椭圆题型完美归纳.docx

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1、椭圆题型完美归纳椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义:把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程: x2y2y2x2+2=12+2=1 2ababyMcF1OcF2xyF2cOcF1Mx焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形, 可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0)不必考虑焦点位置,求出方程。 3.范围.椭圆位于直线xa和yb围成的矩形里|x|a,|y|b 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 5.顶

2、点 椭圆有四个顶点:A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b) 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. |B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a 在RtOB2F2中,|OF2|2|B2F2|2|OB2|2,即c2a2b2 yB2baAA12xF1OcF2B1c(0e-b2); 注:与椭圆2+2=1共焦点的椭圆可设其方程为2a+kb+kab例1.在DABC中,A,B,C所对的三边分别为a,b,c,且B(-1,0),C(1,0),求满足bac且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹; x2例2.已知x轴上一定点A(1,

3、0),Q为椭圆+y2=1上任一点,求AQ的中点M的4轨迹方程; 例3.设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x2+2y2=4交于A,B两点,点P是直线l上满足PAgPB=1的点,求点P的轨迹方程; 例4.中心在原点,一焦点为F(0,50)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横1坐标为,求此椭圆的方程; 2考点三焦点三角形问题 x2y25=1上一点P的纵坐标为,例1. 已知椭圆+椭圆的上下两个焦点分别为F2、31625F1,求PF1、PF2及cosF1PF2; 考点四椭圆的几何性质 x2y25例1.已知P是椭圆2+2=1上的点,的纵坐标为,F1、F2分别为椭圆的两个3ab焦点,椭圆的半焦距为c,则P

4、F1gPF2的最大值与最小值之差为 x2y2例2.椭圆2+2=1(ab0)的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆ab恰好过焦点,则椭圆的离心率为; 例3.若椭圆x2y2k+1+4=1的离心率为12,则k=; 4.若P为椭圆x2y2例a2+b2=1(ab0)上一点,F1、F2为其两个焦点,PF1F2=150,PF2F01=75,则椭圆的离心率为 考点五求范围 例1.方程x2y2m2+(m-1)2=1表示准线平行于x轴的椭圆,求实数m的取值范围; 考点六.椭圆的第二定义的应用 且例1. 方程2(x-1)2+(y-1)2=x+y+2所表示的曲线是 例2.求经过点M(1,2),以y轴为准

5、线,离心率为1的椭圆的左顶点的轨迹方程; 2x2y25=1上有一点P,它到左准线的距离等于,那么P到右焦点的例3.椭圆+2259距离为 x2y2+=1,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M,例4已知椭圆43使它到左准线的距离为它到两焦点F1,F2距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。 x2y2=1内有一点A(1,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点例5已知椭圆+95P是椭圆上一点求PA+3PF2的最小值及对应的点P的坐标 2考点七求离心率 x2y2例1.椭圆2+2=1(ab0)的左焦点为F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶ab点,如果F

6、1到直线AB的距离为b,则椭圆的离心率e= 7x2y2例2.若P为椭圆2+2=1(ab0)上一点,且PF1F2=a,F1、F2为其两个焦点,abPF2F1=2a,则椭圆的离心率为 例3.F1、F2为椭圆的两个焦点,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,PF1PQ,且PF1=PQ,则椭圆的离心率为; 考点八椭圆参数方程的应用 x2y2=1上的点P到直线x-2y+7=0的距离最大时,点P的坐标 例1.椭圆+43例2.方程x2sina-y2cosa=1(0ap)表示焦点在y轴上的椭圆,求a的取值范围; 考点九直线与椭圆的关系 直线与椭圆的位置关系 例1.当m为何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y

7、2=144相切、相交、相离? 例2.曲线2x2+y2=2a2与连结A(-1,1),B(2,3)的线段没有公共点,求a的取值范围。 例3.过点P(-3, 0)作直线l与椭圆3x2+4y2=12相交于A,B两点,O为坐标原点,求DOAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 例4.求直线xcosq+ysin和椭圆x2+3y2=6有公共点时,q的取值范围q=2BPOxyA(0qp)。 弦长问题 例1.已知椭圆x2+2y2=12,A是x轴正方向上的一定点,若过点A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为 例2.椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,C是AB的中点, 若|AB|=22,O为坐

8、标原点,OC的斜率为 x2y2=1的焦点分别是F1和F2,例3.椭圆+过中心O作直线与椭圆交于A,B两点,45202,求a,b的值。 2413,求点A的坐标。 3若DABF2的面积是20,求直线方程。 弦所在直线方程 x2y2=1,过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好例1.已知椭圆+164是P; 例2.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其离心率e=2,过点C(-1,0)的直线l3与椭圆E相交于A,B两点,且C分有向线段AB的比为2. 用直线l的斜率k(k0)表示DOAB的面积; 当DOAB的面积最大时,求椭圆E的方程 x2y2=1上的三点,F为椭圆的左焦例4.已知A(x1,y

9、1),B(1,y0),C(x2,y2)是椭圆+43点,且AF,BF,CF成等差数列,则AC的垂直平分线是否过定点?请证明你的结论。 关于直线对称问题 x2y2=1,试确定m的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关例1.已知椭圆+43于直线y=4x+m对称; 例2.已知中心在原点,焦点在y轴上,长轴长等于6,离心率e=22,试问是否31平分?若2存在直线l,使l与椭圆交于不同两点A,B,且线段AB恰被直线x=-存在,求出直线l倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由。 考点十.最值问题 x2y2+=1的右焦点,点M在椭圆上移动,求例1若P(-2,3),F2为椭圆2516M1 F1 F2 M2 MP+

10、MF2的最大值和最小值。 分析:欲求MP+MF2的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 o MF2=2a-MF1, F1为椭圆的左焦点。 x2y2+=1的右焦点,例2P(-2,6),F2为椭圆点M在椭圆上移动,求MP+MF22516的最大值和最小值。 x2y2例3求定点A(a,0)到椭圆2+2=1上的点之间的最短距离。 ab3.三角函数法 x2例4求椭圆2+y2=1上的点M(x,y)到直线l:x+2y=4的距离的最值; 44.判别式法 把直线平移使其与椭圆相切,有两种状态,一种可求最小值,另一种求最大值。 x2y2=1的右焦点,点M在该椭圆上移动例5.已知定点A(-2,3)

11、,点F为椭圆+1612时,求AM+2MF的最小值,并求此时点M的坐标; x2y2+=1的左、右焦点,椭圆内一点M的坐标为例6已知F1、F2分别为椭圆10064(2,-6),P为椭圆上的一个动点,试分别求: PM+ 5PF2的最小值;PM+PF2的取值范围 3考点十一.轨迹问题 例1到两定点(2,1),(-2,-2)的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A椭圆双曲线 直线 线段 例2已知点A(3,0),点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y0),AOP的平分线交PA于Q,求点Q的轨迹方程。 例3.已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点,求Q点的轨迹方程。 题型十二.椭圆与数形结合 例1 关于x的方程2-2x2-kx+2k=0有两个不相等的实数解,求实数k的取值范围.

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