所取的隶属函数通常是对称和平衡的。3.隶属函数要符合正常的语义顺序，应该避免不恰当的重叠。,而对于模糊控制系统的隶属函数选择又有更为特殊的要求：1.论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时至多不大于两个隶属函数的区域。2.对同一个点没有两个隶属函数会同时取得最大隶属度。3.当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该1。在模糊控制系统中，重叠率=重叠范围/附近模糊隶属函数的范围,模糊控制,Fuzzy Control,模糊命题：概念：含有模糊概念或者具有模糊性的陈述句。例如：模糊命题 P：“小明学习努力”若小明“努力”的隶属度为0.
8、8，则命题的真值为：T(P)=A(x)=0.8模糊命题的真值为1时表示 P 完全真，为0时为完全假，模糊命题可看成是普通命题的推广，普通命题是模糊命题的特例。,运算：(1)析取“”T(PQ)=T(P)T(Q)(2)合取“”T(PQ)=T(P)T(Q)(3)取非“”T(P)=1-T(P)(4)蕴含“”T(PQ)=11-T(P)+T(Q)(5)等值“”T(P Q)=11-T(P)+T(Q)1-T(Q)+T(P),例：命题 P：蒸汽温度上升很快；(T(P)=0.6)命题 Q：蒸汽压力增加很快；(T(Q)=0.4)合取 T(PQ)=T(P)T(Q)=0.4析取 T(PQ)=T(P)T(Q)=0.6取非
9、 T(P)=1-T(P)=0.4蕴含 T(PQ)=1 1-T(P)+T(Q)=0.8等值 T(P Q)=1 1-T(P)+T(Q)1-T(Q)+T(P)=0.8,取值在 0，1 区间的变量 x 称为模糊变量由一组模糊变量和“”，”，“”以及括弧构成的表达式，称为模糊逻辑公式（F公式）可将“”简记为“”，”简记为“+”，“x”简记为“x”模糊逻辑公式的真值：T(F1+F2)=T(F1)T(F2)；T(F1 F2)=T(F1)T(F2)T(F1)=1-T(F1)；T(F1F2)=11-T(F1)+T(F2),模糊逻辑公式：,1 幂等律:x+x=x;xx=x2 交换律:x+y=y+x;xy=yx3
10、结合律:(x+y)+z=x+(y+z);(xy)z=x(yz)4 分配律:x+(yz)=(x+y)(x+z);x(y+z)=xy+xz 5 德摩根律:(x+y)=x y;(x y)=x+y6 双重否定律:x=x7 常数运算法则:1+x=1;0+x=x;1x=x;0 x=08 吸收律:x+xy=x;x(x+y)=x,运算律：,1.电子计算机所能理解的程序语言称为形式语言。特点：格式严格，概念明确，规则严密，需要定义，逻辑推理受到语句结构的限制，推理方式少。2.人类在日常生活中所使用的语言称为自然语言。特点：具有模糊性，语句结构灵活，语意丰富。模糊词：春，傍晚，高矮，深浅，吵闹，模糊句：温度上升，
11、减小加热控制阀门的开度,模糊语言：,以自然或形式语言中的字或句作为值的变量，称为语言变量。作为语言变量的值称为语言值，而语言值的总体构成了语言变量的辞集。原则上，辞集中可以有无穷多个元素。例如，语言变量“年纪”的辞集可记为：T（年龄）=年轻+非常年轻+不年轻+中年+中青年+中老年+老年+非常老+有些语言变量具有对应的数值变量，例如水温。,1、语言变量的名称X2、语言变量X的辞集T(X)3、论域U4、语法规则G，用于产生模糊语言变量X的语言值的名称，它通常具有一种语法的形式。5、语义规则M，它定义一个算法过程，用于计算每个语言值的辞义，根据语义规则可给出语言值对基础变量u的隶属函数。一个语言变量
12、为以下的五元体：(X,T(X),U,G,M),模糊变量的五个要素：,例：定义“速度”为语言变量，则 T（速度）可能是：T（速度）=慢，适中，快，以上每个语言变量值:“慢”、“适中”、“快”是定义在论域 U上的一个模糊集合:“慢”60km/h，“适中”约 80km/h，“快”100km/h。论域U=0，160，单位 km/h。,模糊规则,作为一个控制系统，在一定的输入作用下，将有其相应的输出。输入与输出关系,就是系统的数学模型。它可以由一系列的传递函数表征或由系统的状态空间方程来表征。在模糊逻辑中,系统的输入输出关系是由一组所谓“模糊规则”来联系的。模糊规则又是由模糊语句来表达的。,（1）如 A
13、 则 B“IF A THEN B”（2）如 A 则 B 否则 C“IF A THEN B ELSE C”（3）如 A 且 B 则 C“IF A AND B THEN C”,模糊推理语句：,知道模糊关系表达式后，就可以针对某个输入情况，来确定输出情况。所以，模糊推理规则实际是一种模糊变换，它将一个论域的模糊集变换到另一个论域的模糊集。,R,模糊控制器,模糊控制器一般由3个部分组成：1）输入确切的值到模糊量的转换即“模糊化”；2）运用模糊逻辑和模糊规则进行模糊推理；3）模糊变量到确切输出的变换即“解模糊”。,（a）一维模糊控制器（b）二维模糊控制器（c）三维模糊控制器,设计模糊控制器一般步骤：1.
