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1、求圆锥曲线的离心率的常用方法求圆锥曲线的离心率的常用方法 c一、根据条件先求出a，c，利用e=求解 a例1 若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( ) 3211A. B. C. D. 4324解析：由F1、F2的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，ac=1，a+c=3，a=2，c=1, c1所以离心率e=.故选C. a2例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A. 363 B. C. D2 222c3解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=,因此选C a2二、构建关于a，c的齐次等式求解 x2y2例3 设双曲线221(0a
2、b)的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到ab直线的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 423A.2 B.3 C.2 D. 3解析：由已知，直线L的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得 aba2+b23c，又c2=a2+b2, 4ab=3c2, 4两边平方，得16a2(c2a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0. 24a2+b2b22c解得 e4或e.又0a2，e24，e2.故选A. aaa322例4 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为 3 663 233解析：如图2所
3、示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0), F2(c,0),则 |MF1|=|MF2|=c2+b2.又|F1F2|2c， |MF1|2+|MF2|2|F1F2|2在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2, 2|MF1|MF2| 即(c+b)+(c+b)4c2c2+b2c2+b2222221bc1)cos120，22， 2bc222图2 a2136bca，22，3a22c2，e2，e.故选B. 2ca222222x2y2例5 双曲线221的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) ab3A.2 B.3 C.2 D. 2c解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，a=b，c=2a，e2
4、.故选C. a三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e的取值范围 p例6 设(0，)，则二次曲线x2coty2tan=1的离心率的取值范围为( ) 4112A.(0，) B.(，) 222C.(2，2) D.(2，+) 2p解析：由x2coty2tan=1，(0，)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan4+ cot, c2tan+ cotpe21+ cot2,(0，)，cot21,e22，e2.故选D. atan42四、构建关于e的不等式，求e的取值范围 例7 如图，已知梯形ABCD中，AB2CD，点E分有向线段AC所成的比为，23双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求
5、双曲线离心率e的取值范围 34解析：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CDy轴. 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、Dc1关于y轴对称依题意，记A(c，0)，C(，h),E(x0，y0)，其中c=AB22为双曲线的半焦距，h是梯形的高 c-c+2(-2)ch由定比分点坐标公式得 x0，y0 1+2(1+)1+x2y2c设双曲线的方程为221，则离心率e=. abac2h2由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得 221 ， 4abc2222h2将点E的坐标代入双曲线方程得21 4a1+1+b2ce2h2h2e2e22212h2再将e=、得 21，21 ，1 a4bb441+1+b2e23将式代入式，整理得 12，12 4e+2图3 23233由题设得，12解得7e10 343e+24所以双曲线的离心率的取值范围为7，10
