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1、椭圆题型完美归纳椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： x2y2y2x2+2=12+2=1 2ababyMcF1OcF2xyF2cOcF1Mx焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0)不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围.椭圆位于直线xa和yb围成的矩形里|x|a，|y|b 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 5.顶
2、点 椭圆有四个顶点：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b) 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. |B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a 在RtOB2F2中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b2 yB2baAA12xF1OcF2B1c(0e-b2)； 注：与椭圆2+2=1共焦点的椭圆可设其方程为2a+kb+kab例1.在DABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且B(-1,0),C(1,0)，求满足bac且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹； x2例2.已知x轴上一定点A(1,
3、0)，Q为椭圆+y2=1上任一点，求AQ的中点M的4轨迹方程； 例3.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A,B两点，点P是直线l上满足PAgPB=1的点，求点P的轨迹方程； 例4.中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横1坐标为，求此椭圆的方程； 2考点三焦点三角形问题 x2y25=1上一点P的纵坐标为，例1. 已知椭圆+椭圆的上下两个焦点分别为F2、31625F1，求PF1、PF2及cosF1PF2； 考点四椭圆的几何性质 x2y25例1.已知P是椭圆2+2=1上的点，的纵坐标为，F1、F2分别为椭圆的两个3ab焦点，椭圆的半焦距为c，则P
4、F1gPF2的最大值与最小值之差为 x2y2例2.椭圆2+2=1(ab0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆ab恰好过焦点，则椭圆的离心率为； 例3.若椭圆x2y2k+1+4=1的离心率为12，则k=； 4.若P为椭圆x2y2例a2+b2=1(ab0)上一点，F1、F2为其两个焦点，PF1F2=150，PF2F01=75，则椭圆的离心率为 考点五求范围 例1.方程x2y2m2+(m-1)2=1表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围； 考点六.椭圆的第二定义的应用 且例1. 方程2(x-1)2+(y-1)2=x+y+2所表示的曲线是 例2.求经过点M(1,2)，以y轴为准
5、线，离心率为1的椭圆的左顶点的轨迹方程； 2x2y25=1上有一点P，它到左准线的距离等于，那么P到右焦点的例3.椭圆+2259距离为 x2y2+=1，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，例4已知椭圆43使它到左准线的距离为它到两焦点F1,F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 x2y2=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点例5已知椭圆+95P是椭圆上一点求PA+3PF2的最小值及对应的点P的坐标 2考点七求离心率 x2y2例1.椭圆2+2=1(ab0)的左焦点为F1(-c,0)，A(-a,0)，B(0,b)是两个顶ab点，如果F
6、1到直线AB的距离为b，则椭圆的离心率e= 7x2y2例2.若P为椭圆2+2=1(ab0)上一点，且PF1F2=a，F1、F2为其两个焦点，abPF2F1=2a，则椭圆的离心率为 例3.F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1PQ，且PF1=PQ，则椭圆的离心率为； 考点八椭圆参数方程的应用 x2y2=1上的点P到直线x-2y+7=0的距离最大时，点P的坐标 例1.椭圆+43例2.方程x2sina-y2cosa=1(0ap)表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围； 考点九直线与椭圆的关系 直线与椭圆的位置关系 例1.当m为何值时，直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y
7、2=144相切、相交、相离？ 例2.曲线2x2+y2=2a2与连结A(-1,1)，B(2,3)的线段没有公共点，求a的取值范围。 例3.过点P(-3, 0)作直线l与椭圆3x2+4y2=12相交于A,B两点，O为坐标原点，求DOAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 例4.求直线xcosq+ysin和椭圆x2+3y2=6有公共点时，q的取值范围q=2BPOxyA(0qp)。 弦长问题 例1.已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为 例2.椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A,B两点，C是AB的中点， 若|AB|=22，O为坐
8、标原点，OC的斜率为 x2y2=1的焦点分别是F1和F2，例3.椭圆+过中心O作直线与椭圆交于A,B两点，45202，求a,b的值。 2413，求点A的坐标。 3若DABF2的面积是20，求直线方程。 弦所在直线方程 x2y2=1，过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好例1.已知椭圆+164是P； 例2.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=2,过点C(-1,0)的直线l3与椭圆E相交于A,B两点，且C分有向线段AB的比为2. 用直线l的斜率k(k0)表示DOAB的面积； 当DOAB的面积最大时，求椭圆E的方程 x2y2=1上的三点，F为椭圆的左焦例4.已知A(x1,y
9、1),B(1,y0),C(x2,y2)是椭圆+43点，且AF,BF,CF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。 关于直线对称问题 x2y2=1，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关例1.已知椭圆+43于直线y=4x+m对称； 例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率e=22，试问是否31平分？若2存在直线l，使l与椭圆交于不同两点A,B，且线段AB恰被直线x=-存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。 考点十.最值问题 x2y2+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求例1若P(-2,3)，F2为椭圆2516M1 F1 F2 M2 MP+
10、MF2的最大值和最小值。 分析：欲求MP+MF2的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 o MF2=2a-MF1, F1为椭圆的左焦点。 x2y2+=1的右焦点，例2P(-2,6),F2为椭圆点M在椭圆上移动，求MP+MF22516的最大值和最小值。 x2y2例3求定点A(a,0)到椭圆2+2=1上的点之间的最短距离。 ab3.三角函数法 x2例4求椭圆2+y2=1上的点M(x,y)到直线l:x+2y=4的距离的最值； 44.判别式法 把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。 x2y2=1的右焦点，点M在该椭圆上移动例5.已知定点A(-2,3)
11、，点F为椭圆+1612时，求AM+2MF的最小值，并求此时点M的坐标； x2y2+=1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为例6已知F1、F2分别为椭圆10064(2,-6)，P为椭圆上的一个动点，试分别求： PM+ 5PF2的最小值；PM+PF2的取值范围 3考点十一.轨迹问题 例1到两定点(2,1)，(-2,-2)的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A椭圆双曲线 直线 线段 例2已知点A(3,0)，点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y0)，AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程。 例3.已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0)，P是圆C上任一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。 题型十二.椭圆与数形结合 例1 关于x的方程2-2x2-kx+2k=0有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围.