14、选定模糊控制器的输入输出变量，一般取e、ec和u。2.确定各变量的模糊语言取值及相应的隶属函数，即进行模糊化。模糊语言值通常选取3、5或7个，例如取为light,middle,heavy等。然后对所选取的模糊集定义其隶属函数。3.建立模糊控制规则或控制算法。这是指规则的归纳和规则库的建立，是从实际控制经验过渡到模糊控制器的中心环节。控制律通常由若干“if-then”结构的模糊条件语句构成。例如：if e=N and c=N，then u=PB等；或总结为模糊控制规则表，可直接由e和c查询相应的控制量u。4.确定模糊推理和解模糊化方法。常见的模糊推理方法有最大最小推理和最大乘积推理两种。解模糊方
15、法有最大隶属度法、中位数法、加权平均法、重心法、求和法或估值法等等。,经验的积累和应用 精确 模糊 精确如何确定控制策略 可用模糊语言对操作人员的经验进行归纳和总结（形成知识库），以使感性经验上升为理性化的模糊控制规律，进一步转化为精确化的数值结果，从而使得凭经验的手动操作转变为自动机器操作成为可能。,对于实际的输入量，首先需要进行尺度的变换，将其变换到要求的论域范围。变换方法可以是线性的，也可以是非线性的。,输入的模糊化,模糊控制器的输入语言变量一般取系统误差 及其变化率，用 和 表示。量化因子：范围内连续变化的误差分成n个区间，使之离散化，则误差所取模糊集合的论域为,比例因子：设 为控制量
16、 变化量的基本论域，为基本论域的量化区间数。对于系统控制量的变化量，定义,误差、误差变化率和控制量的变化量，均为语言变量，一般可分为大、中、小三个等级。考虑到变量的正负，常选用正大、正中、正小、零、负小、负中、负大等七个语言变量值。每个语言变量的取值，对应于其论域上的一个模糊集合。该模糊集合由隶属度函数来描述。（1）根据确定数以及量化因子求在基本论域上的量化等级。（2）查找语言变量的赋值表，找出与最大隶属度对应的模糊集合，该模糊集合就代表确定数的模糊化结果。,1、最大值法选择模糊子集中隶属函数最大的元素作为输出，多点时（隶属函数曲线出现双峰或顶部平坦）取中点。优点：简单易行，适于计算机操作。缺
17、点：信息量少，没有考虑其他控制量的作用2、加权平均法,输出的精确化,例：温控系统输出量是电加热器的电流,其有效范围为（0 10）A，它分为五个模糊子集：“低、略低、中、略高、高”，若系统最后激活两条规则：略低，隶属度0.75；中,隶属度0.35。解模糊单元要由此决定当前加热器电流精确值。1.最大值方法是从被激活的若干条模糊规则中选择隶属度最大的一条作为最后的输出，如此例中“略低”的隶属度最大，被选中，然后以其中心值，作为当前实际控制值。2.加权平均法是根据被激活的全部规则及相应的隶属度，计算对应的中心，如上例中略低项，根据图10所示方法其中心为1.5A，中项中心为2.5A。然后 以其对应隶属度
18、作为“权”进行平均：,1.确定论域测洗涤液中的污泥含量x0,100%和油脂含y0,100%，控制器根据x和y的数据，选定洗涤时间t0,60（分钟）。2.定义输入、输出量的模糊分布选定三个模糊子集采用（三角形录属函数）：污泥少(SD)、污泥中（MD）、污泥多（LD），用于涵盖输入量x的论域0,100，它们的录属函数及分布如下：,实例：自动洗衣机模糊控制器设计,选定五个模糊子集涵盖输出量t的论域0,60:很短(VS)、短(S)、中等(M)、长(L)和很长(VL)，它们的录属函数及分布如下：,3.建立模糊规则：由经验得三条规则：“污泥越多，油脂越多，洗涤时间就越长”；“污泥适中，油脂适中，洗涤时间就
19、适中”；“污泥越少，油脂越少，洗涤时间就越短”。污泥和油脂分为三档，进行组合搭配后，可设立九条模糊控制规则：,每条模糊规则都给出一个F蕴涵关系Ri(i=1,2,9)，这九个F蕴涵关系Ri，就构成系统总的模糊蕴涵关系R。,4、近似推理如某时刻测得的清晰输入量为x=60,y=70,模糊化后分别映射到模糊子集MD(x)、LD(x)和MG(y)、LG(y)上,激活4条模糊规则：If x is MD and y is MG then t is M(5),R5(t)=MD(x)MG(y)M(t)If x is MD and y is LG then t is L(8),R8(t)=MD(x)LG(y)L(
20、t)If x is LD and y is MG then t is L(6),R6(t)=LD(x)MG(y)L(t)If x is LD and y is LG then t is VL(9),R9(t)=LD(x)LG(y)VL(t)计算由规则推出的输出模糊量U(t):(1)对规则5：由于MD(60)=0.8,MG(70)=0.6,输出,(2)对规则8：由于MD(60)=0.8,LG(70)=0.4,输出：(3)对规则6：由于LD(60)=0.2,MG(70)=0.6,输出：,(4)对规则9：由于LD(60)=0.2,LG(70)=0.4,输出：,5、输出模糊量的清晰化(1)最小值法在论域10,60上，最大录属度为0.6，与其对应的时间点设为t1,t2。解方程:(t1-10)/15=0.6，(40-t2)/15=0.6得:t1=19,t2=31用最小值法的洗涤时间为 t=19(2)最大值法：t=31(3)平均值法：t=25,
