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1、求数列的前n项和常用方法数列求和的常用方法 1.公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：n(n+1)21+2+3+L+n=1n(n+1)，12+22+L+n2=1n(n+1)(2n+1)，13+23+33+L+n3=. 262例1 、已知log3x=-123n，求x+x+x+x+的前n项和. log232222练一练：等比数列an的前n项和S2，则a1+a2+a3+L+an_ ； 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 111+4,2+7
2、,n-1+3n-2， aaan练一练：求和：Sn=-1+3-5+7-L+(-1)(2n-1) 例2、 求数列的前n项和：1+1,3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和. x2例3、求sin1+sin2+sin3+sin88+sin89的值练一练：已知f(x)=， 1+x22o2o2o2o2o则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f+f+f_； 1213144.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法. 例4、 求和：Sn=1+3x+5x2+7x
3、3+(2n-1)xn-1 2462n例5、求数列,2,3,n,前n项的和. 2222练一练：设an为等比数列，Tn=na1+(n-1)a2+L+2an-1+an，已知T1=1，T2=4，求数列an的首项和公比；求数列Tn的通项公式.； 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： 11=1-1；=1(1-1)； n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k1111122=(-)， kk-12k-1k+11111111-=2=-； kk+1(k+1)kk(k-1)kk-1k1111=- ； n(n+1)(n+2)2n(n+
4、1)(n+1)(n+2)n11=-； (n+1)!n!(n+1)! 1 2(n+1-n)=21=2(n-n-1). n+n+1nn+n-1,12+3,1n+n+1,的前n项和. 2例6、 求数列11+2例7、 在数列an中，an=212n，又bn=，求数列bn的前n项的和. +n+1n+1n+1anan+1练一练： 求和：114+147+L+1(3n-2)(3n+1)= ； 在数列a1n中，an=n+n+1，且S，则n ； 6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 例8 、求1+11+111+1111231之和. n个1练一练：求数列14，25，36，n(n+3
5、)，前n项和Sn= ； 求和：1+11+2+11+2+3+L+11+2+3+L+n= ； 数列求和课后练习 一、选择题： 1数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于( ) A200 B200 C400 D400 2数列1，11112，123，12n的前n项和为( ) A.2n2n1 B.2nn2nn1 C.n1 D.2n1 3设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于( ) A.22227(8n1) B.7(8n11) C.7(8n31) D.7(8n41) 4若数列an的前n项和为Sn，且满足Sn32an3，则数列an的前n项和Sn等于
6、( A3n13 B3n3 C3n13 D3n3 5数列111112，34，58，716，(2n1)12n，的前n项和Sn的值等于( ) An2111112n B2n2n12n Cn212n1 Dn2n12n 6数列an1n(n1)，其前n项之和为910，则n ( ) 2 ) A10 B9 C10 D9 二、填空题： 7已知函数f(x)对任意xR，都有f(x)1f(1x)，则f(2) f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)_. 1234n8.234n2等于_ 2222211119数列2，2，2，2的前n项和等于_ 122436482n (n为奇数)10函数f(n)2，且anf(n)f(n1)，
7、则a1a2a1000_. n (n为偶数)二、解答题： 11已知数列an的前n项和为Sn，且Sn= 求数列an的通项公式； 在数列bn中，b1=5，bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式 12.数列an的前n项和为Sn，若a1=2且Sn=Sn-1+2n. ( I )求Sn； ( II ) 是否存在等比数列bn满足b1=a1, b2=a3，b3=a9？若存在，则求出数列bn的通项公式；若不存在，则说明理由. 13.已知an是公比为q的等比数列，且a1+2a2=3a3. 求q的值； 设bn是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为Tn. 当n2时，试比较bn与Tn的大小. 14. 已知数列an满足以下两个条件： 点(an,an+1)在直线y=x+2上， 首项a1是方程3x-4x+1=0的整数解， 求数列an的通项公式； 数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1=a1，b2=a2，数列bn的前n项和为Tn，解不等式TnSn. 23an-1(nN*) 2 3
